Četverokut

Geometrijski likovi na slici nazivaju se

.

null

Svaki geometrijski lik na slici ima

stranice,

kuta

i

vrha.

null

Četverokut

Četverokut je dio ravnine omeđen četirima dužinama, uključujući i točke koje pripadaju tim dužinama. Četverokut ima četiri vrha i četiri kuta. Dužine koje omeđuju četverokut nazivaju se stranice četverokuta.

Otprije znaš pravilno označiti trokut. Za označavanje vrhova i veličina kutova četverokuta vrijede ista pravila kao za trokut. Za označavanje veličina stranica postoji drukčije pravilo.

Vrhove i veličine kutova četverokuta $A B C D$ označit ćemo kao i ranije.

Četverokut s istaknutim vrhovima, oznakama duljina stranica i veličina kutova. — Označavanje osnovnih elemenata četverokuta

Označimo bilo koji vrh s $A$ i veličinu pripadnog unutarnjeg kuta četverokuta s $α .$ Preostale vrhove i pripadne veličine unutarnjih kutova $B,$ $C$ i $D$ te $β,$ $γ$ i $δ$ označit ćemo u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke sata.

Za duljine stranica vrijedi:

$|A B| = a |B C| = b |C D| = c |D A| = d .$

Uvježbajmo.

Kolekcija zadataka #1

Pravilno označi četverokut $A B C D .$

Oznake vrhova, duljina stranica i veličina kutova povuci na mjesta označena križićima.

B

C

D

a

b

c

d

α

β

γ

δ

null

Pravilno označi četverokut $A B C D .$

Oznake vrhova, duljina stranica i veličina kutova povuci na mjesta označena križićima.

Četverokut s istaknutom duljinom stranice b.

a

c

d

A

B

C

D

α

β

γ

δ

Pomoć:

Vrhovi četverokuta označavaju se u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke sata.

null

Pravilno označi četverokut $A B C D .$

Oznake vrhova, duljina stranica i veličina kutova povuci na mjesta označena križićima.

Četverokut s istaknutom veličinom kuta delta

a

b

c

d

A

B

C

D

α

β

γ

Pomoć:

Pri vrhu $D$ nalazi se kut čija je veličina istaknuta.

null

Odredi nasuprotnu stranicu stranici $\bar{A D}$ četverokuta na slici.

Četverokut s istaknutim vrhovima i veličinama kutova.

\bar{A B}

\bar{B C}

\bar{C D}

Pomoć:

Nasuprotne stranice četverokuta su one stranice koje nemaju zajedničkih točaka.

null

Odaberi sve parove nasuprotnih vrhova četverokuta $A B C D .$

A

i

B

A

i

C

A

i

D

B

i

D

B

i

C

C

i

D

Pomoć:

Nasuprotni vrhovi četvarokuta su oni vrhovi koji ne pripadaju istoj stranici.

null

Ponovimo.

Zbroj veličina unutarnjih kutova svakog trokuta iznosi

° .

Pomoć:

Pomoć potraži u jedinici 2.3. Svojstva trokuta.

null

Postoji li slična veza i za veličine unutarnjih kutova četverokuta?

Pažljivo pogledaj animaciju koja slijedi jer osim što daje odgovor na prethodno pitanje, i dokazuje ga.

Zbroj veličina unutarnjih kutova četverokuta

Zbroj veličina unutarnjih kutova svakog četverokuta iznosi $360 ° .$

Praktična vježba

Nacrtaj u bilježnicu bilo koji četverokut i izmjeri kutomjerom veličine unutarnjih kutova tog četverokuta. Zbroji veličine kutova.

Ako je mjerenje bilo precizno, zbroj iznosi $360 ° .$

Ako mjerenje nije bilo precizno, dobiveni zbroj odstupa nekoliko stupnjeva od $360 ° .$

Ako je odstupanje veliko, vjerojatno ne upotrebljavaš kutomjer na pravilan način pa potraži pomoć.

