Zbrajanje i oduzimanje potencija baze $10$

Razmisli i izračunaj $5 \cdot 10^{4} + 4 \cdot 10^{4} .$ Riješi na više načina i odaberi sva točna rješenja.

9 \cdot 20^{4}

Izračunaj prvo vrijednost potencije broja 10, onda dalje računaj po redoslijedu računskih radnji.

90 000

Bravo! Ima još jedno rješenje u obliku potencije.

90^{4}

Izračunaj prvo vrijednost potencije broja 10, onda dalje računaj po redoslijedu računskih radnji.

9 \cdot 10^{4}

Bravo! Drugo točno rješenje je u obliku peteroznamenkastog broja.

Pomoć:

Izračunaj prvo vrijednost potencije broja $10,$ onda dalje računaj po redoslijedu računskih radnji. Zatim rješenje zapiši u obliku umnoška koeficijenta i potencije baze $10 .$

Postupak:

$5 \cdot 10 000 + 4 \cdot 10 000$

$90 000 = 9 \cdot 10 000$

Riješi zadatak s otpadnim papirom i prethodni zadatak izlučivanjem zajedničkog faktora.

Kolekcija zadataka #1

U zadatku $6 \cdot 10^{9} + 2 \cdot 10^{9}$ izluči zajednički faktor. Poredaj korake po redoslijedu računanja.

$(6 + 2) \cdot 10^{9} =$
$8 \cdot 10^{9}$
$6 \cdot 10^{9} + 2 \cdot 10^{9} =$

Pomoć:

Uoči zajednički faktor $10^{9} .$

Postupak:

Izluči zajednički faktor tako da u zagradu napišeš koeficijente i računsku radnju te onda vrijednost zagrade pomnožiš s $10^{9} .$

U zadatku $5 \cdot 10^{4} + 4 \cdot 10^{4}$ izluči zajednički faktor. Poredaj korake po redoslijedu računanja.

$9 \cdot 10^{4}$
$5 \cdot 10^{4} + 4 \cdot 10^{4} =$
$(5 + 4) \cdot 10^{4} =$

Pomoć:

Uoči zajednički faktor $10^{4} .$

Postupak:

Izluči zajednički faktor tako da u zagradu napišeš koeficijente i računsku radnju te onda vrijednost zagrade pomnožiš s $10^{4} .$

Riješi i ove zadatke izlučivanjem zajedničkog faktora.

Kolekcija zadataka #2

Izračunaj $8 \cdot 10^{5} - 3 \cdot 10^{5} =$

\cdot 10^{5} = 5 \cdot 10^{5} .

Pomoć:

Izluči zajednički faktor $10^{5} .$

Postupak:

Izluči zajednički faktor i izračunaj vrijednost zagrade.

Izračunaj $- 8 \cdot 10^{3} - 3 \cdot 10^{3} =$

\cdot 10^{3} = - 11 \cdot 10^{3} .

Pomoć:

Izluči zajednički faktor $10^{3} .$

Postupak:

Izluči i izračunaj vrijednost zagrade.

Izračunaj $- 9 \cdot 10^{7} + 4 \cdot 10^{7} =$

= - 5 \cdot 10^{7} .

Pomoć:

Izluči $10^{7} .$

Postupak:

Izluči i izračunaj vrijednost zagrade.

Zaključimo.

Zbrajanje i oduzimanje potencija baze 10

Ako u zadatku sa zbrajanjem i oduzimanjem potencija imamo jednake potencije, izlučimo ih i potom zbrojimo i oduzmemo njihove koeficijente.

Razmisli i izračunaj $4 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{2} .$ Odaberi točan odgovor.

70^{5}

Izračunaj vrijednost potencije.

700

Izračunaj vrijednost potencije.

7 000

Izračunaj vrijednost potencije.

4 300

Bravo!

Pomoć:

Prvo izračunaj vrijednost potencije.

Postupak:

Izračunaj vrijednost potencije i riješi zadatak poštujući redoslijed računskih radnji.

Ako u zadatku sa zbrajanjem i oduzimanjem potencija nemamo jednake potencije, onda prvo izračunamo vrijednosti tih potencija i dalje rješavamo zadatak poštujući redoslijed računskih radnji.

