Matematika 4 - 1.1 Kompleksni brojevi i Gaussova ravnina

Na početku...

Za viteške dvoboje sigurno ste čuli. Znate li da su se i matematičari borili na dvobojima? Za pobjedu na dvoboju trebalo je riješiti više matematičkih zadataka u zadanom vremenu. Poznat je dvoboj iz 16. stoljeća između Tartaglije i Fiora. Tartaglia je neposredno prije dvoboja otkrio formulu za rješavanje kubnih jednadžbi koje imaju oblik $x^{3} + p x = q$ i zahvaljujući tome pobijedio u dvoboju. Kako je Tartaglia rješavao kubne jednadžbe i do kojih je to otkrića u matematici dovelo, proučit ćete u ovoj jedinici. O matematičkim dvobojima možete pročitati više na ovoj poveznici.

Dvojica matematičara rješavaju jednadžbe. Prvi rješava jednadžbu iks na treću plus tri iks jednako je četiri. Drugi rješava jednadžbu iks na treću minus devet iks jednako je nula. — Matematički dvoboj

Kubne jednadžbe

Primjer 1.

Rješenje jednadžbe koja ima oblik $x^{3} + p x = q$ dobiva se formulom

$x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{{(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}}} .$

Riješimo jednadžbu $x^{3} + 3 x = 4 .$

Vidimo da je $p = 3$ i $q = 4 .$ Uvrstite vrijednosti i izračunajte $x .$ U računu se koristite džepnim računalom. Koji ste broj dobili? Je li taj broj zaista rješenje jednadžbe? Provjerite.

Dobili smo $x = 1 .$ Dobiveni broj je rješenje, a to možemo provjeriti uvrštavanjem u jednadžbu.

Zadatak 1.

Koristeći se formulom iz primjera 1. riješite jednadžbu $x^{3} - 9 x = 0 .$ Jeste li dobili rješenje? Zašto? Možete li na neki drugi način riješiti jednadžbu?

Iz jednadžbe možemo pročitati da je $p = - 9$ i $q = 0 .$ Primjenjujući formulu dobivamo $x = \sqrt[3]{\sqrt{- 27}} + \sqrt[3]{- \sqrt{- 27}},$ što ne možemo izračunati jer ne postoji realni broj čiji bi kvadrat bio $- 27 .$ Jednadžba se može riješiti faktorizacijom:

$x (x^{2} - 9) = 0$

$x (x - 3) (x + 3) = 0,$ pa su rješenja $x_{1} = 0,$ $x_{2} = 3,$ $x_{3} = - 3 .$

U prethodnom smo zadatku vidjeli primjer jednadžbe koja očito ima rješenja. Formula do koje su u 16. stoljeću došli Tartaglija i još neki drugi matematičari ne može se primijeniti jer se u njoj pojavljuje drugi korijen iz negativnog broja. Taj su slučaj nazivali casus irreducibilis. Rješenje problema predložio je 1572. godine matematičar Bombelli u svojoj knjizi Algebra. Bombelli je uveo nove brojeve čiji su kvadrati negativni i opisao je kako se s njima računa.

Zanimljivost

Spomenuti matematičar Bombelli opisao je broj koji nije realan. Nazvao ga je plus od minusa i rekao je da plus od minusa pomnožen s plusom od minusa daje minus. Današnjim bismo jezikom rekli da je kvadrat tog broja negativan.

Gaussova ravnina

Realne smo brojeve prikazivali na brojevnom pravcu. Kako ćemo prikazati kompleksne brojeve?

Primjer 4.

Prikažimo kompleksni broj $z = 4 + 3 i .$ Realni dio kompleksnog broja $z$ je $4,$ imaginarni je dio $3 .$ Ta dva broja možemo prikazati u ravnini. Prikažimo realni dio na osi apscisa, a imaginarni dio na osi ordinata. Kompleksni broj $z$ prikazat ćemo točkom $(4, 3) .$ Ravninu u kojoj prikazujemo kompleksne brojeve nazvat ćemo Gaussova ili kompleksna ravnina.

Gaussova ravnina

Gaussova ravnina

Gaussova ili kompleksna ravnina je ravnina u kojoj prikazujemo kompleksne brojeve. Realni dio kompleksnog broja prikazujemo na osi apscisa, a imaginarni dio na osi ordinata.

Zadatak 2.

Prikažite u Gaussovoj ravnini kompleksne brojeve.

- 2 - i

- 3 + 4 i

1 + 2 i

3 - 2 i

null

U Gaussovoj ravnini nacrtane su točke z minus dva, tri i te w minus dva minus tri i. — Konjugirano kompleksni brojevi

Zadatak 3.

Koji su kompleksni brojevi prikazani na slici? Opišite kako su povezani? Kako biste opisali njihov međusobni položaj u Gaussovoj ravnini?

