Aktivnosti za samostalno učenje

Kvadratne jednadžbe

Primjer 1.

Bez upotrebe formule za rješenja kvadratne jednadžbe riješimo sljedeće jednadžbe.

1. $x^2=9$
2. $x^2-6x+9=0$
3. $x^2-6x-40=0$
4. $x^2-5x+6=0$

Rješenje:

1. $x^2=9$

   $\left|x\right|=3$

   $x_1=3,x_2=-3$

2. $x^2-6x+9=0$

   $(x-3{)}^2=0$

   $x-3=0$

   $x=3$

3. $x^2-6x-40=0$

   $x^2-6x+9-49=0$

   $(x-3{)}^2=49$

   $|x-3|=7$

   $x-3=7$ ili $x-3=-7$

   $x_1=10$ ili $x_2=-4$

4. $x^2-5x+6=0$

   $x^2-2x-3x+6=0$

   $x·(x-3)-2·(x-3)=0$

   $(x-3)·(x-2)=0$

   $x-3=0$ ili $x-2=0$

   $x_1=3,$ $x_2=2$

Ovo su neki primjeri jednadžbi koje je bilo jednostavno riješiti i bez poznavanja formule za rješenja kvadratne jednadžbe. No kod jednadžbe oblika $5x^2-4x+1=0$ normiranje i dopunjavanje na potpuni kvadrat malo je složenije. Stoga je formula za rješenja kvadratne jednadžbe veoma korisna.

Kutak za znatiželjne

Da biste još više ubrzali postupak rješavanja kvadratnih jednadžbi, možete upotrijebiti kalkulator s mogućnošću rješavanja jednadžbi ili neku aplikaciju za određivanje rješenja kvadratne jednadžbe.

Proučite ima li vaš kalkulator mogućnosti rješavanja jednadžbi!

Pronađite neku aplikaciju koja rješava kvadratne jednadžbe!

Zadatak 1.

Riješite jednadžbu $5x^2-4x+1=0.$

Rješenje

---

Kubne jednadžbe

Kutak za znatiželjne

Slično formuli za rješavanje kvadratne jednadžbe, postoji formula za rješavanje kubne jednadžbe.

Opći oblik kubne jednadžbe je $y^3+a·y^2+b·y+c=\mathrm{0,}$ gdje su $a,$ $b$ i $c$ realni brojevi. Supstitucijom $y=x-\frac{a}{3}$ jednadžba prelazi u oblik $x^3+px+q=0.$

Ta jednadžba ima tri rješenja, oblika $\begin{array}{l}\begin{array}{l}x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\end{array}\end{array}.$

Formula za rješavanje kubne jednadžbe poznata je pod nazivom Cardanova formula.

I kod kubnih jednadžbi postoje pravilnosti poznate kao Vièteove formule, a o diskriminanti kubne jednadžbe bilo je govora u jedinici 2.4. Diskriminanta kvadratne jednadžbe.

Zadatak 2.

Riješite kubnu jednadžbu $x^3-3x=0.$

Uputa: jednadžbu možete riješiti faktorizacijom, primjenom Cardanove formule, upotrebom kalkulatora ili neke aplikacije za rješavanje jednadžbi. Ili na sva tri načina! I na kraju treba još provjeriti rješenja uvrštavanjem svih dobivenih vrijednosti u polaznu jednadžbu.

Rješenje

---

Kutak za znatiželjne

Istražite potrebu za uvođenjem kompleksnih brojeva. Postoje teorije da su kompleksni brojevi uvedeni kako bi se mogle riješiti sve kvadratne jednadžbe, kako bi se riješile kubne jednadžbe, a postoji i teorija da je uvođenje kompleksnih brojeva izazvao Bezuotov poučak.

Povezani sadržaji

Kubna jednadžba ima primjenu u raznim granama i problemima matematike, ali i u nekim drugim znanostima. Na primjer, kubna jednadžba se pojavljuje kod poznatih matematičkih problema: udvostručenje kocke i trisekcija kuta. U fizici se primjenjuje kod van der Waalsove jednadžbe koja opisuje realne plinove, a za čiji je izvod nizozemski fizičar Johannes Diderik van der Waals 1910. godine dobio Nobelovu nagradu za fiziku.

Formati papira

Primjer 2.

Papiri se proizvode u raznim veličinama ili formatima. U Europi se veličina papira mjeri u A formatima. A0 je najveći format, površine $1{\mathrm{m}}^2.$ Prepolovimo li papir formata A0 dobit ćemo A1, prepolovimo li format A1 dobit ćemo A2...

Omjer stranica u svim je formatima jednak. Koji je to omjer? Kolike su duljine stranica papira ako je format A0 površine $1{\mathrm{m}}^2?$

Pogledajmo omjer stranica A formata papira.

