Matematika 6 - Aktivnosti za samostalno učenje

Riješi, provjeri, podijeli

Za uvježbavanje sadržaja vezanih za linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom predlažemo nekoliko zadataka. Njih možeš samostalno riješiti u bilježnicu ili u nekom interaktivnom alatu, primjerice u Geogebri. Nakon što riješiš zadatke, usporedi svoje rješenje s rješenjima ostalih učenika.

Prisjeti se kako prevesti rečenice iz govornog jezika u matematičke izraze. Spoji parove.

$3 x$	trokratnik broja
$\frac{x}{3}$	neki broj umanjen za tri
$2 x$	neki broj uvećan za dva
$x + 2$	neki broj umanjen tri puta
$x - 3$	neki broj uvećan dva puta

Pomoć:

Razmisli. Prisjeti se kako u matematičkom jeziku

"uvećan za..." označava zbrajanje,

"uvećan ... puta" označava množenje,

"umanjen za..." označava oduzimanje,

"umanjen ... puta" označava dijeljenje.

null

Jednadžba je matematički pojam koji povezuje

s pomoću znaka jednakosti. Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom znači da se u linearnoj jednadžbi pojavljuje samo

veličina. Vrijednost nepoznanice za koju vrijedi jednakost je

. Nepoznanice se obično označavaju slovima

, ali se mogu označiti i nekom drugom oznakom.

jedna nepoznata

poznate i nepoznate veličine

rješenje linearne jednadžbe

x,

y,

z

Pomoć:

Pažljivo pročitaj rečenice i nadopuni ih izrazima za koje misliš da ih najbolje nadopunjuju.

null

Pri rješavanju linearnih jednadžbi treba voditi računa o ravnoteži lijeve i desne strane jednakosti. Jednadžbu možemo zamisliti kao vagu koja ima lijevu i desnu stranu, a jednakost znači da su obje strane u ravnoteži.

Kolekcija zadataka #1

Riješi linearnu jednadžbu

\frac{1}{3} x + 4 = \frac{1}{2} x - 8 .

Pri rješavanju ove jednadžbe treba pronaći zajednički nazivnik svih razlomaka koji se pojavljuju u jednadžbi. S njim se pomnoži cijela jednadžba:

$\begin{array}{l} \frac{1}{3} x + 4 = \frac{1}{2} x - 8 / \cdot 6 \\ 2 x + 24 = 3 x - 48 \\ 3 x - 2 x = 48 + 24 \\ x = 72 . \end{array}$

Primijeti kako su u trećem redu zamijenjene strane jednadžbe. To se smije napraviti bez mijenjanja predznaka, ali samo ako cijelu lijevu stranu prebaciš na desnu i cijelu desnu stranu prebaciš na lijevu stranu.

Provjera:

$\begin{array}{l} \frac{1}{3_{1}} \cdot 72^{24} + 4 = \frac{1}{2_{1}} \cdot 72^{36} - 8 \\ 24 + 4 = 36 - 8 \\ 28 = 28 . \end{array}$

Riješi linearnu jednadžbu $2 x - (3 x + 5) + (7 x + 8) = 15 .$

Pri rješavanju ove jednadžbe treba se riješiti zagrada:

$\begin{array}{llllll} 2 x - (3 x + 5) + (7 x + 8) = 15 \\ 2 x - 3 x - 5 + 7 x + 8 = 15 \\ 6 x + 3 = 15 \\ 6 x = 15 - 3 \\ 6 x = 12 / : 6 \\ x = 2 . \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{llll} 2 \cdot 2 - (3 \cdot 2 + 5) + (7 \cdot 2 + 8) = 15 \\ 4 - (6 + 5) + (14 + 8) = 15 \\ 4 - 11 + 22 = 15 \\ 15 = 15 . \end{array}$

Riješi linearnu jednadžbu $\frac{2 x + 4}{3} = \frac{3 x + 8}{5} .$

Pri rješavanju ove jednadžbe treba cijelu jednadžbu pomnožiti sa zajedničkim nazivnikom svih razlomaka:

$\begin{array}{l} \frac{2 x + 4}{3} = \frac{3 x + 8}{5} / \cdot 15 \\ 5 (2 x + 4) = 3 (3 x + 8) \\ 10 x + 20 = 9 x + 24 \\ 10 x - 9 x = 24 - 20 \\ x = 4 . \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{l} \frac{2 \cdot 4 + 4}{3} = \frac{3 \cdot 4 + 8}{5} \\ \frac{8 + 4}{3} = \frac{12 + 8}{5} \\ \frac{12^{4}}{3_{1}} = \frac{20^{4}}{5_{1}} \\ 4 = 4 . \end{array}$

Brojni se životni problemi mogu riješiti rješavanjem linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom. Možete li se sjetiti još neke životne situacije koja se može riješiti s pomoću linearne jednadžbe?

Poredaj korake rješavanja problemskog zadatka koji se može riješiti s pomoću linearne jednadžbe:

Važno je i provjeriti je li rješenje smisleno i napisati odgovor riječima.
Treba pročitati zadatak s razumijevanjem, ako treba i nekoliko puta.
Treba pažljivo riješiti jednadžbu.
Vezu između poznatih i nepoznatih veličina treba prikazati s pomoću linearne jednadžbe.
Odredi što je u zadatku poznato, kao i vezu poznatih i nepoznatih veličina.

Pomoć:

Pažljivo pročitaj korake i razmisli koji korak slijedi iza kojega.

null

Kolekcija zadataka #2

Baka je na tržnicu ponijela $300 kn .$ Krumpir, rajčicu i mrkvu platila je $76 kn .$ Planira kupiti i piletinu. Cijena kilograma piletine je $32 kn .$ Koliko kilograma piletine baka može kupiti s iznosom koji joj je preostao nakon kupovine povrća?

Označi s $x$ masu piletine koju baka može kupiti. Znamo da je cijena koju treba platiti za kilogram piletine $32 kn,$ što znači da baka za piletinu može potrošiti iznos $32 x .$ Znamo i da je baka ponijela $300 kn,$ koliko može potrošiti za povrće koje košta $76 kn$ i za piletinu koja košta $32 x .$ Vrijedi: $32 x + 76 = 300 .$

Rješavanje:

$\begin{array}{l} 32 x + 76 = 300 \\ 32 x = 300 - 76 \\ 32 x = 224 / : 32 \\ x = 7 kg. \end{array}$

Provjera:

$\begin{array}{l} 32 \cdot 7 + 76 = 300 \\ 224 + 76 = 300 \\ 300 = 300 . \end{array}$

Baka može kupiti $7 kg$ piletine.

Za zajedničku proslavu rođendana tri su dječaka potrošila $1 640 kn .$ Prvi je dječak potrošio $250 kn$ više nego drugi dječak, a treći je dječak potrošio $60 kn$ više nego prvi dječak.

Prvi je dječak potrošio

Razmisli!

kn

, drugi dječak

Razmisli!

kn

, a treći dječak

Razmisli!

kn

.

Pomoć:

Označi iznos koji je potrošio drugi dječak s $x,$ prvi dječak s $x + 250,$ a treći dječak s $x + 310 .$

null

Forenzičarka pomoću povećala pregledava uzorak. — Forenzičarka

Zadatak 1.

Kada forenzičari procjenjuju visinu određene osobe, oni to rade s pomoću duljine bedrene kosti te osobe. Primjerice, za muškarca koji je visok $180 cm$ bedrena kost ima duljinu $x$ izraženu formulom $2.24 x + 60.1 = 180,$ dok za ženu visoku $180 cm$ bedrena kost ima duljinu $y$ izraženu formulom $2.3 y + 61.4 = 180 .$ Kolika je duljina bedrene kosti spomenutog muškarca, a kolika spomenute žene?

Duljina bedrene kosti muškarca visokog $180 cm :$

$\begin{array}{l} 2.24 x + 60.1 = 180 \\ 2.24 x = 180 - 60.1 \\ 2.24 x = 119.9 \\ x \approx 53.53 cm. \end{array}$

Duljina bedrene kosti žene visoke $180 cm :$

$\begin{array}{l} 2.3 y + 61.4 = 180 \\ 2.3 y = 180 - 61.4 \\ 2.3 y = 118.6 / : 2.3 \\ y = 51.57 cm. \end{array}$

Duljina bedrene kosti muškarca visokog $180 cm$ je $53.53 cm,$ a žene visoke $180 cm$ je $51.57 cm .$

Projekt

Istraži što sve rade forenzičari i na koji im način matematika pomaže pri obavljanju posla. Pri istraživanju pronaći ćeš još nekoliko jednadžbi koje su forenzičarima nezamjenjive. Zapiši ih i zamisli kako je to biti forenzičar na jedan dan.

Kutak za znatiželjne

Linearne nejednadžbe povezuju dva matematička izraza znakovima $<,$ $\leq,$ $>,$ $\geq .$ Za njihovo rješavanje obje strane nejednakosti zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo s istim brojem, slično kao i kod linearnih jednadžbi. Treba pripaziti na množenje cijele nejednadžbe negativnim brojem, kada se znak nejednakosti promijeni.

Kolekcija zadataka #3

Riješi nejednadžbu $12 - 4 x \leq 15 - 5 x .$

Kao i kod linearnih nejednadžbi treba nepoznate veličine staviti na lijevu, a poznate na desnu stranu. Potom računamo:

$\begin{array}{l} 12 - 4 x \leq 15 - 5 x \\ 5 x - 4 x \leq 15 - 12 \\ x \leq 3 . \end{array}$

Riješi nejednadžbu $6 - 3 x \geq 18 - 6 x .$

Kao i kod linearnih nejednadžbi treba nepoznate veličine staviti na lijevu, a poznate na desnu stranu. Potom računamo:

$\begin{array}{l} 6 - 3 x \geq 18 - 6 x \\ 6 x - 3 x \geq 18 - 6 \\ 3 x \geq 12 / : 3 \\ x \geq 4 . \end{array}$

...i na kraju

Za kraj odigraj u razredu matematičku gusjenicu.

Osmisli matematički problem i ponudi prijatelju da ga riješi. On napiše rješenje tako da ga nitko ne vidi. Zatim nadopuni problem tako da nova linearna jednadžba bude ekvivalentna početnoj i pošalje ga drugom učeniku koji učini to isto. Matematički problem se nadopunjava ukrug dok ne dođe ponovno do tebe. Kada ga riješiš, trebaš dobiti isto rješenje kao što je bilo rješenje tvoje zagonetke. Potom svi okrenu svoja rješenja. Svi bi trebali imati ista rješenja.

Primjerice:

1. Učenik: „Ako nekom broju dodam 7, dobit ću 11. Koji je to broj?“

2. Učenik: „Ako nekom broju dodam 7 i sve to pomnožim s 3, dobit ću 33. Koji je to broj?“

3. Učenik: „Ako nekom broju dodam 7 i sve to pomnožim s 3 te oduzmem 5, dobit ću 28. Koji je to broj?“

4. Učenik: „Ako nekom broju dodam 7 i sve to pomnožim s 3 te oduzmem 5, i sve to podijelim s 2, dobit ću 14. Koji je to broj?“

Ovu aktivnost možeš odraditi i samostalno, ali bilo bi zabavnije odraditi je u društvu prijatelja ili u razredu.

7.5 Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Riješi, provjeri, podijeli

Kolekcija zadataka #1

Kolekcija zadataka #2

Zadatak 1.

Projekt

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka #3

...i na kraju