4.1 Definicije trigonometrijskih vrijednosti šiljastog kuta

Sličnost pravokutnih trokuta

Nacrtajmo na papir pravokutni trokut i označimo ga kao na slici.

Zadatak 1.

Odgovorite na pitanja o pravokutnom trokutu.

Za dva trokuta kojima su sukladne odgovarajuće stranice i odgovarajući kutovi kažemo da su sukladni. Kada su dva trokuta slična? Ponovimo poučke o sličnim trokutima.

Zadatak 2.

Što ste zapamtili o sličnim trokutima?

Pogledajte sljedeću animaciju. Povremeno je zaustavite (start/stop u donjem lijevom kutu) i zapišite duljine stranica trokuta $△A\text{'}B\text{'}C\text{'}.$ Uočite što se događa s omjerom stranica sličnog trokuta u odnosu prema omjeru pripadajućih stranica trokuta $△ABC.$ Znamo da za pripadajuće stranice sličnih trokuta vrijedi da su proporcionalne $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{a\text{'}}{b\text{'}}.$

Što ste zaključili? Odgovorite na pitanja.

Trigonometrijske vrijednosti šiljastog kuta

Trigonometrija (grč. trigonon = trokut i metron = mjera) dio je geometrije koji proučava odnose između stranica i kutova trokuta. Mi ćemo se baviti trigonometrijom pravokutnog trokuta, odnosno trigonometrijskim vrijednostima šiljastog kuta.

Zanimljivost

Povijesne crtice

• Početci trigonometrije javljaju se već kod starih Babilonaca i Egipćana u vezi s promatranjima i istraživanjima gibanja zvijezda po nebeskom svodu.
• U Europu su Arapi donijeli znanje o trigonometriji.

Neki od poznatih matematičara zaslužni za razvoj trigonometrije su: François Viète (16. st.), Napier i Bürgi (17. st.), Ruđer Bošković (1711. – 1787.) te posebno Leonhard Euler (1707. – 1783.), koji je u trigonometriju uveo današnje oznake.

„Eulerov rad je svestran i raznovrstan. Bavio se gotovo svim što se ticalo matematike u njegovo vrijeme.”

N. I. Vavilov, ruski botaničar i genetičar

Omjeri stranica pravokutnog trokuta, kako smo vidjeli, ne ovise o veličini samih stranica nego isključivo o veličini šiljastog kuta trokuta. Uvedimo nazive za katete s obzirom na šiljasti kut koji promatramo u trokutu (kao na slici).

Definirajmo omjere stranica pravokutnog trokuta u ovisnosti o kutu $\alpha$ $.$

Sinus šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljina kutu nasuprotne katete i hipotenuze, oznaka je $\sin \alpha .$

Kosinus šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljina kutu priležeće katete i hipotenuze, oznaka je $\cos \alpha .$

Tanges šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljina kutu nasuprotne i priležeće katete, oznaka je $\mathrm{tg}\alpha .$

Kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer duljina kutu priležeće i nasuprotne katete, oznaka je $\mathrm{ctg}\alpha .$

Primjer 1.

Odredimo trigonometrijske vrijednosti šiljastog kuta $\alpha$ pravokutnog trokuta $ABC$ ako je duljina nasuprotne katete jednaka $6,$ a priležeće $8$ jedinica.

Pri rješavanju takvih zadataka najprije postavimo zadatak (zapišimo što je zadano i što se traži) te napravimo skicu.

Iskoristimo Pitagorin poučak za računanje duljine hipotenuze (općenito se Pitagorin poučak koristi za računanje treće stranice pravokutnog trokuta ako su dvije zadane).

$\left.\begin{array}{l}a=6\\ b=8\end{array}\right\}c=\sqrt{a^2+b^2}=10$

Nasuprotna kateta kuta $\alpha$ je stranica $a,$ priležeća je $b,$ pa prema definiciji vrijedi:

$\mathrm{sin\alpha =}\frac{a}{c}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$ $\cos \alpha =\frac{b}{c}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},$ $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4},$ $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{b}{a}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$

Napravimo trigonometrijske omjere za komplementarni kut $\beta .$

$\sin \beta =\frac{b}{c}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},$ $\cos \beta =\frac{a}{c}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$ $\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},$ $\mathrm{ctg}\beta =\frac{a}{b}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

Zadatak 3.

Duljina jedne katete pravokutnog trokuta je $9,$ a hipotenuze $41.$ Odredite trigonometrijske vrijednosti šiljastih kutova toga trokuta.

Što zaključujete o trigonometrijskim vrijednostima komplementarnih kutova?

Neka trokut $ABC$ ima oznake stranica kao u prethodnom primjeru.

Trigonometrijske omjere za šiljasti kut $\alpha$ možemo zapisati i na drugi način.

$\sin \alpha$	$\frac{a}{b}$
$\cos \alpha$	$\frac{b}{c}$
$\mathrm{ctg}\alpha$  ​	$\frac{b}{a}$
$\mathrm{tg}\alpha$  ​	$\frac{a}{c}$  ​

null

null

Kako izgledaju trigonometrijski omjeri kuta $\beta .$ Koja je veza između trigonometrijskih vrijednosti komplementarnih kutova?

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Provjerite koliko ste usvojili vezu između kutova i stranica pravokutnog trokuta.

1. S obzirom na trigonometrijski omjer $\sin \mathrm{\phi }= \frac{m}{p},$ označite stranice zadanog trokuta povlačenjem pripadajućih oznaka na sredinu stranice.
   

   

   $m$

   $n$ ​

   $p$
   

   

    
   

    
   

2. Pridružite ispravan naziv stranicama trokuta $x,$ $y$ i $z$ u odnosu prema kutu  $\alpha$ ako vrijedi ​ $\mathrm{tg}\mathrm{\alpha }= \frac{x}{y}.$
   

   $x$	priležeća katetanasuprotna katetahipotenuza
   $y$	priležeća katetanasuprotna katetahipotenuza
   $z$	priležeća katetanasuprotna katetahipotenuza

   

3. U trokutu sa stranicama $p,$  $q$ i $r$ i kutovima $\mathrm{\alpha }\mathrm{i }\beta$ vrijedi $\sin \mathrm{\alpha }= \frac{p}{r}.$ Tada je $\cos \mathrm{\beta }=:$

   $\frac{p}{q}$  ​

   $\frac{q}{r}$  ​

   $\frac{p}{r}$  ​

   $\frac{r}{p}$  ​

   $\frac{q}{p}.$  ​

   

   null

4. Ako je ​ $\mathrm{a }= \mathrm{12 }\mathrm{i }\mathrm{b }= 35,$ povežite trigonometrijske omjere za kut ​ $\alpha$ nasuprot stranici $a.$

   $cos\mathrm{ \; \alpha }$	$\frac{12}{37}$  ​
   $\sin \alpha$	$\frac{35}{12}$  ​
   $\mathrm{ctg}\alpha$	$\frac{12}{35}$  ​
   $\mathrm{tg}\alpha$  ​	$\frac{35}{37}$  ​

   

   null

   null

Zadatak 5.

Zadan je pravokutni trokut s katetama $2\mathrm{i}4.$ Ako mu se dvije stranice produže kao na slici, dobije se novi trokut s katetama $3$ i $x.$ Razmislite i odgovorite na pitanja.

1. Jesu li trokuti slični?
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. Za kut $\phi ,$ nasuprotna kateta većeg trokuta je:
   

   $3$

   $2$

   $x$  ​

   $4.$

   

   null

3. Omjer stranica većeg trokuta, $\frac{x}{3},$ jednak je:
   

   $\sin \phi$  ​

   $\cos \phi$  ​

   $\mathrm{tg}\phi$  ​

   $\mathrm{c}\mathrm{tg}\phi .$

   

   null
4. Isto tako vrijedi i $\mathrm{tg}\phi =:$
   

   $\frac{2}{3}$  ​

   $\frac{1}{2}$  ​

   $2$  

   $\frac{4}{3}$  ​

   $\frac{3}{x}.$

   

   Pomoć:

   U manjem trokutu je isti kut i vrijedi ​ $\mathrm{tg}\phi =\frac{\mathrm{nasuprotna}\mathrm{kateta}}{\mathrm{priležeća}\mathrm{kateta}}.$
   

   null
5. Iz uvjeta da su omjeri sličnih trokuta jednaki, izračunajte $x.$ $x=$

   Kvadrat hipotenuze manjeg trokuta je  , a kvadrat hipotenuze većeg trokuta je .

   

   null

Zatvori

Trigonometrijskim omjerima do pravokutnog trokuta

Primjer 2.

​Duljina jedne katete pravokutnog trokuta je $24,$ a sinus šiljastog kuta uz tu katetu jednak je ​ $\frac{5}{13}.$ Odredimo duljinu druge katete i hipotenuze.

Vidimo da su $5\mathrm{i}13$ duljine stranica pravokutnog trokuta sličnog traženome.

$\left|B^{\text{'}}{C}^{\text{'} }\right|= \sqrt{{13}^{\mathrm{2 }}- 5^{\mathrm{2 }}}= 12$ 

Iz uvjeta jednakosti dvaju omjera (upotrijebit ćemo trigonometrijske omjere) dobit ćemo duljine ostalih stranica traženog trokuta.

$\cos \alpha =\frac{\left|B\text{'}C\text{'}\right|}{13}=\frac{24}{\left|AC\right|}\Rightarrow \left|AC\right|=\frac{13·\cancel{24}}{\cancel{12}}=26$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{12}=\frac{\left|AB\right|}{24}\Rightarrow \left|AB\right|=\frac{5·\cancel{24}}{\cancel{12}}=10$

Duljina je druge katete $10,$ a hipotenuze $26.$

Jesmo li mogli na neki drugi način dobiti rješenje? Kako?

Povezani sadržaji

Znamo li konstruirati taj trokut?

Prisjetimo se konstrukcije trokuta (iz Matematike 1, Sukladnost i sličnost trokuta). Koliko je najmanje elemenata trokuta potrebno znati za konstrukciju trokuta? Čime je trokut jednoznačno određen? Je li uvijek moguće konstruirati trokut koji znamo analitički izračunati?

Dakle, za konstrukciju pravokutnog trokuta iz primjera potrebna su nam još dva podatka. U prethodnom smo primjeru imali zadanu duljinu jedne katete ( $24$), a drugi bi podatak  trebao biti kut koji zapravo ne znamo. Znamo samo omjer koji proizlazi iz veličine kuta. Međutim, znamo trokut sličan traženome (sukladni kutovi). Imamo duljinu katete nasuprot zadanom kutu, $5,$ i hipotenuze, $13.$ Konstruiramo slični trokut, pripadajuću stranicu produljimo do $24$ te paralelama dobijemo traženi trokut.

Pogledajte animaciju napravljenu u GeoGebri, a zatim pokušajte sami.

Katkad se u zadatcima traži samo konstrukcija kuta (prvi dio naše konstrukcije iz prethodnog primjera). Za konstrukciju trokuta, uz trigonometrijski omjer, potreban je još jedan element trokuta.

Kutak za znatiželjne

1. Konstruirajte na papiru:

   1. kut za koji vrijedi ​ $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$

   2. pravokutni trokut $ABC$ ako je $\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{5},v=\frac{7}{2}.$

2. Za koje realne brojeve $x\mathrm{i}y$ postoje trigonometrijske vrijednosti?

1. $\sin \alpha =\frac{10x}{x^2+25}$

2. $\cos \beta =\frac{1}{2-y}$

1. 1. $\sin \phi =\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

      Prisjetite se konstrukcije korijena te konstruirajte stranicu $a,$ zatim iz vrha $C$ okomicu na $a$ i na kraju uzmite u šestar $2$ i iz vrha $B$ presijecite nacrtanu okomicu da biste dobili točku $A,$ to jest traženi kut pri vrhu $A$ (kao na slici).

   2. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a\text{'}}{b\text{'}}=\frac{4}{5},v=\frac{7}{2}$

      Konstruirate trokut $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ s katetama duljina $4\mathrm{i}5,$ produljite $v\text{'}$ do $\frac{7}{2}$ (okomica u toj točki je stranica $c$) i nacrtajte traženi trokut (kao na slici).

2. Sinus i kosinus definirani su kao omjer katete i hipotenuze (nazivnik je uvijek veći od brojnika). Zato je razlomak realan broj između nula i jedan pa se zadatak svodi na rješavanje nejednadžbi.
   

   1. $0<\frac{10x}{x^2+25}<1\Rightarrow x>0$

   2. $0<\frac{1}{2-y}<1\Rightarrow y<1$ 

Zanimljivost

U 12. stoljeću, u vrijeme prevođenja s arapskog jezika na latinski, nove trigonometrijske funkcije tangens i kotangens nazvane su umbra recta, tj. prednja sjena te umbra versa, tj. obrnuta sjena (kao na slici). To je zato što su Arapi još u 10. stoljeću našli primjenu trigonometrije u gnomonici, učenju o sunčanim satovima. Sunčani satovi bili su građeni od dugačkog štapa okomito zabijenog u tlo (grč. gnomon – raspoznavatelj). Vrijeme se očitavalo prema duljini i smjeru sjene koju je štap stvarao.

Projekt

Ljubitelji astronomije, organizirajte ekipu i pripremite projekt mjerenja visine Sunca gnomonom. Pripremu za ostvarenje projekta napravite u suradnji s nastavnicima Matematike, Geografije i Fizike, a kao pomoć za pripremu pogledajte stranice e-škole astronomije. Svakako prije proučite pojam gnomona u astronomskom rječniku, odnosno pogledajte kako izraditi horizontalni sunčani sat. Za uvod preporučujemo zanimljivi članak Kolike su dimenzije zemlje? na portalu Geografija.hr.