Matematika 6 - 7.3 Rješavanje linearnih jednadžbi s jednom nepoznanicom

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom $x$ je jednadžba oblika $a x + b = 0,$ gdje su $a$ i $b$ zadani brojevi. Rješenje linearne jednadžbe je racionalni broj $x$ koji uvršten u linearnu jednadžbu daje ispravnu jednakost.

Primjer 1.

Pronađi rješenje linearne jednadžbe $x + 3 = 12 .$

Za rješavanje ove jednadžbe treba oduzeti broj tri i s lijeve i s desne strane:

$\begin{array}{lll} x + 3 - 3 = 12 - 3 \\ x + 0 = 9 \\ x = 9 \end{array}$

Jednadžbu zamislimo kao vagu koja ima lijevu i desnu stranu, a jednakost znači da su obje strane vage u ravnoteži. Ako s obje strane vage dodamo ili oduzmemo istu masu, vaga će ostati u ravnoteži.

Stara vaga s orasima koja ima desnu i lijevu stranu kao podsjetnik kako u linearnoj jednadžbi sve mora biti u ravnoteži. — Vaga

Ako s obje strane jednadžbe dodamo ili oduzmemo isti broj, rješenje se neće promijeniti.

Poveži linearne jednadžbe s njihovim rješenjima.

$x + 7 = 23$	$x = 16$
$x - 4 = 21$	$x = 41$
$x - 12 = 29$	$x = 12$
$x + 3 = 15$	$x = 25$

Pomoć:

Jednadžba je riješena ako na lijevoj strani ostane samo $x .$

null

U prethodnim linearnim jednadžbama dodavao se suprotan broj na obje strane jednadžbe. Otprije znamo kako je zbroj suprotnih brojeva jednak nula. Kada dodajemo suprotan broj na lijevu i desnu stranu jednadžbe, to možemo shvatiti kao da je broj koji je bio s lijeve strane jednadžbe prebačen na desnu stranu jednadžbe. Pri tom prebacivanju on je promijenio predznak.

Primjer 2.

Pronađi rješenje linearne jednadžbe $x - 4 = 17 .$

Za rješavanje ove jednadžbe treba broj četiri prebaciti na drugu stranu. Pritom mu treba promijeniti predznak:

$\begin{array}{lll} x - 4 = 17 \\ x = 17 + 4 \\ x = 21 . \end{array}$

Rješenje linearne jednadžbe

x - 0.4 = 1.6

je

x =

Razmisli!

,

a rješenje linearne jednadžbe

x - 5 = - 1

je

x =

Razmisli!

.

Pomoć:

Poznatu veličinu na lijevoj strani prebaci na desnu stranu znaka jednakosti. Ne zaboravi pritom promijeniti predznak!

null

Primjer 3.

Koji broj je rješenje linearne jednadžbe $2 x = 24 ?$

Rješenje ove jednadžbe dobit ćemo ako podijelimo i lijevu i desnu stranu s $2:$

$\begin{array}{l} 2 x = 24 \\ 2 x : 2 = 24 : 2 \\ x = 12 . \end{array}$

Postupak rješavanja jednadžbe dijeljenjem može se pojednostavniti. To se može učiniti tako da se iza linearne jednadžbe napiše kosa crta i broj s kojim se dijeli. Uvijek se dijeli s onim brojem koji množi nepoznanicu:

$\begin{array}{l} 2 x = 24 / : 2 \\ x = 12 . \end{array}$

Ako se obje strane jednadžbe podijele ili pomnože s istim brojem, rješenje ostaje isto.

Poveži linearne jednadžbe s odgovarajućim rješenjima.

$5 x = 15$	$x = 14$
$12 x = 84$	$x = 7$
$6 x = 84$	$x = 3$
$2 x = 7$	$x = 3.5$

Pomoć:

Podijeli i lijevu i desnu stranu s brojem koji množi $x .$

null

Primjer 4.

Riješi linearnu jednadžbu $2 x + 4 = 12$ i provjeri točnost dobivenog rješenja.

Pri rješavanju ove linearne jednadžbe treba prvo prebaciti broj $4$ na desnu stranu (i pritom mu promijeniti predznak), a potom cijelu jednadžbu podijeliti s $2:$

$\begin{array}{llll} 2 x + 4 = 12 \\ 2 x = 12 - 4 \\ 2 x = 8 / : 2 \\ x = 4 . \end{array}$

Za provjeru je li dobiveni broj rješenje jednadžbe, treba ga uvrstiti u jednadžbu i provjeriti daje li uvršteno rješenje točnu jednakost:

$\begin{array}{lll} 2 \cdot 4 + 4 = 12 \\ 8 + 4 = 12 \\ 12 = 12 . \end{array}$

Pronađi rješenja linearnih jednadžbi.

2 + x = 7,

x =

Razmisli!

,

4 + 4 x = 16,

x =

Razmisli!

,

x - 30 = - 18,

x =

Razmisli!

,

x - 27 = - 12,

x =

Razmisli!

.

Pomoć:

Prebaci poznate veličine s desne na lijevu stranu (ne zaboravi im promijeniti predznak). Ako se pored $x$ nalazi broj, cijelu jednadžbu podijeli s tim brojem. Provjeri točnost rješenja.

null

Primjer 5.

Riješi linearnu jednadžbu $2 x + 5 = 17$ i provjeri točnost rješenja.

Pri rješavanju ove linearne jednadžbe treba prebaciti $5$ na desnu stranu (i pritom mu promijeniti predznak), a potom cijelu jednadžbu podijeliti s $2:$

$\begin{array}{llll} 2 x + 5 = 17 \\ 2 x = 17 - 5 \\ 2 x = 12 / : 2 \\ x = 6 . \end{array}$

Provjera rješenja:

$\begin{array}{lll} 2 \cdot 6 + 5 = 17 \\ 12 + 5 = 17 \\ 17 = 17 . \end{array}$

Kolekcija zadataka #1

Pronađi rješenje linearne jednadžbe $4 x + 4 = 4 .$ Provjeri točnost rješenja.

Rješavanje linearne jednadžbe:

$\begin{array}{llll} 4 x + 4 = 4 \\ 4 x = 4 - 4 \\ 4 x = 0 / : 4 \\ x = 0 . \end{array} .$

Provjera:

$\begin{array}{ll} 4 \cdot 0 + 4 = 4 \\ 4 = 4 . \end{array}$

Pronađi rješenje linearne jednadžbe $5 x - 7 = 13 .$ Provjeri točnost rješenja.

Rješavanje linearne jednadžbe:

$\begin{array}{llll} 5 x - 7 = 13 \\ 5 x = 13 + 7 \\ 5 x = 20 / : 5 \\ x = 4 . \end{array} .$

Provjera:

$\begin{array}{lll} 5 \cdot 4 - 13 = 7 \\ 20 - 13 = 7 \\ 7 = 7 . \end{array}$

Pronađi rješenje linearne jednadžbe $3 x - 15 = 21 .$ Provjeri točnost rješenja.

Rješavanje linearne jednadžbe:

$\begin{array}{llll} 3 x - 15 = 21 \\ 3 x = 21 + 15 \\ 3 x = 36 / : 3 \\ x = 12 . \end{array} .$

Provjera:

$\begin{array}{lll} 3 \cdot 12 - 15 = 21 \\ 36 - 15 = 21 \\ 21 = 21 . \end{array}$

Pronađi rješenje linearne jednadžbe $- 242 + 11 x = 187 .$ Provjeri točnost rješenja.

Rješavanje linearne jednadžbe:

$\begin{array}{llll} - 242 + 11 x = 187 \\ 11 x = 187 + 242 \\ 11 x = 429 / : 11 \\ x = 39 . \end{array} .$

Provjera:

$\begin{array}{lll} - 242 + 11 \cdot 39 = 187 \\ - 242 + 429 = 187 \\ 187 = 187 . \end{array}$

Linearne jednadžbe s više pribrojnika

U prošlim zadatcima utvrđeno je kako poznate veličine, ako se nalaze na lijevoj strani jednadžbe, treba prebaciti na desnu stranu jednadžbe. Pritom im se mijenjao predznak.

Isto tako, ako se nepoznate veličine nalaze na desnoj strani jednadžbe, treba ih prebaciti na lijevu stranu jednadžbe. Ako mijenjaju stranu, treba i njima promijeniti predznak.

Ilustracija na kojoj se vidi kako u jednadžbi 2x+5=x+8 x prelazi na lijevu stranu i mijenja predznak, isto tako i broj 5 prelazi na desnu stranu i mijenja predznak. — Mijenjanje strane

Primjer 6.

Riješi jednadžbu $3 x - 4 = 2 x + 5 .$

Treba prvo nepoznate veličine prebaciti na lijevu, a poznate na desnu stranu. Potom treba zbrojiti sve poznate i sve nepoznate veličine.

$\begin{array}{lll} 3 x - 4 = 2 x + 5 \\ 3 x - 2 x = 5 + 4 \\ x = 9 . \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{lll} 3 \cdot 9 - 4 = 2 \cdot 9 + 5 \\ 27 - 4 = 18 + 5 \\ 23 = 23 . \end{array}$

Linearna jednadžba $3 x - 4 = 2 x + 5$ riješena je u dva koraka. Svaki korak predstavlja jednostavniju jednadžbu, ali s istim rješenjem kao u zadanoj jednadžbi.

Ekvivalentne jednadžbe

Jednadžbe s istim rješenjem nazivaju se ekvivalentne jednadžbe.

Kolekcija zadataka #2

Riješi jednadžbu $- 3 x + 6 = - 12 x + 12 .$

Treba prvo nepoznate veličine prebaciti na lijevu, a poznate na desnu stranu. Nakon toga treba zbrojiti sve poznate i sve nepoznate veličine.

$\begin{array}{lllll} - 3 x + 6 = - 12 x + 12 \\ - 3 x + 12 x = 12 - 6 \\ 9 x = 6 / : 9 \\ x = \frac{6^{2}}{9_{3}} \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{lll} - 3^{1} \cdot \frac{2}{3_{1}} + 6 = - 12^{4} \cdot \frac{2}{3_{1}} + 12 \\ - 2 + 6 = - 8 + 12 \\ 4 = 4 . \end{array}$

Riješi jednadžbu $x = - 5 x + 24 .$

Treba prvo nepoznate veličine prebaciti na lijevu, a poznate na desnu stranu, a potom zbrojiti sve poznate i sve nepoznate veličine.

$\begin{array}{llll} x = - 5 x + 24 \\ x + 5 x = 24 \\ 6 x = 24 / : 6 \\ x = 4 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{ll} 4 = - 20 + 24 \\ 4 = 4 . \end{array}$

Riješi jednadžbu $5 x - 4 + 3 x = 7 x + 5 + 11 .$

Treba prvo zbrojiti sve što se može na svakoj strani. Nepoznate veličine prebaciti na lijevu, a poznate na desnu stranu, a potom zbrojiti sve poznate i sve nepoznate veličine.

$\begin{array}{l} 5 x - 4 + 3 x = 7 x + 5 + 11 \\ 8 x - 4 = 7 x + 16 \\ 8 x - 7 x = 16 + 4 \\ x = 20 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{l} 5 \cdot 20 - 4 + 3 \cdot 20 = 7 \cdot 20 + 5 + 11 \\ 100 - 4 + 60 = 140 + 5 + 11 \\ 156 = 156 . \end{array}$

Riješi jednadžbu $2 x + 5 x + 3 - 5 x + 7 x = 12 x + 4 x + 3 - 12 x + 5 .$

Treba prvo zbrojiti sve što se može na svakoj strani. Nepoznate veličine prebaciti na lijevu, a poznate na desnu stranu, a potom zbrojiti sve poznate i sve nepoznate veličine.

$\begin{array}{lllll} 2 x + 5 x + 3 - 5 x + 7 x = 12 x + 4 x + 3 - 12 x + 5 . \\ 9 x + 3 = 4 x + 8 \\ 9 x - 4 x = 8 - 3 \\ 5 x = 5 / : 5 \\ x = 1 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{lll} 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 3 - 5 \cdot 1 + 7 \cdot 1 = 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 3 - 12 \cdot 1 + 5 \\ 2 + 5 + 3 - 5 + 7 = 12 + 4 + 3 - 12 + 5 \\ 12 = 12 . \end{array}$

Linearne jednadžbe sa zagradama

U linearnim jednadžbama s jednom nepoznanicom ponekad se nalaze i zagrade. U takvim ćeš se jednadžbama prvo riješiti zagrada koristeći se pravilima za rad sa zagradama.

Primjer 7.

Riješi jednadžbu $2 x + (2 x + 5) = 5 - (- 3 x - 8) .$

Treba se prvo riješiti zagrada, potom zbrojiti sve što se može na svakoj strani. Nepoznate veličine prebaciti na lijevu, a poznate na desnu stranu, a potom zbrojiti sve poznate i sve nepoznate veličine.

$\begin{array}{lllll} 2 x + (2 x + 5) = 5 - (- 3 x - 8) \\ 2 x + 2 x + 5 = 5 + 3 x + 8 \\ 4 x + 5 = 3 x + 13 \\ 4 x - 3 x = 13 - 5 \\ x = 8 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{llll} 2 \cdot 8 + (2 \cdot 8 + 5) = 5 - (- 3 \cdot 8 - 8) . \\ 16 + (16 + 5) = 5 - (- 32) \\ 16 + 21 = 5 + 32 \\ 37 = 37 . \end{array}$

Kolekcija zadataka #3

Riješi jednadžbu $2 + (3 x - 5) + 4 = 5 - (- 4 x - 7) .$

Treba se prvo riješiti zagrada, potom zbrojiti sve što se može na svakoj strani. Nepoznate veličine prebaciti na lijevu, a poznate na desnu stranu, a potom zbrojiti sve poznate i sve nepoznate veličine.