Dimenzije A formata papira

Omjer stranica velikog pravokutnika je $x:y,$ a malog pravokutnika $y:\frac{x}{2}.$ Izjednačavanjem tih izraza dobijemo

$\frac{x}{y}=\frac{y}{\frac{x}{2}}$

$\frac{x}{y}=\frac{2y}{x}$

$\frac{x^2}{y^2}=2$

$\frac{x}{y}=\sqrt{2.}$

Omjer stranica papira je uvijek konstantan i iznosi $\sqrt{2}.$

Kako je omjer stranica kod svih formata isti, različiti formati papira su slični. Koeficijent sličnosti između površina papira (površina pravokutnika) je $2.$ Odgovorimo sada kolike su dimenzije papira formata A0.

Riješimo sustav:

$\begin{array}{l}\frac{x}{y}=\sqrt{2}\\ x·y=1\end{array}$

Rješenja su približno $0.841\mathrm{m}$ i $1.189\mathrm{m}.$ Dimenzije papira se najčešće iskazuju u milimetrima, pa govorimo o dimenzijama $841\times 1189$ milimetara.

 Poveži format papira s dimenzijama u milimetrima.

$\mathrm{A}\mathrm{0}$	297*210210*148148*1051 189*841594*420841*594420*297
$\mathrm{A}\mathrm{1}$	297*210210*148148*1051 189*841594*420841*594420*297
$\mathrm{A}\mathrm{2}$	297*210210*148148*1051 189*841594*420841*594420*297
$\mathrm{A}\mathrm{3}$	297*210210*148148*1051 189*841594*420841*594420*297
$\mathrm{A}\mathrm{4}$	297*210210*148148*1051 189*841594*420841*594420*297
$\mathrm{A}\mathrm{5}$	297*210210*148148*1051 189*841594*420841*594420*297
$\mathrm{A}\mathrm{6}$	297*210210*148148*1051 189*841594*420841*594420*297

null

null

Foolscap

Primjer 3.

Podijelimo papir tako da odstranimo kvadrat čija je duljina stranice jednaka kraćoj stranici pravokutnika. Dobiveni pravokutnik je sličan početnom. Odredimo omjer stranica pravokutnika.

$\frac{x}{1}=\frac{1-x}{x}$

$x^2=1-x$

$x^2+x-1=0$

$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},$ $x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Kako je duljina stranice pozitivan realan broj, $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0.618.$

Taj broj smo već susreli u jedinici 2.3. Prisjetite se kako se taj broj zove.

Zadatak 3.

U prošlosti se često upotrebljavao tzv. foolscap format papira. Njegove dimenzije su $330*203\mathrm{mm}.$ Odredite omjer dimenzija foolscap papira.

$\frac{330}{203}\approx 1.6256$  omjer zlatnog reza

Kutak za znatiželjne

Pojava zlatnog reza je česta u prirodi, a njezina primjena u najpoznatijim umjetničkim djelima. Proučite zlatni rez kod školjke Nautilus, tratinčice, Fibonaccijevog niza, Mona Lise, Leonardovog čovjeka u kružnici i u kvadratu, na ljudskom tijelu...

Simetrični sustavi jednadžbi

Prisjetimo se: Sustavi linearne i kvadratne jednadžbe rješavaju se metodom supstitucije, gdje se iz linearne jednadžbe izrazi nepoznanica te se zatim uvrsti u kvadratnu jednadžbu.

Postoje sustavi jednadžbi kod kojih zamjenom nepoznanica dobivamo istu jednadžbu. Takvi se sustavi nazivaju simetrični. Ako je uređeni par $\left(u,v\right)$ rješenje toga sustava, tada je i par $\left(v,u\right)$ također rješenje simetričnog sustava.​

Primjer 4.

Riješimo sustav:

$x·y=-12$

$x+y=11.$

Ovaj sustav možemo riješiti supstitucijom

$x=11-y$

kao što smo naučili. ​

Uočimo li da su izrazi $x·y$ i $x+y$ dio i Vièteovih formula, sustav možemo brže riješiti uvrštavanjem u kvadratnu jednadžbu $x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2=0.$

Tada dobijemo kvadratnu jednadžbu $x^2-11x-12=0.$

Rješenja te kvadratne jednadžbe su: $x_1=12,x_2=-\mathrm{1,}$ što je također jedno od rješenja početnog sustava. Drugo rješenje se dobije iz svojstva simetričnosti, pa su rješenja sustava: $\left(12,-1\right),$ $\left(-1,12\right).$

Zadatak 4.

Riješite sustav:

$x+y=-4$

$x·y=1.$

Rješenje

---