Matematika 6 - 8.3 Opseg i površina paralelograma

Na početku...

Djevojčica Luna jako voli i njeguje svoje cvijeće pa je mama s oduševljenjem prihvatila prijedlog da Luna poveća gredicu. Luna želi svoj cvjetni vrt ograditi novim ukrasnim letvicama.

Cvjetna gredica u obliku paralelograma — Cvjetna gredica

Lunu zanima koliko će joj sada trebati ukrasnih letvica kako bi ogradila svoje cvijeće. Mamu zanima površina gredice kako bi znala koliko lukovica cvijeća treba kupiti i koliku količinu prihrane pripremiti za zemlju.

Opseg paralelograma

Kako bi Luna saznala koliko metara letvica, kojima će ograditi cvjetnjak, treba kupiti, mora

duljine

svih dužina koje omeđuju vrt. Vrt ima oblik

a ukupna duljina svih letvica predstavlja njegov

Pomoć:

Zbroj duljina svih letvica čine opseg lika pa Luna mora zbrojiti duljine onih dužina gdje želi postaviti letvice.

null

Opseg paralelograma

Opseg paralelograma je zbroj duljina svih njegovih stranica.

Iznad svakog paralelograma postavi njegovo ime.

Razmisli, kojima od zadanih paralelograma opseg računamo na isti način?

Postavi formule za računanje opsega tako da svaka formula bude djelomično ispod dva ogovarajuća paralelograma.

Kvadrat, romb, pravokutnik i paralelogram.

o = 4 a

o = 2 a + 2 b

kvadrat

pravokutnik

paralelogram

romb

Pomoć:

Iznad lika dovuci ime, a ispod lika formulu za opseg.

null

Uz zadatke koji slijede uvježbaj računati opseg zadanog paralelograma.

Savjetujemo ti da ne učiš formulu napamet, nego da uz svaki zadatak nacrtaš skicu, na crtežu označiš zadane elemente i razmisliš o značenju pojma opseg.

U sljedećim zadatcima poznat je opseg zadanog paralelograma, ali ne i duljina svih njegovih stranica.

Kolekcija zadataka #2

Zadan je opseg paralelograma i duljina jedne njegove stranice. Pronađi element u kojemu je upisana duljina druge stranice tog paralelograma. Sve veličine dane su u centimetrima.

$a = 12 cm$	$o = 54 cm b = 17 cm$
$a = 11 cm$	$o = 50 cm b = 14 cm$
$a = 9 cm$	$o = 48 cm b = 15 cm$
$a = 10 cm$	$o = 56 cm b = 16 cm$

Pomoć:

Nacrtaj skicu i zapiši zadane elemente.

Ako od opsega oduzmeš dvije duljine $b,$ ostat će ti dvije duljine $a .$

Sada još samo trebaš dobivenu vrijednost podijeliti s dva.

Postupak:

Možeš rješavati i uvrštavajući zadane vrijednosti u formulu pa riješiti kao jednadžbu u kojoj je nepoznanica veličina $a .$

Ako je zadan opseg kvadrata, duljinu jedne njegove stranice mogu izračunati tako da opseg podijelim s brojem

Pomoć:

Upiši broj, ne riječ.

null

Opseg romba iznosi $4.36 dm .$ Odredi duljinu jedne njegove stranice.

1.9 dm

10.9 cm

109 mm

1.09 dm

19 cm

Pomoć:

Zadani opseg podijeli s četiri jer je duljina stranice romba četiri puta manja od opsega.

Opseg pravokutnika je $36 cm .$ Koliko ima takvih pravokutnika kojima su duljine stranica cijeli brojevi? Zapiši moguća rješenja.

Postoji devet takvih pravokutnika. Ako je širina jednog pravokutnika jednaka dužini drugoga i obrnuta, ta su dva pravokutnika sukladna.

Moguća su rješenja prikazana tablicom.

duljina jedne stranice ( $cm$ )	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
duljina druge stranice ( $cm$ )	$17$	$16$	$15$	$14$	$13$	$12$	$11$	$10$	$9$

Površina paralelograma

Površina nekoga geometrijskog lika, pa tako i paralelograma, govori nam koliki je dio ravnine zadani lik prekrio.

Površina se iskazuje kvadratnim mjernim jedinicama.

Površinu kvadrata i pravokutnika znaš izračunati otprije.

Pravokutnik i kvadrat s istaknutim formulama za površinu. — Površina kvadrata i pravokutnika

S pomoću sljedeće animacije istraži način na koji možeš odrediti površinu paralelograma.

Rješavanjem sljedećeg zadatka provjeri svoje zaključke.

Dopuni rečenice ponuđenim riječima.
Paralelogram kojemu je istaknuta visina na stranicu $a$ možemo „prekrojiti“ u

tako da „odrežemo“ i „premjestimo“

s hipotenuzom duljine

b

duljine

v_{a} .

Površina ovog pravokutnika računa se kao

. Da smo paralelogram „prekrajali“ po visini

v_{b},

površina bi se računala kao

b \cdot v_{b}

pravokutnik

katetom

a \cdot v_{a}

pravokutni trokut

null

Površina paralelograma

Površinu paralelograma kojemu su $a$ i $b$ duljine susjednih stranica, a $v_{a}$ i $v_{b}$ duljine pripadnih visina računamo $p = a \cdot v_{a}$ ili $p = b \cdot v_{b} .$

Uvježbajmo.

Kolekcija zadataka #3

Odredi površinu paralelograma $A B C D$ nacrtanog u kvadratnoj mreži.

p (A B C D) =

{cm}^{2} .

null

Odredi površinu paralelograma $E F G H$ nacrtanog u kvadratnoj mreži.

p (E F G H) =

{cm}^{2} .

Pomoć:

Preoblikuj paralelogram u pravokutnik.

Smiješ ga „rezati“ samo po crtama kvadratne mreže.

null

Odredi površinu paralelograma $I J K L$ nacrtanog u kvadratnoj mreži.

p (I J K L) =

{cm}^{2} .

Pomoć:

Preoblikuj paralelogram tako da dobiješ pravokutnik.

Smiješ ga „rezati“ samo po crtama kvadratne mreže.

null

Duljine stranica paralelograma su $a = 7 cm$ i $b = 5 cm .$ Duljina visine na stranicu $a$ je $v_{a} = 4 cm .$ Izračunaj površinu zadanog paralelograma, a zatim i duljinu visine na stranicu $b .$

p = 28 {cm}^{2}

v_{b} = 5.6 cm

p = 35 {cm}^{2}

v_{b} = 8.75 cm

p = 140 {cm}^{2}

v_{b} = 28 cm

Pomoć:

Prvo izračunaj površinu tako da pomnožiš duljinu stranice i pripadne joj visine ( $a$ i $v_{a}$ ).

Kako se površina računa i $p = b \cdot v_{b},$ možeš duljinu tražene visine izračunati $v_{b} = p : b .$

Postupak:

Izjednači izraze za površinu paralelograma i uvrsti zadane veličine.

$a \cdot v_{a} = b \cdot v_{b}$

$7 \cdot 4 = 5 \cdot v_{b}$

$28 = 5 \cdot v_{b}$

$v_{b} = 28 : 5$

$v_{b} = 5.6 cm$

Tri paralelograma nacrtana su između usporednih pravaca $p$ i $q .$

Odaberi jednu ili više točnih tvrdnji.

Tri paralelograma jednakih duljina osnovica i jednakih duljina visina.

Svi paralelogrami imaju isti opseg.

Svi paralelogrami imaju jednake visine.

Svi paralelogrami imaju jednake površine.

Svi paralelogrami imaju osnovice jednakih duljina.

Pomoć:

O čemu ovisi površina paralelograma?

Postupak:

Paralelogrami, čije su osnovice jednakih duljina i visine na osnovicu jednakih duljina, jednakih su i površina.

Dane su duljine stranice i pripadne visine paralelograma te njegova površina. Spoji parove.

$a = 2.3 cm p = 7.36 {cm}^{2}$	$v_{a} = 3.2 dm$
$a = 2.3 cm p = 73.6 {cm}^{2}$	$v_{a} = 3.2 cm$
$a = 2.3 cm p = 736 {cm}^{2}$	$v_{a} = 3.2 m$

Pomoć:

Dobiveno rješenje zapiši koristeći odgovarajuću mjernu jedinicu.

null

Kutak za znatiželjne

Poznato je da se dijagonale romba raspolavljaju pod pravim kutom. Iskoristi to svojstvo romba za odgovor na sljedeće pitanje.

Na koji način možemo izračunati površinu romba ako su poznate duljine njegovih dijagonala?

Romb s istaknutim okomitim dijagonalama. — Dijagonale romba

Dijagonale dijele romb na četiri sukladna pravokutna trokuta. Površina jednog trokuta može se izračunati kao

$p_{1} = (\frac{e}{2} \cdot \frac{f}{2}) : 2 = \frac{e \cdot f}{4} : 2 = \frac{e \cdot f}{8} .$

Površina danog paralelograma je tada $p = 4 \cdot p_{1} = 4 \cdot \frac{e \cdot f}{8} = \frac{e \cdot f}{2} .$

Površina romba

Površina romba kojemu su duljine dijagonala $e$ i $f$ dana je formulom $p = \frac{e f}{2} .$

Zanimljivost

Izvedena formula ne vrijedi samo za romb.

Za svaki konveksan četverokut čije su dijagonale duljina $e$ i $f$ okomite vrijedi formula za površinu oblika $\frac{e f}{2} .$ Još samo treba znati da je konveksan četverokut onaj kojemu je svaki unutarnji kut manji od ispruženog kuta.

Istražimo

Istraži i druge načine na koje možeš izvesti istu formulu za površinu romba.

...i na kraju

Baka Mara će jedan dio dvorišta ograditi za svog psa Miška. Još nije odlučila kakav oblik i koju veličinu želi. Pomozi joj u odabiru.

Pažljivo biraj jer ako baka kaže da želi vidjeti kako izgleda paralelogram, onda ne želi kvadrat i pravokutnik (iako su i oni paralelogrami). Ako želi pravokutnik, onda ne želi pravokutnik kojemu su stranice jednakih duljina, odnosno kvadrat.

8.3 Opseg i površina paralelograma

Na početku...

Opseg paralelograma

Opseg paralelograma

Kolekcija zadataka #1

Kolekcija zadataka #2

Površina paralelograma

Površina paralelograma

Kolekcija zadataka #3

Kutak za znatiželjne

Površina romba

Zanimljivost

Istražimo

Primjena

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka #4

...i na kraju