Zadatak oblika $3 + 5 \cdot 10^{28}$ nema smisla rješavati točno jer je broj koji bismo dobili računajući vrijednost potencije prevelik i nepregledan. Zadatak rješavamo tako da broj približno zaokružimo na najveću mjesnu vrijednost i rješenje pišemo u obliku umnoška koeficijenta i potencije broja $10 .$

$3 + 5 \cdot 10^{28} \approx 5 \cdot 10^{28} .$

Isto tako i zadatak oblika $3 \cdot 10^{15} + 5 \cdot 10^{25} \approx 5 \cdot 10^{25} .$

Istražimo

Pokušaj u zadatcima $3 + 5 \cdot 10^{28}$ i $3 \cdot 10^{15} + 5 \cdot 10^{25}$ izračunati vrijednost potencija, pomnožiti, zbrojiti i zaokružiti broj na najveću mjesnu vrijednost.

Uvježbajmo zbrajanje i oduzimanje potencija baze $10 .$

Kolekcija zadataka #3

Izračunaj i spoji parove zadataka i njihova rješenja.

$11 \cdot 10^{7} - 15 \cdot 10^{7} + 8 \cdot 10^{7}$	$- 9 \cdot 10^{3}$
$3 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{3} - 5 \cdot 10^{3} - 3 \cdot 10^{3}$	$0$
$- 18 \cdot 10^{23} + 17 \cdot 10^{23} + 10^{23}$	$- 3 \cdot 10^{3}$
$7 \cdot 10^{3} - 8 \cdot 10^{3} - 2 \cdot 10^{3} - 6 \cdot 10^{3}$	$4 \cdot 10^{7}$

Pomoć:

Izluči zajedničku potenciju u zadatku. Unutar zagrade pazi na redoslijed računskih radnji.

Postupak:

$10^{23} = 1 \cdot 10^{23}$

Izračunaj $- 11 \cdot 10^{2} + 8 \cdot 10^{3} + 5 \cdot 10^{0} =$

.

Pomoć:

Potencije nisu jednake pa moramo prvo izračunati njihovu vrijednost.

Postupak:

$10^{0} = 1$

Odaberi sva rješenja zadatka $13 \cdot 10^{4} - 15 \cdot 10^{4} + 8 \cdot 10^{4} .$

6 \cdot 10^{4}

Bravo! Ima još točnih rješenja.

60^{4}

Izluči potenciju ili prvo izračunaj vrijednost potencije.

60 000

Bravo! Ima još točnih rješenja.

600 000

Izluči potenciju ili prvo izračunaj vrijednost potencije.

Pomoć:

Iako su potencije jednake, možemo prvo računati njihovu vrijednost.

Postupak:

Ako su potencije jednake, možemo birati između izlučivanja ili računanja njihove vrijednosti, ali ako su vrijednosti jako velike, nije spretno ni pregledno računati ih.

Množenje potencija baze 10 i cijelih brojeva

Primjer 1.

Ružino ulje, koje se koristi za parfeme, dobiva se od svježih ružinih latica. Za $1$ litru ružina ulja potrebno je $3 000 kg$ ružinih latica. Koliko je kg latica potrebno za $15$ litara ulja? A koliko je kilograma latica potrebno za $500$ litara ulja?

Zanimljivost

U Europskoj uniji jedan je od najvećih proizvođača prirodnoga ružina ulja Bugarska i njezina Dolina ruža pored grada Kazanlak. Bugarsko ružino ulje sastavni je dio najpoznatijih svjetskih mirisa kao što su "Givenchy", "Christian Dior", "Nina Ricci", "Chanel" i mnogi drugi. Crtež ruže nalazio se na novčićima u nekadašnjoj Trakiji na području današnje Bugarske za vrijeme Aleksandra Velikog (oko 100. godine), a bit će i na naličju bugarskog eura.

Za $15$ litara potrebno je $15 \cdot 3 000 = 45 000 kg$ latica, a za $500$ litara potrebno je $500 \cdot 3 000 = 1 500 000 kg$ ružinih latica.

Zapiši rješenja primjera s ružinim uljem u obliku potencije.

$15$ litara ulja	$45 \cdot 10^{3} kg$ latica
$1$ litra ulja	$15 \cdot 10^{5} kg$ latica
$500$ litara ulja	$3 \cdot 10^{3} kg$ latica

Pomoć:

Pogledaj primjer i rješenje i svaki broj zapiši u obliku umnoška koeficijenta i potencije baze $10 .$

Postupak:

$3 000 = 3 \cdot 10^{3}$

$45 000 = 45 \cdot 10^{3}$

$1 500 000 = 15 \cdot 10^{5}$

Razmisli i izračunaj $5 \cdot 10^{2} \cdot 3 \cdot 10^{3}$ jednostavnije tako da prvo pomnožiš koeficijente i posebno pomnožiš vrijednosti potencije. Rješenje napiši u obliku umnoška koeficijenta i potencije baze $10 .$ Poredaj korake računanja.

$5 \cdot 100 \cdot 3 \cdot 1 000 =$
$5 \cdot 10^{2} \cdot 3 \cdot 10^{3} =$
$15 \cdot 100 000 =$
$15 \cdot 10^{5}$

Pomoć:

Koristi se svojstvima komutativnosti i asocijativnosti množenja cijelih brojeva.

Postupak:

$10^{3} = 1 000$

$10^{2} = 100$

Pogledaj u sljedećim zadacima kako bi mogli jednostavnije množiti potencije baze 10 i cijele brojeve.

Razmisli i dopuni rečenice. Kada množimo broj oblika $3 \cdot 10^{3}$ cijelim brojem $15,$ prvo pomnožimo brojeve

, a znak množenja i potenciju samo prepišemo. Tako dobijemo rješenje

.

15 \cdot 3

45 \cdot 10^{3}

Pomoć:

Pogledaj rješenje primjera.

Postupak:

$45 000 = 45 \cdot 10^{3}$

Nadalje, kada množimo $5 \cdot 10^{2}$ s $3 \cdot 10^{3},$ pomnožimo posebno cijele brojeve

i posebno potencije

. Rješenje zapišemo u obliku umnoška cijelog broja i potencije

.

5 \cdot 3

15 \cdot 10^{5}

10^{2} \cdot 10^{3}

Pomoć:

Pogledaj rješenje primjera.

Postupak:

$500 = 5 \cdot 10^{2}$

$3 000 = 3 \cdot 10^{3}$

Zadatak 1.

Razmisli i pokušaj napamet pomnožiti izraz $4 \cdot 10^{5} \cdot 2 \cdot 10^{3} .$ Odaberi točno rješenje.

80^{8}

Izračunaj vrijednost potencija i razmisli.

8 \cdot 10^{8}

Bravo!

8 \cdot 100^{8}

Izračunaj vrijednost potencija i razmisli.

8 \cdot 10^{15}

Izračunaj vrijednost potencija i razmisli.

Pomoć:

Prouči prethodni zadatak.

Postupak:

$4 \cdot 2 = 8$

$10^{5} \cdot 10^{3} = 10^{5 + 3}$

Cijeli broj množimo s cijelim brojem, potenciju s potencijom.

Kolekcija zadataka #5

Izračunaj i spoji parove.

$8 \cdot 10^{0} \cdot 3 \cdot 10^{8}$	$24 \cdot 10^{7}$
$- 4 \cdot 10^{6} \cdot (- 6) \cdot 10$	$- 24 \cdot 10^{8}$
$- 6 \cdot 4 \cdot 10^{4}$	$24 \cdot 10^{8}$
$2 \cdot 10^{3} \cdot (- 12) \cdot 10^{5}$	$- 24 \cdot 10^{4}$

Pomoć:

Potencije baze $10$ množimo tako da bazu prepišemo, a eksponente zbrojimo.

Postupak:

$10 = 10^{1}$

Odaberi sva rješenja umnoška $2 \cdot 10^{0} \cdot 5 \cdot 10^{3} \cdot 10^{2} .$

0

10^{0} = 1

10^{6}

Bravo!

10 \cdot 10^{5}

Ovo je točan odgovor, ali je bolje pomnožiti do kraja.

1 000 000

Bravo!

10 \cdot 10^{6}

Potencije množimo tako da bazu

10

prepišemo i eksponente zbrojimo.

Pomoć:

Dekadska jedinica je potencija baze $10 .$

Postupak:

$10 = 10^{1}$

Izračunaj i spoji parove.

$300 cm$	$3 \cdot 10^{6} mm$
$3 000 m$	$3 \cdot 10^{3} mm$
$300 km$	$3 \cdot 10^{5} m$
$30 m$	$3 \cdot 10^{3} cm$

Pomoć:

Kada preračunavamo iz veće u manju mjernu jedinicu, množimo.

Postupak:

$1 cm = 10 mm$

$1 m = 1 000 mm$

$1 km = 1 000 m$

$1 m = 100 cm$

Kutak za znatiželjne

Zadatak 2.

Riješi zadatak $3 \cdot 10^{24} + 5 \cdot 10^{25}$ tako da rješenje zapišeš u obliku umnoška koeficijenta i potencije baze $10 .$

Rješenje provjeri u videozapisu.