$\begin{array}{lllll} 2 x + (3 x - 5) + 4 = 5 - (- 4 x - 7) \\ 2 x + 3 x - 5 + 4 = 5 + 4 x + 7 \\ 5 x - 1 = 4 x + 12 \\ 5 x - 4 x = 12 + 1 \\ x = 13 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{llll} 2 \cdot 13 + (3 \cdot 13 - 5) + 4 = 5 - (- 4 \cdot 13 - 7) \\ 26 + (39 - 5) + 4 = 5 - (- 52 - 7) \\ 26 + 34 + 4 = 5 + 59 \\ 64 = 64 . \end{array}$

Riješi jednadžbu $(4 x + 5) - (4 x + 4) = 7 - (2 x + 4 x) .$

Treba se prvo riješiti zagrada, potom zbrojiti sve što se može na svakoj strani. Nepoznate veličine prebaciti na lijevu, a poznate na desnu stranu, a potom zbrojiti sve poznate i sve nepoznate veličine.

$\begin{array}{llllll} (4 x + 5) - (4 x + 4) = 7 - (2 x + 4 x) \\ 4 x + 5 - 4 x - 4 = 7 - 2 x - 4 x \\ 1 = 7 - 6 x \\ 6 x = 7 - 1 \\ 6 x = 6 / : 6 \\ x = 1 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{llll} (4 \cdot 1 + 5) - (4 \cdot 1 + 4) = 7 - (2 \cdot 1 + 4 \cdot 1) \\ (4 + 5) - (4 + 4) = 7 - (2 + 4) \\ 9 - 8 = 7 - 6 \\ 1 = 1 . \end{array}$

Riješi jednadžbu $2 + (3 - (7 - x) - 2 x - 3) = 3 - (- 4 + (2 x + 8)) .$

U ovom zadatku imaš ugniježđene zagrade (zagrade unutar zagrada). Prvo ćeš se riješiti unutarnjih zagrada, zatim vanjskih, a potom riješiti linearnu jednadžbu.

$\begin{array}{llllll} 2 + (3 - (7 - x) - 2 x - 3) = 3 - (- 4 + (2 x + 8)) \\ 2 + (3 - 7 + x - 2 x - 3) = 3 - (- 4 + 2 x + 8) \\ 2 - 7 + x - 2 x = 3 + 4 - 2 x - 8 \\ - x - 5 = - 2 x - 1 \\ - x + 2 x = - 1 + 5 \\ x = 4 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{lllll} 2 + (3 - (7 - (- 4)) - 2 \cdot (- 4) - 3) = 3 - (4 + (2 \cdot (- 4) + 8)) \\ 2 + (3 - (7 + 4) + 8 - 3) = 3 - (4 + (- 8 + 8)) \\ 2 + (- 11 + 8) = 3 - 4 \\ 2 - 3 = 3 - 4 \\ - 1 = - 1 . \end{array}$

Linearne jednadžbe s razlomcima i decimalnim brojevima

Pri rješavanju linearnih jednadžbi s razlomcima treba prvo pronaći najmanji zajednički nazivnik svih razlomaka u jednadžbi. Svaki član jednadžbe pomnoži se s tim brojem. Dobije se jednadžba ekvivalentna zadanoj jednadžbi, ali bez razlomaka.

Primjer 8.

Riješi jednadžbu $\frac{1}{2} x + 7 = \frac{1}{5} x + 10 .$

Pri rješavanju ove linearne jednadžbe prvo pronađi najmanji zajednički nazivnik svih razlomaka u jednadžbi, a potom i lijevu i desnu stranu jednadžbe pomnoži s tim brojem:

$\begin{array}{llllll} \frac{1}{2} x + 7 = \frac{1}{5} x + 10 / \cdot 10 \\ \frac{1}{2_{1}} x \cdot 10^{2} + 7 \cdot 10 = \frac{1}{5_{1}} x \cdot 10^{2} + 10 \cdot 10 \\ 5 x + 70 = 2 x + 100 \\ 5 x - 2 x = 100 - 70 \\ 3 x = 30 / : 3 \\ x = 10 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{lll} \frac{1}{2} \cdot 10 + 7 = \frac{1}{5} \cdot 10 + 10 \\ 5 + 7 = 2 + 10 \\ 12 = 12 . \end{array}$

Kolekcija zadataka #4

Riješi jednadžbu $\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} x + 2 .$

Pri rješavanju ove linearne jednadžbe prvo pronađi najmanji zajednički nazivnik svih razlomaka u jednadžbi, a potom i lijevu i desnu stranu jednadžbe pomnoži s tim brojem:

$\begin{array}{llllll} \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} x + 2 / \cdot 6 \\ \frac{1}{2_{1}} x \cdot 6^{3} + \frac{1}{3_{1}} \cdot 6^{2} = \frac{1}{6_{1}} x \cdot 6^{1} + 2 \cdot 6 \\ 3 x + 2 = x + 12 \\ 3 x - x = 12 - 2 \\ 2 x = 10 / : 2 \\ x = 5 . \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{llll} \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \cdot 5 + 2 \\ \frac{5}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + 2 \\ \frac{15 + 2}{6} = \frac{5 + 12}{6} \\ \frac{17}{6} = \frac{17}{6} . \end{array}$

Riješi jednadžbu $3 x + 3 = 0.2 x + 8.6 .$

Ovaj zadatak možeš riješiti tako da ostaviš decimalne brojeve do kraja i računaš s njima. Možeš napraviti i tako da pomnožiš s dekadskom jedinicom i jednadžbu pretvoriš u ekvivalentnu jednadžbu čiji su članovi cijeli brojevi.

$\begin{array}{lllll} 3 x + 3 = 0.2 x + 8.6 / \cdot 10 \\ 30 x + 30 = 2 x + 86 \\ 30 x - 2 x = 86 - 30 \\ 28 x = 56 / : 2 \\ x = 2 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{lll} 3 \cdot 2 + 3 = 0.2 \cdot 2 + 8.6 \\ 6 + 3 = 0.4 + 8.6 \\ 9 = 9 . \end{array}$

Riješi jednadžbu $\frac{4}{5} x + 0.3 = \frac{1}{2} x + 3.6 .$

Ovaj zadatak možeš riješiti tako da pomnožiš i lijevu i desnu stranu jednadžbe s brojem 10.

$\begin{array}{llllll} \frac{4}{5} x + 0.3 = \frac{1}{2} x + 3.6 / \cdot 10 \\ \frac{4}{5_{1}} x \cdot 10^{2} + 3 = \frac{1}{2_{1}} x \cdot 10^{5} + 36 \\ 8 x + 3 = 5 x + 36 \\ 8 x - 5 x = 36 - 3 \\ 3 x = 33 / : 3 \\ x = 11 \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{llll} \frac{4}{5} \cdot 11 + 0.3 = \frac{1}{2} \cdot 11 + 3.6 \\ \frac{44}{5} + \frac{3}{10} = \frac{11}{2} + \frac{36}{10} \\ \frac{88 + 3}{10} = \frac{55 + 36}{10} \\ \frac{91}{6} = \frac{91}{6} . \end{array}$

Kutak za znatiželjne

Riješi linearnu jednadžbu $\frac{4 + 3 x}{5} - \frac{2 x - 3}{4} = \frac{5 - 3 x}{2} + \frac{7 + x}{10} .$

Pomnoži lijevu i desnu stranu jednakosti s zajedničkim nazivnikom svih razlomaka u zadatku (s brojem $20$ ).

$\begin{array}{lllllllll} \frac{4 + 3 x}{5} - \frac{2 x - 3}{4} = \frac{5 - 3 x}{2} + \frac{7 + x}{10} / \cdot 20 \\ 4 (4 + 3 x) - 5 (2 x - 3) = 10 (5 - 3 x) + 2 (7 + x) \\ 16 + 12 x - 10 x + 15 = 50 - 30 x + 14 + 2 x \\ 2 x + 31 = - 28 x + 64 \\ 2 x + 28 x = 64 - 31 \\ 30 x = 33 / : 30 \\ x = \frac{33^{11}}{30_{10}} \\ x = \frac{11}{10} \\ x = 1.1 \end{array}$

...i na kraju

Za ponavljanje naučenog odigraj memory u kojem ćeš spojiti linearnu jednadžbu s njezinim rješenjem.

Povećaj interaktivni prikaz

Na početku...

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom

Primjer 1.

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Primjer 5.

Kolekcija zadataka #1

Linearne jednadžbe s više pribrojnika

Primjer 6.

Ekvivalentne jednadžbe

Kolekcija zadataka #2

Linearne jednadžbe sa zagradama

Primjer 7.

Kolekcija zadataka #3

Linearne jednadžbe s razlomcima i decimalnim brojevima

Primjer 8.

Kolekcija zadataka #4

Kutak za znatiželjne

...i na kraju