3.5 Aktivnosti za samostalno učenje

Modeliranje problema uz eksponencijalnu jednadžbu

Primjer 1.

Plutonij-239, izotop je jedna od najopasnijih poznatih tvari.

Sigurna razina plutonija-239, koju ljudski organizam može apsorbirati bez ozbiljnih posljedica, je $\mathrm{0,64}$ mikrograma ili $6.4·{10}^{-7}$ grama.

Plutonij-239 raspada se eksponencijalno i ima vrijeme poluraspadanja od $243000$ godina.

U siječnju 1968. godine atomska bomba izgubljena je na Grenlandu, a procjenjuje se da je $400$ grama plutonija-239 ispušteno u morski okoliš.

Izračunajmo vrijeme koje mora proteći da se $400$ gram plutonija-239 raspadne na količinu koja se smatra sigurnim za apsorpciju ljudskog organizma.

Rješenje

Zadatak 1.

Ugljik-14 je radioaktivni izotop ugljika koji nastaje u gornjoj atmosferi, a raspada se prema zakonu radioaktivnog raspadanja koji sadržava eksponencijalnu funkciju. Vrijeme poluraspadanja ugljika-14 je približno $5730$ godina.

Živi organizami sadržavaju ugljik-14, i on je za žive organizme konstantan. Kad organizam umre, razina ugljika-14  počne se smanjivati. Mjerenje razine ugljika-14 u mrtvim organskim tvarima, te usporedba razine s onom sadržanom u sličnoj živoj tvari, daje procjenu starosti mrtve tvari.

Analiza nekih ljudskih posmrtnih ostataka pronađenih u pustinji Kalahari pokazuje da je razina ugljika-14 u kostima  $\mathrm{0,358}$ razine koju pronalazimo u živom organizmu. Koja je približna dob tih ostataka?

Rješenje

Modeliranje problema uz logaritamsku jednadžbu

Primjer 2.

Odredimo koliko je puta intenzitet prometne ulice $\left(80\mathrm{dB}\right)$ jači od praga čujnosti.

$L=10·\log \frac{I}{I_0}$

$80=10\log \frac{I}{I_0} \Rightarrow 8=\log \frac{I}{I_0} \Rightarrow \frac{I}{I_0}={10}^8=100000000$

Eksponencijalne nejednadžbe

Eksponencijalna nejednadžba

Nejednadžbe u kojima je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalne nejednadžbe. Riješiti eksponencijalnu nejednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u nejednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi bit će nam važna svojstva eksponencijalne funkcije.

Ako je baza eksponencijalne funkcije veća od $\mathrm{1,}$ raste li funkcija ili pada?

raste

pada

null

null

Ako je baza eksponecijalne funkcije broj između $0$  i $\mathrm{1,}$ raste li funkcija ili pada?

raste

pada

null

null

Eksponencijalna funkcija ima bazu veću od $1$.

Povežite parove.

$x_1<x_2$	$a^{x_1}>a^{x_2}$
$x_1>x_2$	$a^{x_1}<a^{x_2}$

null

null

Eksponencijalna funkcija ima bazu između $0$  i $1$ .

Povežite parove.

$x_1>x_2$	$a^{x_1}>a^{x_2}$
$x_1<x_2$	$a^{x_1}<a^{x_2}$

null

null

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi svojstvom monotonosti

Eksponencijalne nejednadžbe koje možemo svesti na nejednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstava monotonosti.

• $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)<g\left(x\right),a>1$ 
• $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right),a>1$ 
• $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)<g\left(x\right),0<a<1$ 
• $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right), 0<a<1$
  

Primjer 3.

Riješimo eksponencijalne nejednadžbe s pomoću svojstva monotonosti.

1. $2^{2x+3}>2^{3x}$
   
2. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+1}>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+2}$
   

1. Prema svojstvu monotonosti za bazu veću od 1 možemo pisati:

   $2x+3>3x \Rightarrow 2x-3x>-3 \Rightarrow -x>-3 /·\left(-1)\right)\Rightarrow x<3.$
   

2. Prema svojstvu monotonosti za bazu između 0 i 1 možemo pisati:

   $x^2+1<x+2\Rightarrow x^2-x-1.$
   

   Prisjetite kako se rješava kvadratna nejednadžba.

   $\frac{1-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 
   

Svojstvo monotonosti logaritamske funkcije

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi s različitim bazama primjenjujemo monotonosti logaritamske funkcije.

Ako je

$a>1$ i $x>y$  $\Rightarrow {\log }_{a}x>{\log }_{a}y$

$0<a<1$  i $x>y\Rightarrow {\log }_{a}x<{\log }_a\mathrm{y,}$ 

također vrijedi:

$a>1$ i ${\log }_{a}x<{\log }_{a}y\Rightarrow x<y$

$0<a<1$ i ${\log }_{a}x<{\log }_{a}y\Rightarrow x>y.$

Primjer 4.

Riješimo eksponencijalnu nejednadžbu.

$5^{2x}<2^{5x-8}$

$\log 5^{2x}<\log 2^{5x-8}$

$2x\log 5<\left(5x-8\right)\log 2$

$2x\log 2-5x\log 2<-8\log 2$

$x>\frac{-8\log 2}{2\log 5-5\log 2}$

$x>22.46$ 

Ako je ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^y,$ onda je:

$x>y$ 

$y>x$ 

$x=\mathrm{y.}$ 

null

null

Broj $2$ pripada intervalu rješenja eksponencijalne nejednadžbe $4^{x+2}>8^{2x}.$

Da

Ne

null

null

Rješenja eksponencijalne nejednadžbe ${16}^x>2^2·4^3·8^4$ su svi brojevi za koje vrijedi:

$x<5$ 

$x>5$ 

$x=5.$

null

null

Ako je ${30}^{20}>{32}^{\mathrm{x,}}$ onda je $x<3{\log }_{2}4.$

Da

Ne

null

null

Logaritamske nejednadžbe

Logaritamska nejednadžba

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba u kojoj je nepoznanica argument ili baza logaritma.

1. Ako je baza $a>\mathrm{1,}$ onda vrijedi ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)$
   =><
   $g\left(x\right).$
   
2. Ako za bazu vrijedi $0<a<\mathrm{1,}$ onda ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)$
   <=>
   $g\left(x\right).$

null

null

Primjer 5.

Vidjeli ste dva načina rješavanja: s pomoću inverzne funkcije i s pomoću svojstava logaritamske funkcije. Prvi primjer mogli smo riješiti i grafički.

Pogledajte grafičko rješenje prvog primjera ${\log }_{2}x>1.$