Matematika 6 - 3.1 Pojam i zapis potencije baze 10

Potencija

Razmisli i odgovori.

Broj

100 000 000

ima

Još jednom dobro prebroji nule.

nula.

Pomoć:

Pažljivo prebroji nule.

null

Što misliš koji od ovih zapisa odgovara zapisu broja $100 000 000$ ?

10^{7}

Bitan je broj nula.

10^{6}

Bitan je broj nula.

10^{9}

Bitan je broj nula.

10^{8}

Bravo!

Pomoć:

Prebroji nule i razmisli. Bitan je broj nula.

null

$100 000 000$ zapisujemo preglednije kao $10^{8}$ jer je $100 000 000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 .$ U zapisu umnoška je $8$ faktora i svaki od njih je broj $10 .$

Zapis oblika $10^{8}$ zovemo potencija. Pritom je veliki broj $10$ u zapisu baza potencije, a mali broj $8$ eksponent potencije.

Kolekcija zadataka #1

Zapiši brojeve u obliku potencije baze $10 .$ Spoji parove.

$100$	$10^{3}$
$1 000$	$10^{4}$
$10 000$	$10^{9}$
$1 000 000 000$	$10^{2}$

Pomoć:

U svakom broju prebroji nule i spoji s potencijom čiji je eksponent jednak broju nula u zadanom broju.

null

Potencija $10^{3}$ znači

10 \cdot 10 \cdot 10

Bravo!

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10

Razmisli ili pogledaj uputu.

10 000

Razmisli ili pogledaj uputu.

1 000

Bravo!

Pomoć:

Zadatak ima dva točna rješenja.

Postupak:

Na mjestu baze kao veliki broj piše faktor koji se ponavlja, a malim brojem u eksponentu zapisuje se broj koliko puta se ponavlja taj isti faktor.

Potencija $10^{5}$ znači

1 000 000

Razmisli ili pogledaj uputu.

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10

Bravo!

100 000

Bravo!

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10

Razmisli ili pogledaj uputu.

Pomoć:

Zadatak ima dva točna rješenja.

Postupak:

Na mjestu baze kao veliki broj piše faktor koji se ponavlja, a malim brojem u eksponentu zapisuje se broj koliko puta se ponavlja taj isti faktor.

Izračunaj vrijednost potencije i spoji parove.

$10^{5}$	$10 000 000 000$
$10^{6}$	$100 000$
$10^{10}$	$1 000 000$
$10^{3}$	$1 000$

Pomoć:

Pomnoži broj $10$ onoliko puta koliko piše u eksponentu.

Postupak:

$10^{3} = 10 \cdot 10 \cdot 10$

$10^{5} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

$10^{6} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

$10^{10} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Nenegativni cijeli brojevi

Prisjetimo se.

Kolekcija zadataka #2

Skup cijelih brojeva $Z$ sastoji se od

cijelih brojeva,

i negativnih cijelih brojeva.

pozitivnih

nule

Pomoć:

Prisjeti se jedinice 1.1 modula 1 ovog DOS-a.

null

Odaberi sve točne odgovore. Skup $N_{0}$ čine

pozitivni cijeli brojevi

Bravo! Ima još točnih brojeva koji pripadaju tom skupu.

razlomci

Prisjeti se skupa prirodnih brojeva iz petog razreda.

negativni cijeli brojevi

Pogledaj jedinicu 1.1 ovog DOS-a.

nula

Bravo!

decimalni brojevi.

Prisjeti se skupa prirodnih brojeva iz petog razreda.

Pomoć:

Prisjeti se svih elemenata skupa prirodnih brojeva s nulom.

null

Nenegativni cijeli brojevi

Za pozitivne cijele brojeve i nulu zajednički kažemo da su nenegativni cijeli brojevi.

Dekadske jedinice

Prisjeti se kako se prirodni broj zapisuje s pomoću dekadskih jedinica.

Broj $2 342$ zapisan s pomoću dekadskih jedinica je $2 \cdot 1 000 + 3 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 2 \cdot 1 .$

Da

Bravo!

Ne

Prisjeti se nižih razreda osnovne škole.

Pomoć:

Broj rastavimo na mjesne vrijednosti znamenaka.

Postupak:

Dvije tisućice, tri stotice, četiri desetice i dvije jedinice.

Primjer 1.

Razmisli kako bi taj zapis izgledao ako bi dekadske jedinice zapisali s pomoću potencija baze $10 .$

$2 342 = 2 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{2} + 4 \cdot 10^{1} + 2 \cdot 10^{0}$

Zanimljivost

Osim dekadskoga brojevnog sustava postoji još brojevnih sustava. Dekadski sustav ima deset znamenki i on se koristi u svakodnevnom životu. Baza dekadskog sustava je $10 .$ Binarni brojevni sustav ima samo dvije znamenke, $0$ i $1 .$ Binarni sustav koristi se u digitalnom zapisu. Baza binarnog sustava je $2 .$ Zanimljivi su još i oktalni i heksadecimalni brojevni sustavi. U oktalnom brojevnom sustavu imamo osam znamenki i baza je $8 .$ U heksadecimalnom sustavu imamo šesnaest znamenki pa se u zapisu koriste znamenke i slova , a u tom je sustavu baza $16 .$ Ako je broj zapisan u nekom drugom sustavu koji nije dekadski onda u indeksu ima u zagradi zapisanu bazu. Primjerice broj $10_{(2)}$ znači da je broj zapisan u binarnom sustavu.

Kolekcija zadataka #4

Zapiši broj s pomoću potencija baze $10 .$

$76$	$1 \cdot 10^{4} + 7 \cdot 10^{1} + 8 \cdot 10^{0}$
$10 078$	$5 \cdot 10^{2} + 4 \cdot 10^{1} + 6 \cdot 10^{0}$
$546$	$9 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10^{1} + 2 \cdot 10^{0}$
$9 222$	$7 \cdot 10^{1} + 6 \cdot 10^{0}$

Pomoć:

Pročitaj pažljivo još jednom ovu jedinicu.

Koji broj od ponuđenih je $2 \cdot 10^{7} + 3 \cdot 10^{3} + 1 \cdot 10^{1} ?$

231

Pogledaj eksponente i razmisli.

2 030 401

Pogledaj eksponente i razmisli.

20 003 010

Bravo!

2 003 010

Pogledaj eksponente i razmisli.

Pomoć:

Ako je prva dekadska jedinica $10^{7},$ broj ima osam znamenaka.

Postupak:

$2 \cdot 10 000 000 + 3 \cdot 1 000 + 1 \cdot 10$

Kutak za znatiželjne

Digitalni svijet računala upotrebljava zapis u binarnom sustavu. Pogledajmo kako se zapisuju brojevi u binarnom sustavu i preračunavaju brojevi iz binarnog sustava u dekadski.

U binarnom zapisu imamo na raspolaganju samo dvije znamenke, $0$ i $1 .$ Njihove kombinacije upotrebljavamo za zapisivanje brojeva.

Zapišimo brojeve od $0$ do $10$ iz dekadskog zapisa u binarnom zapisu.

$0 = 0_{(2)}$

$1 = 1_{(2)}$

$2 = 10_{(2)}$

$3 = 11_{(2)}$

$4 = 100_{(2)}$

$5 = 101_{(2)}$

$6 = 110_{(2)}$

$7 = 111_{(2)}$

$8 = 1 000_{(2)}$

$9 = 1 001_{(2)}$

$10 = 1 010_{(2)}$

Primjer 2.

Broj $11001_{(2)}$ zapisan u binarnom sustavu preračunaj u dekadski.

Binarni sustav ima bazu $2,$ a brojevi se zapisuju znamenkama $0$ i $1$ . Isto kao i kod dekadskog sustava upotrebljavamo potencije, ali ovdje potencije baze $2 .$ Pritom je primjerice $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32,$ $2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16,$ $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8,$ $2^{2} = 2 \cdot 2 = 4,$ $2^{1} = 2$ i $2^{0} = 1 .$

Kada zadani broj rastavimo na zapis s pomoću potencija baze $2$ i izračunamo njihove vrijednosti, dobit ćemo broj u dekadskom zapisu.

$\begin{array}{l} 11 001_{(2)} = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 25 \end{array} .$

Zadatak 1.

Preračunaj brojeve iz binarnog sustava u dekadski sustav.

$1111_{(2)}$	$29$
$10001_{(2)}$	$15$
$10010_{(2)}$	$18$
$11101_{(2)}$	$17$

Pomoć:

Znamenke pomnoži potencijama baze $2 .$

Postupak:

$1111_{(2)} = 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

$10001_{(2)} = 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

$10010_{(2)} = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{1}$

$11101 = 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{0}$

Projekt

Podijelite se u grupe u razredu i neka svaka grupa odabere jednu bazu brojevnog sustava. U odabranoj bazi napišite brojeve od $0$ do $10$ te probajte nekoliko brojeva zapisanih u tom brojevnom sustavu preračunati u dekadske. Prezentirajte svoje uratke pred razredom i na panou napravite izložbu brojeva zapisanih u raznim brojevnim sustavima.

...i na kraju

Potencije baze $10$ s nenegativnim cjelobrojnim eksponentom služe preglednijem zapisu velikih brojeva. Primjerice, u voćarstvu upotrebljavamo potencije da bismo prikazali koliki je urod mandarina u neretvanskoj dolini. Razmisli i pronađi na internetu koje se još znanosti i kako koriste potencijama.

I, za kraj, riješi sljedeći zadatak, pojedi barem jednu mandarinu i provjeri svoje rješenje s prijateljima.

Mandarine na stablima u voćnjaku. — Mandarine u voćnjaku

U dijelu neretvanske doline ima $10$ voćnjaka. Svaki od njih ima po $10$ redova stabala mandarina. Svako stablo ima po $10$ glavnih grana, a svaka glavna grana ima po $10$ manjih grana. Na svakoj manjoj grani je $10$ mandarina. Ako svaka mandarina ima $10$ kriški, izračunaj ukupan broj kriški mandarina u tim voćnjacima.

deset	$10^{6}$
deset tisuća	$10^{1}$
jedan	$10^{4}$
milijun	$10^{0}$

$1 dl$	$10^{3} mm$
$1 km$	$10^{6} mg$
$1 kg$	$10^{4} dm$
$1 m$	$10^{2} ml$

$72 \cdot 10^{2}$	$- 150 000$
$- 15 \cdot 10^{4}$	$5 000$
$4 \cdot 10^{2}$	$400$
$5 \cdot 10^{3}$	$7 200$

$57 000$	$6 \cdot 10^{4}$
$60 000$	$3 \cdot 10^{2}$
$300$	$6 \cdot 10^{5}$
$600 000$	$57 \cdot 10^{3}$

3.1 Pojam i zapis potencije baze 10

Na početku...