Računanje jednostavnog izraza s potencijama baze 10

Pokušaj riješiti još nekoliko takvih zadataka.

Kolekcija zadataka #6

Riješi zadatke i spoji parove.

$4 \cdot 10^{38} - 5 \cdot 10^{37}$	$75 \cdot 10^{44}$
$15 \cdot 10^{17} + 3 \cdot 10^{18}$	$35 \cdot 10^{37}$
$12 \cdot 10^{11} + 28 \cdot 10^{12}$	$45 \cdot 10^{17}$
$8 \cdot 10^{45} - 5 \cdot 10^{44}$	$292 \cdot 10^{11}$

Pomoć:

Pogledaj još jednom videozapis.

Postupak:

$10^{18} = 10 \cdot 10^{17}$

$10^{45} = 10 \cdot 10^{44}$

$10^{12} = 10 \cdot 10^{11}$

$10^{38} = 10 \cdot 10^{37}$

Poredaj korake zadatka $5 \cdot 10^{99} + 8 \cdot 10^{100} - 10^{101}$ po redoslijedu rješavanja.

$- 15 \cdot 10^{99}$
$(5 + 80 - 100) \cdot 10^{99} =$
$5 \cdot 10^{99} + 8 \cdot 10 \cdot 10^{99} - 10^{2} \cdot 10^{99} =$
$5 \cdot 10^{99} + 8 \cdot 10^{100} - 10^{101} =$
$5 \cdot 10^{99} + 80 \cdot 10^{99} - 100 \cdot 10^{99} =$

Pomoć:

Podgledaj ponovno videozapis.

Postupak:

$10^{100} = 10 \cdot 10^{99}$

$10^{101} = 10^{2 + 99} = 10^{2} \cdot 10^{99}$

Povezivanje računskih radnji

Sljedeće zadatke riješi tako da primijeniš sve do sada naučeno o računanju s potencijama baze $10 .$

Kolekcija zadataka #7

Zadatak riješi poštujući redoslijed računskih radnji.

Izračunaj

3 + 5 \cdot 10^{6} =

Pazi na redoslijed računskih radnji.

.

Pomoć:

Prvo izračunaj vrijednost potencije, zatim pomnoži pa zbroji.

Postupak:

$10^{6} = 1 000 000$

Izračunaj $3 \cdot 10^{6} + 7 \cdot 10^{6}$ i odaberi točan odgovor.

10^{7}

Bravo!

100^{6}

Pazi na redoslijed računskih radnji.

21 \cdot 10^{12}

Pazi na redoslijed računskih radnji.

10^{6}

Pazi na redoslijed računskih radnji.

Pomoć:

Izluči zajednički faktor.

Postupak:

$10 \cdot 10^{6} = 10^{1 + 6}$

Izračunaj $8 \cdot 10^{3} \cdot 125 \cdot 10^{2}$ i odaberi sva točna rješenja.

600 000

Ponovno prouči množenje potencija.

6 \cdot 10^{5}

Ponovno prouči množenje potencija.

10^{8}

Bravo! Drugo točno rješenje je prirodni broj.

100 000 000

Bravo! Ima još jedno rješenje u obliku potencije.

1 000 000

Ponovno prouči množenje potencija.

Pomoć:

Potencije množimo tako da bazu prepišemo, a eksponente zbrojimo.

Postupak:

$8 \cdot 125 = 1 000$

$1 000 = 10^{3}$

$10^{3} \cdot 10^{3} \cdot 10^{2} = 10^{3 + 3 + 2}$

Riješi $18 \cdot 10^{18} + 3 \cdot 10^{19} - 8 \cdot 10^{18}$ tako da poredaš korake po redoslijedu rješavanja.

$4 \cdot 10^{19}$
$18 \cdot 10^{18} + 3 \cdot 10^{19} - 8 \cdot 10^{18} =$
$10^{19} + 3 \cdot 10^{19} =$
$10 \cdot 10^{18} + 3 \cdot 10^{19} =$

Pomoć:

Prvo se oduzmu koeficijenti potencije $10^{18} .$

Postupak:

18 \cdot 10^{18} - 8 \cdot 10^{18} = 10 \cdot 10^{18} = 10^{19}

Kutak za znatiželjne

Naučili smo zbrajati, oduzimati i množiti potencije baze $10 .$ Što misliš kako dijelimo potencije baze $10 ?$

Dijeljenje potencija baze 10

Dijeljenje potencija nije tako jednostavno kao množenje. Ovdje ćemo napraviti samo mali dio zadataka s dijeljenjem potencija baze $10$ .

