Pojmovnik

Eksponencijalna jednadžba

Ovakvu jednadžbu, u kojoj je nepoznanica u eksponentu, nazivamo eksponencijalna jednadžba.

Riješiti eksponencijalnu jednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u jednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Eksponencijalna nejednadžba

Nejednadžbe u kojima je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalne nejednadžbe. Riješiti eksponencijalnu nejednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u nejednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi bit će nam važna svojstva eksponencijalne funkcije.

Logaritamska jednadžba

Logaritamska jednadžba je jednadžba koja se može svesti na oblik ${\log }_{a}x=b$, gdje je $x\in {\mathbf{R}}^{+}$ nepoznanica,  $a>0$, $a\ne 1$ baza i $b\in \mathbf{R}$.

Logaritamska nejednadžba

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba u kojoj je nepoznanica argument ili baza logaritma.

Primjena svojstva injektivnosti kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi

$a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)} \Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)$, $a>0$, $a\ne 1$.

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi svojstvom monotonosti

Eksponencijalne nejednadžbe koje možemo svesti na nejednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstava monotonosti.

• $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)<g\left(x\right),a>1$ 
• $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right),a>1$ 
• $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)<g\left(x\right),0<a<1$ 
• $a^{f\left(x\right)}<a^{g\left(x\right)}\Rightarrow f\left(x\right)>g\left(x\right), 0<a<1$
  

Svojstvo monotonosti logaritamske funkcije

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi s različitim bazama primjenjujemo monotonosti logaritamske funkcije.

Ako je

$a>1$ i $x>y$  $\Rightarrow {\log }_{a}x>{\log }_{a}y$

$0<a<1$  i $x>y\Rightarrow {\log }_{a}x<{\log }_a\mathrm{y,}$ 

također vrijedi:

$a>1$ i ${\log }_{a}x<{\log }_{a}y\Rightarrow x<y$

$0<a<1$ i ${\log }_{a}x<{\log }_{a}y\Rightarrow x>y$.