Matematika 4 - 1.4 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Udaljenost kompleksnog broja $z$ od ishodišta je $|z| =$

. Tangens označenog kuta je

.
Položaj kompleksnog broja

z

određen je pravokutnim koordinatama

ili

(1, \sqrt{3})

|z|

i kutom

φ

2

tg φ = \sqrt{3}

null

Na slici je kompleksni broj zadan kutom pi trećina i udaljenošću dva od ishodišta u kompleksnoj ravnini. — Pravokutni koordinatni sustav

Zadatak 1.

Koje koordinate u pravokutnome koordinatnom sustavu ima točka $z$ koja je od ishodišta udaljena za $2,$ a dužina $O z$ zatvara s pozitivnim dijelom osi $x$ kut od $\frac{π}{6} ?$ Odgovorite na sljedeća pitanja.

Pridružite koordinatama $x$ i $y$ izraz s pomoću kojeg se mogu izračunati.

$y =$	$2 \cos \frac{π}{6}$
$x =$	$2 \sin \frac{π}{6}$

null

Označite koordinate točke $z .$

(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})

(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

(\sqrt{3}, 1)

(1, \sqrt{3})

null

Na slici je kompleksni broj zadan kutom četiri pi trećina i udaljenošću dva od ishodišta u kompleksnoj ravnini. — Pravokutni koordinatni sustav

Zadatak 2.

U pravokutnome koordinatnom sustavu točka $z$ je od ishodišta udaljena za $2,$ a dužina $O z$ zatvara s pozitivnim dijelom osi $x$ kut od $\frac{4 π}{3} .$

a. Koji od sljedećih izraza računaju apscisu točke $z ?$

x = 2 cos \frac{π}{3}

Pogledaj u kojemu je kvadrantu točka!

x = 2 cos \frac{4 π}{3}

x = - 2 sin \frac{π}{3}

x = - 2 cos \frac{π}{3}

null

b. Koji od sljedećih izraza računaju ordinatu točke $z ?$

y = 2 \sin (\frac{4 π}{3})

y = - 2 \sin (\frac{4 π}{3})

Provjeri predznak!

y = - 2 \sin (\frac{π}{3})

y = 2 cos (\frac{4 π}{3})

null

Zanimljivost

U fizici, mehanici, navigaciji i sličnim područjima često se koristi polarni koordinatni sustav. Sustav je određen jednim polupravcem (polarna os) koji ide iz ishodišta $O$ (pol). Položaj točke određuje se dvama brojevima $r$ i $φ$ koje nazivamo polarne koordinate.

Kao što smo vidjeli, $r$ je udaljenost promatrane točke od ishodišta. $φ$ je mjera kuta (u stupnjevima ili radijanima) koji polarna os opiše u pozitivnom smjeru do promatrane točke. Broj $φ$ nazivamo argument.

Uparite tako da dobijete točne jednakosti.

$x =$	$\frac{y}{x}$
$x + y i =$	$\sqrt{x^{2} + y^{2}}$
$r = \|z\| =$	$r \cos φ$
$tg φ =$	$r \cos φ + i r \sin φ$
$y =$	$r \sin φ$

null

Trigonometrijski oblik, polarni oblik, argument

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja $z$ je

$z = r (\cos φ + i \sin φ),$ gdje je

$r$ modul kompleksnog broja $z,$ a $φ$ argument kompleksnog broja $z,$ $φ \in [0,2 π⟩ .$

Pišemo $φ = \arg (z) .$

Taj se oblik još naziva i polarni oblik kompleksnog broja.

Ako je kompleksni broj zadan algebarski sa $z = x + y i,$ tada $r$ i $φ$ određujemo iz jednadžbi

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ $tg φ = \frac{y}{x} .$

z_{1} = 2 (cos \frac{11 π}{6} + i sin \frac{11 π}{6}),

z_{2} = 3 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}),

z_{3} = 2 (cos \frac{3 π}{2} + i sin \frac{3 π}{2}),

z_{4} = 3 (cos 0 + i sin 0),

z_{5} = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2},

z_{6} = cos \frac{4 π}{3} + i sin \frac{4 π}{3},

z_{7} = 2 (cos π + i sin π),

z_{8} = 3 (cos \frac{3 π}{4} + i sin \frac{3 π}{4})

Povlačenje na sliku kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku

z_{1}

z_{2}

z_{3}

z_{4}

z_{5}

z_{6}

z_{7}

z_{8}

null

Poredajte sljedeće korake prema redosljedu u postupku prikazivanja kompleksnog broja u trigonometrijskom obliku ako je $z = - 2 - 2 i .$

$z = - 2 - 2 i$ je u III. kvadrantu
$r = \sqrt{4 + 4} = 2 \sqrt{2}$ i $tg φ = \frac{- 2}{- 2} = 1$
$z = 2 \sqrt{2} (cos \frac{5 π}{4} + i sin \frac{5 π}{4})$
$φ \in [0,2 π⟩ \Rightarrow φ = \frac{π}{4} i l i φ = \frac{5 π}{4}$
$φ$ je u III. kvadrantu $\Rightarrow φ = \frac{5 π}{4}$

null

U koordinatnom su sustavu prikazani brojevi 2i i -i. — Kompleksni brojevi na y osi

$z_{1} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})),$ $z_{2} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

$z_{1} = 0.5 (cosπ+ i \sin π),$ $z_{2} = 2 (\cos 0 + i \sin 0)$

Razvrstajte kompleksne brojeve prema njihovu argumentu u trigonometrijskom obliku.

z = \frac{6}{5} i

z = - 3.2

z = - 10 i

z = - 125

z = - \frac{2 \sqrt{3}}{5} i

z = \sqrt{2}

z = 1

z = - i

z = - 0.25

z = 7 i

z = 4 i

z = 16

$0$

$\frac{π}{2}$

$\frac{3 π}{2}$

$π$

null

Označite sve kompleksne brojeve koji nisu u trigonometrijskom obliku.

2 (\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5})

- 2 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4})

Predznak "minus" na početku ukazuje da to nije trigonometrijski oblik.

3 (\cos \frac{7 π}{5} + i \sin \frac{3 π}{5})

Različiti argumenti.

0.5 (\sin \frac{π}{5} + i \cos \frac{π}{5})

Sinus i kosinus imaju zamijenjene uloge.

null

a. Koji je od sljedećih izraza standardni oblik broja $z = \sqrt{3} (\cos \frac{11 π}{6} + i \sin \frac{11 π}{6}) ?$

\sqrt{3} - i

3 - i \sqrt{3}

\frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}

null

b. Koji je od sljedećih izraza trigonometrijski oblik broja $z = - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} i ?$

2 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4})

4 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4})

4 (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4})

4 (\cos \frac{7 π}{4} + i \sin \frac{7 π}{4})

null

a. Modul kompleksnog broja

z = \cos (3.52) + i \sin (3.52)

iznosi

Njegov je argument

null

b. Ako je

z = 2 (\cos \frac{π}{7} - i \sin \frac{π}{7}),

modul je

a argument je oblika

\frac{k π}{7},

gdje je broj

k

jednak

Zadani se broj nalazi u IV. kvadrantu, pa je argument

2 π - \frac{π}{7} = \frac{13 π}{7} .

Za taj je argument kosinus pozitivan, a sinus negativan pa će trigonometrijski prikaz

2 (\cos \frac{13 π}{7} + i \sin \frac{13 π}{7})

odgovarati zadanom broju.

null

1.4 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Na početku...

Polarne koordinate