Riješi ovih nekoliko zadataka i razmisli.

Kolekcija zadataka #8

Rješenje zadatka $100 000 : 100$ zapisano prirodnim brojem je

. Zadatak zapisan u obliku potencije baze

10

je

, a rješenje u obliku potencije je

.

10^{5} : 10^{2}

1 000

10^{3}

Pomoć:

Prisjeti se kako se dijele dekadske jedinice.

Postupak:

Prisjeti se zapisa dekadskih jedinica potencijom baze $10 .$

Rješenje zadatka $1 000 000 : 10 000$ zapisano prirodnim brojem je

. Zadatak zapisan s pomoću potencije baze

10

je

, a rješenje zapisano s pomoću potencije je

.

10^{6} : 10^{4}

100

10^{2}

Pomoć:

Prisjeti se kako se dijele dekadske jedinice.

Postupak:

Prisjeti se zapisa dekadskih jedinica potencijom baze $10 .$

Rješenje zadatka $1 000 000 000 : 1 000$ zapisano prirodnim brojem je

. Zadatak zapisan s pomoću potencije baze

10

je

, a rješenje zapisano s pomoću potencije je

.

10^{9} : 10^{3}

1 000 000

10^{6}

Pomoć:

Prisjeti se kako se dijele dekadske jedinice.

Postupak:

Prisjeti se zapisa dekadskih jedinica potencijom baze $10 .$

Riješi sljedeći zadatak na najjednostavniji način.

Zadatak 3.

Rješenje dijeljenja $10^{18} : 10^{14}$ može biti zapisano na više načina. Odaberi sve točne odgovore.

1^{4}

Izračunaj vrijednosti potencija i podijeli.

10^{4}

Bravo! Ima još jedno rješenje zapisano u obliku prirodnog broja.

100 000

Izračunaj vrijednosti potencija i podijeli.

10 000

Bravo! Drugo točno rješenje je u obliku potencije.

Pomoć:

Riješi još jednom kolekciju zadataka i razmisli.

Postupak:

$10^{18} : 10^{14} = 10^{18 - 14}$

Zaključimo.

Dijeljenje potencija baze 10

Potencije baze $10$ dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo.

Zadatak 4.

Izračunaj i spoji parove.

$10^{39} : 10$	$10^{54}$
$10^{54} : 10^{0}$	$10^{36}$
$10^{54} : 10^{15}$	$10^{39}$
$10^{45} : 10^{9}$	$10^{38}$

Pomoć:

Bazu prepišemo, eksponente oduzmemo.

Postupak:

$10 = 10^{1} .$

...i na kraju

Ponovimo računanje s potencijama baze $10$ kratkom procjenom znanja.

$10^{8} \cdot 10^{32} \cdot 10^{11}$	$10^{43}$
$10^{25} \cdot 10^{18}$	$10^{51}$
$10^{13} \cdot 10^{21} \cdot 10^{29} \cdot 10^{17}$	$10^{100}$
$10^{46} \cdot 10^{54}$	$10^{80}$

$3 + 4 \cdot 10^{3}$	$7 \cdot 10^{3}$
$3 \cdot 10^{3} + 4 \cdot 10^{3}$	$12 \cdot 10^{3}$
$3 \cdot 10^{3} \cdot 4 \cdot 10^{3}$	$4 003$
$3 \cdot 4 \cdot 10^{3}$	$- 10^{3}$
$3 \cdot 10^{3} - 4 \cdot 10^{3}$	$12 \cdot 10^{6}$

3.2 Računanje s potencijama baze 10

Na početku...

Zbrajanje i oduzimanje potencija baze $10$

Kolekcija zadataka #1

Kolekcija zadataka #2

Zbrajanje i oduzimanje potencija baze 10

Istražimo

Kolekcija zadataka #3

Množenje potencija baze 10

Množenje potencija baze 10

Kolekcija zadataka #4

Množenje potencija baze 10 i cijelih brojeva

Primjer 1.

Zanimljivost

Zadatak 1.

Kolekcija zadataka #5

Kutak za znatiželjne

Zadatak 2.

Kolekcija zadataka #6

Povezivanje računskih radnji

Kolekcija zadataka #7

Kutak za znatiželjne

Dijeljenje potencija baze 10

Kolekcija zadataka #8

Zadatak 3.

Dijeljenje potencija baze 10

Zadatak 4.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: