4.4 Primjena trigonometrije na pravokutni trokut

Trigonometrijski omjeri različito označenih pravokutnih trokuta

Primjer 1.

Pogledajmo nekoliko različito označenih pravokutnih trokuta. Za svaki odredimo trigonometrijske omjere šiljastog kuta označenog na slici.

$\sin \alpha =\frac{l}{j}$	$\cos \alpha =\frac{k}{j}$	$\mathrm{tg}\alpha =\frac{i}{k}$
$\sin \beta =\frac{d}{e}$	$\cos \beta =\frac{f}{e}$	$\mathrm{tg}\beta =\frac{d}{f}$
$\sin \gamma =\frac{i}{h}$	$\cos \gamma =\frac{g}{h}$	$\mathrm{tg}\gamma =\frac{i}{g}$
$\sin \delta =\frac{n}{m}$	$\cos \delta =\frac{o}{m}$	$\mathrm{tg}\delta =\frac{n}{o}$​

Uz sljedeću aplikaciju uvježbajte određivanje trigonometrijskih omjera šiljastih kutova za različito označene pravokutne trokute. Upišite vrijednosti trignometrijskih omjera. Tipkom „ Provjerite ” možete vidjeti jeste li dobro riješili zadatak. Tipka „Novi zadatak ” dati će vam novi trokut za nastavak vježbanja. Broj zadataka je beskonačan.

Rješavanje pravokutnog trokuta

Riješiti pravokutan trokut znači izračunati stranice i kutove koji su nepoznati. Pri rješavanju koristimo se Pitagorinim poučkom i trigonometrijskim omjerima zadanog kuta. Upotrebljavamo uobičajne oznake kako slijedi: $c$ – hipotenuza, $a$ i $b$ – katete, $\alpha \mathrm{i}\beta$ – kutovi nasuprot katetama $a$ i $b$ redom.

Mogu se pojaviti četiri osnovna slučaja:

• ​zadani hipotenuza i kut
• zadani kateta i kut
• zadane hipotenuza i kateta
• zadane dvije katete.
  

Svaki slučaj razmotrimo posebno.

Izračunat ćemo katete $a$ i $b,$ te kut $\beta .$

$\sin \alpha =\frac{a}{c}\Rightarrow a=c·\sin \alpha$

$\cos \alpha =\frac{b}{c}\Rightarrow b=c·\cos \alpha$

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }\Rightarrow \beta ={90}^{\circ }-\alpha$

Izračunat ćemo katetu $b,$ hipotenuzu i kut $\alpha .$

​ $\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}\Rightarrow b=a·\mathrm{tg}\beta$

$\cos \beta =\frac{a}{c}\Rightarrow c=\frac{a}{\cos \beta }$

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }\Rightarrow \alpha ={90}^{\circ }-\beta$

Trebamo izračunati katetu $a$ i oba šiljasta kuta.

$\cos \alpha =\frac{b}{c}\Rightarrow \alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)$

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }\Rightarrow \beta ={90}^{\circ }-\alpha$ 

$a^2+b^2=c^2\Rightarrow a=\sqrt{c^2-b^2}$

Izračunajmo hipotenuzu i šiljaste kutove.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}\Rightarrow \alpha ={\mathrm{tg}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\left(\frac{a}{b}\right)$

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }\Rightarrow \beta ={90}^{\circ }-\alpha$ 

$a^2+b^2=c^2\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}$

Primjer 2.

Za pravokutan trokut sa slike izačunajmo kutove i stranicu $d.$

Zadane su nam hipotenuza i kateta, pa je to treći slučaj.

$\cos \theta =\frac{13}{23}\Rightarrow \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{13}{23}\right)={55}^{\circ }34\text{'}57"$

$\delta ={90}^{\circ }-\theta ={34}^{\circ }25\text{'}3"$

$d=\sqrt{{23}^2-{13}^2}=6\sqrt{10}\approx 18.97$

Primjer 3.

 U nastavku pogledajte videozapis u kojem se rješava još jedan primjer.

Zadani elementi pravokutnog trokuta i traženi elementi.

Za oznake upotrebljene su $c$ – hipotenuza, $b$ – kateta nasuprot kutu $\beta$ i sl.

Upotrijebite formule i uparite ih.

Zadane su hipotenuza i kateta $b.$ Izračunajte drugu katetu i oba kuta.	$\alpha ={90}^{\circ }-\beta$  ​
​Zadani su hipotenuza i kut $\alpha .$ Odredite katete .	$b=c·\cos \alpha$
Zadani su kateta $a$ i kut uz nju. Izračunajte drugu katetu i kut.	$\alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)$

null

null

Primjena trigonometrijskih omjera na pravokutan trokut u svakodnevnim situacijama

U uvodu smo vidjeli četiri situacije iz života na kojima možemo prepoznati pravokutan trokut i njegove poznate i nepoznate elemente. S pomoću trigonometrijskih omjera možemo odrediti nagib ceste, duljinu „rogova” greda na krovu, nagib vatrogasnih ljestava, duljinu gazišta stuba...

Problemske situacije zahtijevaju rad u nekoliko koraka.

1. ​Pročitati problem do kraja.
2. Pročitati ponovno i nacrtati sliku, crtež, skicu.
3. Povezati sliku sa zadanim podatcima i označiti ih na slici.
4. Zapisati sve što nije na slici, a moglo bi pomoći u rješavanju.
5. Zapisati nepoznate veličine, tj. ono što se traži.
6. Zapisati formule koje povezuju poznate i nepoznate veličine.
7. Izračunati nepoznate veličine s pomoću algebre.
   

Razmislite i potražite još primjera u kojiima bi vam trigonometrija pravokutnog trokuta pomogla u pronalaženju rješenja.

U nastavku pogledajte primjere.

Primjer 4.

Meterolozi u zračnim lukama prate vrijeme da bi osigurali sigurnost slijetanja i polijetanja zrakoplova. Jedno od obilježja koje mjere je visina oblaka. Ako su oblaci prenisko, zrakoplovima nije dopušteno slijetanje i uzlijetanje. Jedan od načina mjerenja je reflektor postavljen tako da baca svjetlo okomito prema nebu, a nalazi se na fiksnoj udaljenosti od ureda meterologa. Zatim se mjeri kut elevacije svjetlosne točke na oblaku. Kut elevacije je kut između svjetlosne točke na oblaku i horizonta pod kojim se svjetlo reflektora na oblaku vidi s tla. Koristeći se trigonometrijom, možemo utvrditi visinu oblaka.

Primjer: Reflektor je postavljen $200\mathrm{m}$ od ureda. Izmjeren je kut elevacije svjetlosne točke od ${35}^{\circ }.$ Kolika je visina oblaka?

Nakon što smo problem pročitali, pokušajmo ga nacrtati.

U zadatku imamo dvije katete i kut. Koji trigonometrijski omjer sadržava te elemente?

$\mathrm{tg}{35}^{\circ }=\frac{x}{200}\Rightarrow x=200·\mathrm{tg}{35}^{\circ }=140.042\mathrm{m}$

Oblak se nalazi na približno $140$ metara visine.

Primjer 5.

Njihalo duljine $30\mathrm{cm}$ njiše se pod maksimalnim kutom od ${30}^{\circ }.$ Kolika je visina koju pritom njihalo postiže?

Uočite pravokutan trokut s hipotenuzom $l$ i katetom $l-h,$ te kutom $\beta .$

Dakle, imamo kut i njemu priležeću katetu te hipotenuzu.

$\cos \beta =\frac{l-h}{l}$

$l·\cos \beta =l-h\Rightarrow h=l·\left(1-\cos \beta \right)$

$h=30·\left(1-\cos {30}^{\circ }\right)=4.02\mathrm{cm}$

Visina koju njihalo postiže je približno $26\mathrm{cm}.$

Zadatak 1.

Nalazimo se u podnožju skijaškog dizala. Kut elevacije pod kojim se vidi vrh na koji dizalo vodi je ${25}^{\circ }.$ Koliko je duga žica koja povezuje podnožje i vrh ako su vrh i podnožje horizontalno udaljeni $5\mathrm{km}?$

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Jeste li razmišljali o tome kako, kada i zašto su nastali trigonometrijski omjeri. Kako su dospjeli u tablice i džepna računala? Tko i zašto ih je računao?

Astronomi su zapravo zaslužni za to. Htjeli su izračunati udaljenosti koje nije moguće mjeriti. Hiparh (120. g. pr. Krista) prvi je sastavio trigonometrijske tablice (to smo već spomenuli), a trebale su mu pri računanju ekscentričnosti orbite Sunca i Mjeseca. Tablice su povezivale duljinu tetive i pripadajućeg kuta (u modernom zapisu): tetiva $\left(\alpha \right)=2\sin \frac{\alpha }{2}.$