Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
x
Učitavanje

2.6 Faktorizacija kvadratnog trinoma

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Tijekom godina naučili ste razne metode rješavanja istih matematičkih zadataka. Primijetili ste da se neki zadatci mogu riješiti primjenom različitih metoda.

U prvom razredu učili ste računati s algebarskim razlomcima. Prije samog računanja razlomke je trebalo skratiti. Skratiti smo mogli razlomke kod kojih su brojnik i nazivnik bili u obliku umnoška dvaju ili više faktora. Katkad nam nije bilo jednostavno rastaviti kvadratne binome na faktore.

Faktorizaciju kvadratnog trinoma ili binoma možemo provesti upotrebom nekoliko metoda. Prisjetimo ih se:

Rastavljanje polinoma na faktore

Ponovimo

Primjer 1.

Prisjetimo se primjera skraćivanja algebarskih razlomaka kada su u brojniku i nazivniku kvadratni trinomi:

Skratimo razlomak ​ 2x2-5x-3x2+4x-21.

Znamo da prije skraćivanja trebamo faktorizirati brojnik i nazivnik.

Možemo li u brojniku ili nazivniku izlučiti neki zajednički faktor?

Ne možemo.

Prepoznajemo li koju od poznatih formula u brojniku i nazivniku?

Kvadratni trinomi u brojniku i nazivniku nisu kvadrati binoma.

Pokušajmo primjeniti metodu rastavljanja po srednjem članu.

Brojnik zapišimo u sljedećem obliku:

2x2-5x-3=2x2+x-6x-3=x(2x+1)-3(2x+1)=(x-3)(2x+1).

U nazivniku možemo rastaviti srednji član na 7x-3x.

x2+4x-21=x2+7x-3x-3·7=x·(x+7)-3·(x+7)=(x+7)(x-3).

U ovom obliku razlomak možemo skratiti:

(x-3)(2x+1)(x+7)(x-3)=2x+1x+7.

Nije jednostavno sjetiti se rastavljanja srednjeg pribrojnika kako bismo mogli primijeniti grupiranje te izlučivanje zajedničkog faktora.

Postoji li jednostavnija metoda?

Postoji li veza između kvadratnog trinoma i kvadratne jednadžbe?

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Pogledajmo što vrijedi za izraze koji imaju oblik kao izraz iz brojnika.

Kvadratni trinom zapišimo

ax2+bx+c=a(x2+bax+ca).

Primijetimo koeficijente u zagradi.

Primijenimo Vietèove formule.

a(x2+bax+ca)=a[x2-(x1+x2)x+x1·x2]

=a[x(x-x1)-x2(x-x1)]

=a(x-x1)(x-x2).

Primijenimo sada dobivenu formulu na naš primjer.

Rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe iz brojnika su x1=3 i x2=-12.

Brojnik možemo zapisati 2x2-5x-3=2·(x-3)(x+12).

Pomnožimo li izraz u drugoj zagradi s 2, dobivamo (x-3)(2x+1).

Zapišimo zaključak:

Svaki kvadratni trinom može se zapisati u obliku

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),

gdje su x1 i x2 rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe ax2+bx+c=0.

Koja od navedenih kvadratnih jednadžbi ima rješenja​ x1=1 i x2=3?

null

Postupak:

Kvadratna jednadžba može se zapisati u obliku ​ a(x-x1)(x-x2)=0 .

Primjer 2.

Zapišimo zadane polinome kao umnoške polinoma I. stupnja primjenom postupka faktorizacije kvadratnog trinoma:

a) 5x2+2x-3

Riješimo pripadajuću kvadratnu jednadžbu 5x2+2x-3=0.

Njezina rješenja su brojevi -1 i 35. Prema formuli za rastavljanje kvadratnog trinoma dobivamo 5x2+2x-3=5(x+1)(x-35), što je nakon sređivanja (množenje druge zagrade s 5): 5x2+2x-3=(x+1)(5x-3).

b) (2x2+7x)2-12(2x2+7x)-45.

Promotrimo dani primjer. Uočimo izraz 2x2+7x. Pojavljuje se kao baza potencije s eksponentom 2 i još jednom u izrazu. Uvedimo supstituciju 2x2+7x=m i riješimo pripadajuću kvadratnu jednadžbu.

Slijedi: m2-12m-45=0.

Rješenja te jednadžbe su brojevi -3 i 15.

Dobivamo: m2-12m-45=(m+3)(m-15).

Vratimo li početni izraz iz supstitucije, imamo (2x2+7x)2-12(2x2+7x)-45=(2x2+7x+3)(2x2+7x-15).

Primijenimo li postupak iz zadatka a) na svaku od zagrada, dobivamo

(2x2+7x+3)(2x2+7x-15)=2(x-32)(x+5)·2(x+3)(x+12)=(2x-3)(x+5)(x+3)(2x+1).

To je ujedno i rješenje zadatka b).

Zadatak 1.

Kvadratni trinom ili binom uparite s odgovarajućim faktoriziranim izrazom povlačenjem uz pomoć miša.

2x2-5x+2  ​
(2x-1)(x-2)  ​
3x2-3x-6 
(x+4)(x-5)  
x2-4x-12  ​
3(x-2)(x+1)  ​
x2-x-20 
(x-6)(x+2)  ​

Pomoć:

Sjetite se kako možete zapisati kvadratni trinom primjenjujući rješenja pripadajuće kvadratne jednadžbe.

Postupak:

Riješite pripadajuću kvadratnu jednadžbu te primjenjujući formulu ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) zapišite izraz.​

Zadatak 2.

Napišite na papir u obliku umnoška polinoma I. stupnja sljedeće polinome:

  1. 4x2-5x+1

  2. (x2+3x)2-2(x2+3x)-8

  1. (4x-1)(x-1)

  2. (x-1)(x+1)(x+2)(x+4)

Zadatak 3.

Skratite razlomke:

  1. x2+8x+15x2-4x-21

  2. 10x2+3x-410x2-3x-1

  1. x+5x-7

  2. 5x+45x+1


Određivanje kvadratne jednadžbe

Do sada smo rješavali jednadžbe i provjeravali rješenja. Možemo li obrnutim postupkom iz rješenja dobiti jednadžbu?

Pogledajmo. U prethodnim primjerima upotrijebili smo raspis kvadratne jednadžbe:

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).

To znači da u izraz s desne strane možemo uvrstiti rješenja kvadratne jednadžbe i množenjem ćemo doći do izraza na lijevoj strani, tj. do kvadratne jednadžbe kojoj rješenja pripadaju.

Riješimo sada nekoliko primjera.

Primjer 3.

Napišimo kvadratnu jednadžbu kojoj su rješenja brojevi 2 i -4.

Uvrstimo li u jednadžbu a(x-x1)(x-x2)=0 rješenja jednadžbe, dobijemo:

a(x-2)(x+4)=a(x2+2x-8)=0.

Primijetimo da a može biti bilo koji realan broj različit od nule. Istu jednadžbu dobivamo izravnom primjenom Vièteovih formula

a(x2+bax+ca)=a[x2-(x1+x2)x+x1·x2].

Primjer 4.

Odredimo kvadratnu jednadžbu kojoj je jedno od rješenja broj 11-i.

Znamo da kod kvadratne jednadžbe kompleksna rješenja dolaze u paru. Stoga, ako znamo jedno, drugo rješenje će biti konjugirano kompleksni par danog rješenja. Pogledajmo čemu je jednak broj 11-i=11-i·1+i1+i=1+i2.

Slijedi da je drugo rješenje broj 1-i2.

Pripadajuća kvadratna jednadžba je x2-(1+i2+1-i2)x+1+i2·1-i2=0.

Nakon sređivanja dobivamo jednadžbu x2-x+12=0.

Kvadratna jednadžba kojoj je jedno od rješenja 1+7 glasi x2+bx+c=0.
Koeficijenti su:

b=  , a ​ c=

Pomoć:

Primijenite formulu​ ax2-(x1+x2)x+x1x2=0.

Postupak:

Ako je jedno rješenje 1+7, tada je drugo jednako 1-7. Uvrštavanjem u formulu dobije se tražena kvadratna jednadžba.

Primjer 5.

Zadana je kvadratna jednadžba 5x2-3x+1=0.

Napišite u bilježnicu kvadratnu jednadžbu ako je zadano da je razlika između rješenja tražene i zadane jednadžbe jednaka 2.


Zadatak 4.

Pokušajte sada sami riješiti sljedeći zadatak. Za pomoć kod rješavanja pogledajte prethodni video.

Zadana je kvadratna jednadžbe ​ 5x2-3x+1=0.

Napišite u bilježnicu kvadratnu jednadžbu ako je kvocjent rješenja tražene i zadane jednadžbe jednak 5.

Nazovimo rješenja tražene jednadžbe sa ​ t1 i t2. Za njih tada vrijedi t1=5x1,t2=5x2.

Kako vrijedi t2-(t1+t2)t+t1t2=0 uvrštavanjem dobivamo t2-(5x1+5x2)t+5x1·5x2=0.

Primijenimo li Vièteove formule na početnu jednadžbu dobivamo t2-5·35t+25·15=0. Konačno rješenje je t2-3t+5=0.


Zanimljivost

Adrien Marie Legendre's
Adrien Marie Legendre's

Metode faktorizacije polinoma nisu tako stare kako biste pomislili.

Jedan od matematičara koji se bavio faktorizacijom polinoma je Adrien Marie Legendre's (1752.-1833.).

...i na kraju

Ponovimo što smo naučili u ovoj nastavnoj jedinici.

Svaki kvadratni trinom ax2+bx+c=0 možemo zapisati u obliku a(x-x1)(x-x2)=0. Kvadratnu jednadžbu možemo zapisati i x2-(x1+x2)x+x1x2=0.

Ono što smo naučili možemo primjeniti kod rastavljanja polinoma drugog stupnja na faktore i prilikom "rekonstrukcije" kvadratne jednadžbe iz njenih rješenja.

Idemo na sljedeću jedinicu

2.7 Sustavi kvadratne i linearne jednadžbe