Tijekom godina naučili ste razne metode rješavanja istih matematičkih zadataka. Primijetili ste da se neki zadatci mogu riješiti primjenom različitih metoda.
U prvom razredu učili ste računati s algebarskim razlomcima. Prije samog računanja razlomke je trebalo skratiti. Skratiti smo mogli razlomke kod kojih su brojnik i nazivnik bili u obliku umnoška dvaju ili više faktora. Katkad nam nije bilo jednostavno rastaviti kvadratne binome na faktore.
Faktorizaciju kvadratnog trinoma ili binoma možemo provesti upotrebom nekoliko metoda. Prisjetimo ih se:
Primjer 1.
Prisjetimo se primjera skraćivanja algebarskih razlomaka kada su u brojniku i nazivniku kvadratni trinomi:
Skratimo razlomak 2x2-5x-3x2+4x-21.
Znamo da prije skraćivanja trebamo faktorizirati brojnik i nazivnik.
Možemo li u brojniku ili nazivniku izlučiti neki zajednički faktor?
Ne možemo.
Prepoznajemo li koju od poznatih formula u brojniku i nazivniku?
Kvadratni trinomi u brojniku i nazivniku nisu kvadrati binoma.
Pokušajmo primjeniti metodu rastavljanja po srednjem članu.
Brojnik zapišimo u sljedećem obliku:
2x2-5x-3=2x2+x-6x-3=x(2x+1)-3(2x+1)=(x-3)(2x+1).
U nazivniku možemo rastaviti srednji član na 7x-3x.
x2+4x-21=x2+7x-3x-3·7=x·(x+7)-3·(x+7)=(x+7)(x-3).
U ovom obliku razlomak možemo skratiti:
(x-3)(2x+1)(x+7)(x-3)=2x+1x+7.
Nije jednostavno sjetiti se rastavljanja srednjeg pribrojnika kako bismo mogli primijeniti grupiranje te izlučivanje zajedničkog faktora.
Postoji li jednostavnija metoda?
Postoji li veza između kvadratnog trinoma i kvadratne jednadžbe?
Pogledajmo što vrijedi za izraze koji imaju oblik kao izraz iz brojnika.
Kvadratni trinom zapišimo
ax2+bx+c=a(x2+bax+ca).
Primijetimo koeficijente u zagradi.
Primijenimo Vietèove formule.
a(x2+bax+ca)=a[x2-(x1+x2)x+x1·x2]
=a[x(x-x1)-x2(x-x1)]
=a(x-x1)(x-x2).
Primijenimo sada dobivenu formulu na naš primjer.
Rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe iz brojnika su x1=3 i x2=-12.
Brojnik možemo zapisati 2x2-5x-3=2·(x-3)(x+12).
Pomnožimo li izraz u drugoj zagradi s 2, dobivamo (x-3)(2x+1).
Zapišimo zaključak:
Svaki kvadratni trinom može se zapisati u obliku
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),
gdje su x1 i x2 rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe ax2+bx+c=0.
Koja od navedenih kvadratnih jednadžbi ima rješenja x1=1 i x2=3?
Postupak:
Kvadratna jednadžba može se zapisati u obliku a(x-x1)(x-x2)=0 .
Primjer 2.
Zapišimo zadane polinome kao umnoške polinoma I. stupnja primjenom postupka faktorizacije kvadratnog trinoma:
a) 5x2+2x-3
Riješimo pripadajuću kvadratnu jednadžbu 5x2+2x-3=0.
Njezina rješenja su brojevi -1 i 35. Prema formuli za rastavljanje kvadratnog trinoma dobivamo 5x2+2x-3=5(x+1)(x-35), što je nakon sređivanja (množenje druge zagrade s 5): 5x2+2x-3=(x+1)(5x-3).
b) (2x2+7x)2-12(2x2+7x)-45.
Promotrimo dani primjer. Uočimo izraz 2x2+7x. Pojavljuje se kao baza potencije s eksponentom 2 i još jednom u izrazu. Uvedimo supstituciju 2x2+7x=m i riješimo pripadajuću kvadratnu jednadžbu.
Slijedi: m2-12m-45=0.
Rješenja te jednadžbe su brojevi -3 i 15.
Dobivamo: m2-12m-45=(m+3)(m-15).
Vratimo li početni izraz iz supstitucije, imamo (2x2+7x)2-12(2x2+7x)-45=(2x2+7x+3)(2x2+7x-15).
Primijenimo li postupak iz zadatka a) na svaku od zagrada, dobivamo
(2x2+7x+3)(2x2+7x-15)=2(x-32)(x+5)·2(x+3)(x+12)=(2x-3)(x+5)(x+3)(2x+1).
To je ujedno i rješenje zadatka b).
Kvadratni trinom ili binom uparite s odgovarajućim faktoriziranim izrazom povlačenjem uz pomoć miša.
2x2-5x+2
|
(2x-1)(x-2) |
3x2-3x-6
|
(x+4)(x-5) |
x2-4x-12
|
3(x-2)(x+1) |
x2-x-20
|
(x-6)(x+2) |
Pomoć:
Sjetite se kako možete zapisati kvadratni trinom primjenjujući rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe.
Postupak:
Riješite pripadajuću kvadratnu jednadžbu te primjenjujući formulu
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) zapišite izraz.
Napišite na papir u obliku umnoška polinoma I. stupnja sljedeće polinome:
4x2-5x+1
(x2+3x)2-2(x2+3x)-8
(4x-1)(x-1)
(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)
Skratite razlomke:
x2+8x+15x2-4x-21
10x2+3x-410x2-3x-1
x+5x-7
5x+45x+1
Do sada smo rješavali jednadžbe i provjeravali rješenja. Možemo li obrnutim postupkom iz rješenja dobiti jednadžbu?
Pogledajmo. U prethodnim primjerima upotrijebili smo raspis kvadratne jednadžbe:
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
To znači da u izraz s desne strane možemo uvrstiti rješenja kvadratne jednadžbe i množenjem ćemo doći do izraza na lijevoj strani, tj. do kvadratne jednadžbe kojoj rješenja pripadaju.
Riješimo sada nekoliko primjera.
Primjer 3.
Napišimo kvadratnu jednadžbu kojoj su rješenja brojevi 2 i -4.
Uvrstimo li u jednadžbu a(x-x1)(x-x2)=0 rješenja jednadžbe, dobijemo:
a(x-2)(x+4)=a(x2+2x-8)=0.
Primijetimo da a može biti bilo koji realan broj različit od nule. Istu jednadžbu dobivamo izravnom primjenom Vièteovih formula
a(x2+bax+ca)=a[x2-(x1+x2)x+x1·x2].
Primjer 4.
Odredimo kvadratnu jednadžbu kojoj je jedno od rješenja broj 11-i.
Znamo da kod kvadratne jednadžbe kompleksna rješenja dolaze u paru. Stoga, ako znamo jedno, drugo rješenje će biti konjugirano kompleksni par danog rješenja. Pogledajmo čemu je jednak broj 11-i=11-i·1+i1+i=1+i2.
Slijedi da je drugo rješenje broj 1-i2.
Pripadajuća kvadratna jednadžba je x2-(1+i2+1-i2)x+1+i2·1-i2=0.
Nakon sređivanja dobivamo jednadžbu x2-x+12=0.
Pomoć:
Primijenite formulu
ax2-(x1+x2)x+x1x2=0.
Postupak:
Ako je jedno rješenje
1+√7, tada je drugo jednako
1-√7. Uvrštavanjem u formulu dobije se tražena kvadratna jednadžba.
Primjer 5.
Zadana je kvadratna jednadžba 5x2-3x+1=0.
Napišite u bilježnicu kvadratnu jednadžbu ako je zadano da je razlika između rješenja tražene i zadane jednadžbe jednaka 2.
Pokušajte sada sami riješiti sljedeći zadatak. Za pomoć kod rješavanja pogledajte prethodni video.
Zadana je kvadratna jednadžbe 5x2-3x+1=0.
Napišite u bilježnicu kvadratnu jednadžbu ako je kvocjent rješenja tražene i zadane jednadžbe jednak 5.
Nazovimo rješenja tražene jednadžbe sa
t1 i
t2. Za njih tada vrijedi
t1=5x1,t2=5x2.
Kako vrijedi
t2-(t1+t2)t+t1t2=0 uvrštavanjem dobivamo
t2-(5x1+5x2)t+5x1·5x2=0.
Primijenimo li Vièteove formule na početnu jednadžbu dobivamo
t2-5·35t+25·15=0. Konačno rješenje je
t2-3t+5=0.
Ponovimo što smo naučili u ovoj nastavnoj jedinici.
Svaki kvadratni trinom ax2+bx+c=0 možemo zapisati u obliku a(x-x1)(x-x2)=0. Kvadratnu jednadžbu možemo zapisati i x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
Ono što smo naučili možemo primjeniti kod rastavljanja polinoma drugog stupnja na faktore i prilikom "rekonstrukcije" kvadratne jednadžbe iz njenih rješenja.