Prikazani su kompleksni brojevi $z = - 2 + 3 i,$ $w = - 2 - 3 i .$ Ta dva kompleksna broja imaju jednake realne dijelove i imaginarne dijelove suprotnog predznaka. U Gaussovoj ravnini prikazani su točkama koje su simetrične s obzirom na os apscisa.

Konjugirano kompleksni brojevi

Kompleksne brojeve čiji su realni dijelovi jednaki i imaginarni dijelovi suprotnog predznaka nazivamo konjugirano kompleksni brojevi. Označujemo ih sa $z$ i $\bar{z} .$

Ako je $z = a + b i,$ onda je $\bar{z}$ $= a - b i .$

U Gaussovoj su ravnini prikazani točkama koje su simetrične s obzirom na os apscisa.

Zadatak 4.

Spojite konjugirano kompleksne brojeve.

$6 - 3 i$	$- 6 - 3 i$
$- 3 - 6 i$	$- 3 + 6 i$
$3 + 6 i$	$3 - 6 i$
$- 6 + 3 i$	$6 + 3 i$

null

Modul kompleksnog broja

Prisjetimo se apsolutne vrijednosti realnog broja. Riješite zadatke.

Zadatak 5.

Apsolutna vrijednost

broja predstavlja

tog

od

na brojevnom pravcu.

broja

realnog

ishodišta

udaljenost

null

null
Ako je $|x| = 5$ za realni broj $x,$ onda je $x$ od
udaljen
za
.

null

null

Na isti ćemo način definirati apsolutnu vrijednost ili modul kompleksnog broja.

Modul kompleksnog broja

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja je udaljenosti tog broja od ishodišta u Gaussovoj ravnini. Označuje se sa $|z| .$

Primjer 5.

Kako ćemo odrediti modul zadanoga kompleksnog broja? Pogledajte u animaciji.

Kompleksni broj duplo ve jednak minus šest plus dva i nacrtan je u Gaussovoj ravnini. — Modul kompleksnog broja

Zadatak 6.

Odredite modul kompleksnog broja sa slike.

$|z| = \sqrt{{(- 6)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$

Zadatak 7.

Poredajte korake računa.

Duljine kateta su $6$ i $2 .$
$w = - 6 + 2 i$
$|w| = \sqrt{40}$
Duljina hipotenuze je $\sqrt{40} .$
Duljina hipotenuze je $\sqrt{6^{2} + 2^{2}} .$

null

Zadatak 8.

Zapišite formulom kako se računa modul kompleksnog broja

$z = a + b i .$

$|z| = |a + b i| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Modul kompleksnog broja $z = a + b i$ računa se formulom $|z| = |a + b i| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Zadatak 9.

Modul kompleksnog broja $z = 2 - 4 i$ je:

6

\sqrt{- 12}

\sqrt{20}

- 2 .

null

...i na kraju

Prisjetite se skupova brojeva koje znamo otprije.

Zadatak 10.

Uparite.

$N$
$Z$
$Q$
$R$

null

Skupovi brojeva: skup N je podskup od Z, Z je podskup od Q, Q je podskup od R, R je podskup od C. — Skupovi N, Z, Q, R, C

Naučili ste rješavati različite jednadžbe. Vezano za jednadžbu možemo promatrati kojem skupu brojeve pripada njezino rješenje. Kažemo da je jednadžba rješiva u nekom skupu brojeva ako njezino rješenje pripada tom skupu. Ako rješenje ne pripada danom skupu, jednadžba nije rješiva u tom skupu. Riješite zadatke.

Zadatak 11.

Jednadžba $x + 5 = 2$ nije rješiva u skupu

,
ali je rješiva u skupu
.

null

null
Jednadžba $3 x = 5$ nije rješiva u skupu

,
ali je rješiva u skupu
.

null

null
Jednadžba $x^{2} = 3$ nije rješiva u skupu

,
ali je rješiva u skupu
.

null
Jednadžba $x^{2} = - 1$ nije rješiva u skupu

,
ali je rješiva u skupu
.

null

Vidimo da se pri svakom proširivanju skupova brojeva u novom skupu mogu riješiti jednadžbe koje u prethodnom nije bilo moguće riješiti.

1.1 Kompleksni brojevi i Gaussova ravnina

Na početku...

Kubne jednadžbe

Primjer 1.

Zadatak 1.

Zanimljivost

Kompleksni brojevi

Imaginarna jedinica

Primjer 2.

Imaginarni broj

Primjer 3.

Kompleksni broj

Skup kompleksnih brojeva

Kolekcija zadataka #1

Realni broj

Imaginarni broj

Gaussova ravnina

Primjer 4.

Gaussova ravnina

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Konjugirano kompleksni brojevi

Zadatak 4.

Modul kompleksnog broja

Zadatak 5.

Modul kompleksnog broja

Primjer 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zadatak 9.

...i na kraju

Zadatak 10.

Zadatak 11.