Zadatak 1.

Izračunaj veličine nepoznatih kutova četverokuta sa slike.

Četverokut kojemu je zadana veličina jednog vanjskog i jednog unutrašnjeg kuta.

α' =

°,

β =

°,

γ =

° .

Pomoć:

Vanjski i unutarnji kut pri istom vrhu zajedno čine ispruženi kut.

Postupak:

$α' = 180 ° - 80 ° = 100 °$

$β = 180 ° - 135 ° = 45 °$

Zbroj veličina unutarnjih kutova je $360 °$ pa vrijedi

$γ = 360 ° - (80 ° + 45 ° + 90 °)$

$γ = 360 ° - 215 ° = 145 ° .$

Pokus

nacrtaj četverokut

unutarnje kutove oboji različitim bojama

odreži ili pažljivo otkini svaki kut četverokuta (u obliku kružnog isječka)

složi kutove jedan do drugoga na način da se vrhovi podudaraju

uoči da kutovi zatvaraju puni kut ( $360 °$ ).

Kutak za znatiželjne

Dokaži da je zbroj veličina vanjskih kutova svakog četverokuta $360 ° .$

Ako nemaš ideju kako započeti dokaz, prisjeti se načina dokazivanja tvrdnje o zbroju veličina vanjskih kutova trokuta.

Paralelogrami

Četverokute možemo razvrstati s obzirom na paralelnost stranica.

Postoje četverokuti koji imaju točno jedan par paralelnih stranica, oni koji imaju dva para paralelnih stranica i oni koji nemaju paralelnih stranica.

Dalje ćemo proučavati četverokute čija su dva para stranica međusobno paralelna.

Razvrstaj četverokute sa slike prema danom kriteriju.

Šest četverokuta od kojih su 3 paralelogrami.

A

E

D

B

F

C

Imaju dva para paralelnih stranica

Nemaju dva para paralelnih stranica

null

Paralelogram

Četverokut kojemu su nasuprotne stranice paralelne naziva se paralelogram.

Istražimo

U GeoGebrinu apletu dan je paralelogram kojemu povlačenjem vrhova $A,$ $B$ i $D$ možeš mijenjati duljine stranica i veličine kutova koje zatvaraju susjedne stranice.

Prati promjene koje se događaju.

Izvedi zaključke.

(svojstva paralelograma: kutovi, stranice)

Provjeri svoja zapažanja u sljedećim zadatcima.

Po potrebi, ponovno se vrati na aplet i preispitaj zaključak.

Kolekcija zadataka #2

Svaki je kvadrat paralelogram.

Da

Nasuprotne stranice svakog kvadrata su paralelne pa zaključujemo da je svaki kvadrat paralelogram.

Ne

Ima li kvadrat dva para paralelnih stranica?

Pomoć:

Što je kvadrat?

null

Svaki je kvadrat pravokutnik.

Da

Da bi geometrijski lik bio pravokutnik, mora imati četiri prava kuta.

Ne

null

Svaki je pravokutnik paralelogram.

Da

Ne

null

Odaberi točnu tvrdnju.

Paralelogram s istaknutim vrhovima i veličinama kutova

Veličine nasuprotnih kutova paralelograma nadopunjuju se do

180 ° .

Ne postoji pravilnost koja povezuje veličine nasuprotnih kutova paralelograma.

Nasuprotni kutovi paralelograma jednakih su veličina.

Pomoć:

Nasuprotni kutovi su kutovi pri vrhovima $A$ i $C$ te kutovi pri vrhovima $B$ i $D .$

null

Zbroj veličina svih unutarnjih kutova paralelograma iznosi

° .

null

Veličina šiljastog kuta paralelograma je $48 ° .$ Nacrtaj skicu i odredi veličine ostalih kutova.

Nasuprotni kutovi paralelograma jednakih su veličina, a susjedni kutovi paralelograma se nadopunjuju do $180 ° .$

$β = 180 ° - 48 ° = 132 °$

Možeš li do rješenja doći nekim drukčijim načinom, primjenjujući pri tome svojstva paralelograma?

Paralelogram kojemu je zadana veličina unutrašnjeg kuta 48°. — Paralelogram, zadani kut

Ponovimo

Pravokutnik

Pravokutnik je paralelogram kojemu su svi kutovi pravi.

Nasuprotne stranice pravokutnika jednakih su

.

Dijagonale pravokutnika

su

duljina i međusobno se

.

Pomoć:

Što vrijedi za dijagonale paralelograma?

null

Kvadrat

Kvadrat je pravokutnik kojemu su sve stranice jednakih duljina.

Kvadrat je

kojemu

su sve stranice

duljina

i svi kutovi

.

Dijagonale kvadrata su

duljina

i međusobno su

.

Pomoć:

Prouči aplet. Povlačenjem vrhova namjesti kvadrat i obrati pozornost na duljine stranica, veličine kutova te duljine dijagonala i kut među njima.

null

Romb

Romb je paralelogram kojemu su sve stranice jednakih duljina.

Dijagonale romba međusobno se

pod

kutom.

kutovi

romba

su

veličina, a

kutovi

romba nadopunjuju se do

180 ° .

Pomoć:

Govorimo li o unutarnjim kutovima paralelograma (pa i romba), razlikujemo nasuprotne i susjedne kutove.

null

...i na kraju

Potpuno označeni paralelogram. — Paralelogram, sve oznake

Odaberi točne tvrdnje.

Paralelogram je četverokut kojemu su nasuprotni kutovi jednakih veličina.

Paralelogram je četverokut kojemu su nasuprotne stranice jednakih duljina.

Paralelogram je četverokut kojemu se dijagonale međusobno raspolavljaju.

Paralelogram je četverokut kojemu su po dvije nasuprotne stranice paralelne.

null

Procijenite svoje znanje

Zadan je kut paralelograma $A B C D$ veličine $α = 67 ° .$ Odredi veličine preostalih kutova.

Paralelogram s određenom veličinom kuta alfa.

δ = 67 °,

β = γ = 113 °

γ = 67 °,

β = δ = 113 °

β = 67 °,

γ = δ = 113 °

Pomoć:

Uz pomoć crteža prisjeti se koji kutovi paralelograma su jedankih veličina, a koji se nadopunjuju do veličine ispruženog kuta.

Odaberi paralelogram čije su dijagonale jednakih duljina i međusobno su okomite.

kvadrat

romb

pravokutnik

null

Odaberi paralelogram čije su dijagonale jednakih duljina, a nisu međusobno okomite.

kvadrat

romb

pravokutnik

null

Veličina jednog vanjskog kuta paralelograma je $130 ° .$

Veličina tupog kuta paralelograma tada iznosi

° .

Pomoć:

Nacrtaj skicu.

Unutarnji i vanjski kut paralelograma pri istom vrhu su sukuti.

Dva (unutarnja) susjedna kuta nadopunjuju se do $180 ° .$

Koliki je zbroj veličina navedenih kutova za zadani lik?

pravokutnik: nasuprotni kutovi

8.1 Vrste i svojstva paralelograma

Na početku...

Četverokut

Četverokut

Kolekcija zadataka #1

Zbroj veličina unutarnjih kutova četverokuta

Praktična vježba

Zadatak 1.

Pokus

Kutak za znatiželjne

Paralelogrami

Imaju dva para paralelnih stranica

Nemaju dva para paralelnih stranica

Paralelogram

Istražimo

Kolekcija zadataka #2

Vrste paralelograma

Istražimo

Kolekcija zadataka #3

Ponovimo

Pravokutnik

Kvadrat

Romb

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

$180 °$

$360 °$

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: