9.2 Računanje trigonometrijskih omjera

Trigonometrijski omjeri kuta veličine $30°$

Zadatak 1.

Odgovorite na pitanja o jednakostraničnom trokutu.

Označimo jednakostranični trokut.

Zadatak 2.

Odredimo trigonometrijske omjere pravokutnog trokuta $ANC$ s obzirom na kut od $30°.$ Odgovorite na pitanja.

Iz pravokutnog trokuta $ANC$ odredimo trigonometrijske omjere s obzirom na kut od $30°.$ Iz prethodnog zadatka imamo omjere, sredimo dvojni razlomak i uvrstimo za $v=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

$\sin 30°=\frac{\cancel{a}·1}{2·\cancel{a}}= \frac{1}{2}$

$\cos 30°=\frac{\cancel{a}\sqrt{3}·1}{2·\cancel{a}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l}\mathrm{tg}30°=\frac{\cancel{2}·\cancel{a}}{\cancel{2}·\cancel{a}\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}·\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}$

$\mathrm{ctg}30°=\frac{\cancel{2}·\cancel{a}\sqrt{3}}{\cancel{2}·\cancel{a}}=\sqrt{3}$

Trigonometrijski omjeri kuta veličine $60°$

Zadatak 3.

Ispišite u bilježnicu trigonometrijske omjere stranica trokuta $ANC,$ ali s obzirom na drugi šiljasti kut veličine $60°.$

Trigonometrijski omjeri kuta veličine $45°$

Zadatak 4.

Prisjetite se što ste u osnovnoj školi učili o kvadratu pa odgovorite na pitanja.

Označimo kvadrat.

Zadatak 5.

Odredite trigonometrijske omjere kuta od $45°$ iz pravokutnog trokuta $ABC$.

Sistematizirajmo dobivene podatke u tablicu i zapamtimo ih. Često će nam trebati.

Primijenimo tablične vrijednosti

Primjer 1.

Izračunajmo vrijednost izraza.

1. $\begin{array}{l}\sin 60°+\cos 30°-\mathrm{tg}60°=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=0\end{array}$
2. $\begin{array}{l}\frac{2\sin 30°+1}{2\mathrm{tg}\mathrm{45}°-1}=\frac{\cancel{2}·\frac{1}{\cancel{2}}+1}{2·1-1}=\frac{2}{1}=2\end{array}$
3. $\begin{array}{l}\frac{{\sin }^{\mathrm{2}}\mathrm{30}\mathrm{°}\mathrm{+}\mathrm{2}{\sin }^{\mathrm{2}}\mathrm{45}\mathrm{°}}{\mathrm{3}{\cos }^{\mathrm{2}}\mathrm{30}\mathrm{°}\mathrm{-}{\cos }^{\mathrm{2}}\mathrm{45}\mathrm{°}}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2·{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}{3·{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\frac{1}{4}+1}{\frac{9}{4}-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{5}{7}\end{array}$

Uočite da smo u zadatku koristili ove oznake:

${\sin }^2\alpha ={\left(\sin \alpha \right)}^2$

${\cos }^2\alpha ={\left(\cos \alpha \right)}^2$

${\mathrm{tg}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\alpha =}{\left(\mathrm{tg\alpha }\right)}^{\mathrm{2}}$

${\mathrm{ctg}}^{\mathrm{2}}\mathrm{\alpha =}{\left(\mathrm{c}\mathrm{tg\alpha }\right)}^{\mathrm{2}}$

Zadatak 6.

 Izračunajte vrijednost sljedećih trigonometrijskih izraza pa uparite odgovarajuće izraze i vrijednosti.

$\frac{6\sin 45°}{\cos 60°+\sin 30°}=$	$1$  ​
$\frac{5{\mathrm{tg}}^{2}30°+{\mathrm{ctg}}^{2}45°}{{\sin }^{2}60°-2{\cos }^{2}45°}=$  ​	$3\sqrt{2}$  ​
$4\sin 30°\cos 30°\mathrm{tg}30°=$	$-\frac{32}{3}$  ​
$\frac{1-4{\sin }^{2}30°}{1+4{\cos }^{2}30°}=$  ​	$0$  ​

null

null

Zadatak 7.

1. U pravokutnom je trokutu omjer kosinusa šiljastih kutova $\sqrt{3}:1.$ Odredite kutove trokuta.
2. Odredite visinu romba sa stranicom $4$ te jednim kutom od $30°.$ Kako glasi formula za visinu romba ako je zadana stranica duljine $a$?
3. Jednakostranični trokut sa stranicom duljine $4$ podijelite visinom na stranicu na dva pravokutna trokuta. Izračunajte visinu na hipotenuzu dobivenoga pravokutnog trokuta. Kako glasi formula te visine ako je zadana stranica jednakostraničnog trokuta duljine $a$ ?
   

Primjer 2.

Na primjeru kuta $30°$ provjerimo sljedeće identitete:

1. $\sin \mathrm{2}\mathrm{\alpha =}\mathrm{2}\sin \alpha \cos \alpha$
2. $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$
3. $\mathrm{tg}\alpha ·\mathrm{ctg}\alpha =1$

Kutak za znatiželjne

Identitet ili istovjetnost jest jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti varijabla koje sudjeluju u toj jednakosti. Na primjer, jednakost $c^2=a^2+b^2$ poznata je kao Pitagorin poučak i vrijedi za sve pozitivne realne brojeve $a,b\mathrm{i}c$ koji mogu biti stranice pravokutnog trokuta.

Dokazati identitet ne znači uvrstiti jednu vrijednost i dobiti istinitu jednakost. U prethodnom primjeru nismo dokazali da identiteti vrijede za sve šiljaste kutove pravokutnog trokuta. Samo smo naslutili da bi to mogla biti točna tvrdnja.

Na slici je dokaz bez riječi jednakosti $\sin \mathrm{2}\alpha =\mathrm{2}\sin \alpha \cos \alpha .$ Pronađite na slici $\alpha ,\sin \alpha ,\cos \alpha ,\sin 2\alpha$ i obrazložite zašto vrijedi jednakost.

Zadatak 8.

Odredite vrijednost izraza $\begin{array}{l}\frac{\sin 1°\cos 1°\cos 2°\cos 4°\cos 8°\cos 16°\cos 32°}{\sin 64°}\end{array}.$

Računanje džepnim računalom

Danas se za računanje trigonometrijskih vrijednosti kutova koriste džepna računala. U prošlosti su to bile tablice u kojima su bile popisani vrijednosti trigonometrijskih omjera za kutove od $0°$ do $90°$ na pet decimala. Računanje bez džepnog računala bilo je vrlo zahtjevno i dugotrajno. A upotrebom džepnog računala?

Primjer 3.

Da bismo izračunali $\sin 40°$ na džepnom računalu, najprije moramo provjeriti je li ono postavljeno na računanje u stupnjevima. Ako na džepnom računalu nemamo oznaku D ili DEG (moguće su R, RAD za radijane ili G, GRAD za grad), potrebno je prebaciti tipkom

$\boxed{MOD}$ ili $\boxed{DRG}$ ili  $\boxed{SETUP}.$ Upotrebljavate li džepno računalo koje dolazi s Windowsima, promjena  s računanja u stupnjevima u radijane i grad koristi se tipkom na kojoj piše oznaka mjere kuta (slika 1.).

Postupak računanja $\sin 40°$ različit je na raznim vrstama džepnog računala, ali možemo ga podijeliti na dvije vrste:

PREFIKSNO: upišemo broj $40$ i pritisnemo tipku $\boxed{SIN}$

POSTFIKSNO: pritisnemo tipku $\boxed{SIN}$ pa upišemo broj $40.$

U oba bi slučaja vrijednost koju dobijemo trebala biti: $0.6427876097...$ (slika 2. i slika 3.).

S obzirom na to da su većina trigonometrijskih vrijednosti iracionalni brojevi, decimalni zapis im je beskonačan neperiodičan decimalan broj. Zbog toga ćemo sve vrijednosti zaokruživati na četiri decimale. Iako su to približne vrijednosti, radi jednostavnosti zapisa stavljat ćemo znak jednakosti.

Primjer 4.

$\sin 40°=0.6428$

Na isti način možemo izračunati vrijednosti za kosinus i tangens.

$\cos 40°=0.7660$

$\mathrm{tg}40°=0.8391$

Zadatak 9.

Izračunajte trigonometrijske omjere kuta od ​ $35°$ i rješenje zaokružite na četiri decimale.

$\sin 35°=$   

null

null

$\cos 35°=$  ​  

null

null

$\mathrm{tg}35°=$  ​  

null

null

Minute i sekunde

Zadatak 10.

Kut može biti zadan i s pomoću minuta i sekundi. Prisjetimo se odnosa među njima.

Primjer 5.

Pretvorimo​ $20°12\text{'}$ u stupnjeve.

$20°12\text{'}=20°+{\left(\frac{12}{60}\right)}^{°}=20.2°$

Pretvorimo​ $35.42°$ u stupnjeve, minute i sekunde.

$\begin{array}{l}35.42°=35°+0.42·60\text{'}=35°+25.2\text{'}=35°+25\text{'}+0.2·60"=35°+25\text{'}+12"=35°25\text{'}12"\end{array}$

Primjer 6.

Pretvarati kutove iz stupnjeva, minuta i sekundi u decimalni oblik i obratno možemo i s pomoću džepnog računala. Tome služi tipka​ $\boxed{°\text{'}"}$ ili $\boxed{DEG}.$

Pokušajte na prethodnim primjerima. Postupak možete pratiti u sljedećoj animaciji.

Zadatak 11.

Pretvorite u decimalni oblik (prikažite u stupnjevima):

1. $32°15\text{'}10"$ 
2. $77°7\text{'}7".$
   

Primjer 7.

Pokušajmo sad obratno, iz decimalnog oblika odrediti stupnjeve, minute i sekunde.

$20.2°=20°12\text{'}$

$35.47°=35°28\text{'}12"$

Katkad je za to dovoljno otipkati decimalni broj i staviti oznaku za stupnjeve $\boxed{°\text{'}"}$ te tipku $\boxed{=},$ a na nekim se džepnim računalima upotrebljava tipka $\boxed{DMS}$ (slika 4.).

Zadatak 12.

Pretvorite u stupnjeve, minute i sekunde:

1. $32.2528°$
2. $77.1186°$
   

Zadatak 13.

Odredite trigonometrijske omjere kut​a od $23°32\text{'}15"$ i rješenja zaokružite na četiri decimale.

$\sin 23°32\text{'}15"=$  ​  

null

null

$\cos 23°32\text{'}15"=$  

null

null

$\mathrm{tg}23°32\text{'}15"=$  

null

null

Zadatak 14.

Odredite trigonometrijske omjere kuta od $23.4°$ i rješenje zaokružite na četiri decimale.

  $\sin 23.4°=$  

null

null

$\cos 23.4°=$  

null

null

$\mathrm{tg}23.4°=$  

null

null

Računanje kutova

Primjer 8.

Vratimo se početnom primjeru. Visina je obeliska $25.5$ metara, a duljina sjene $18.7$ metara. Koliki je kut pod kojim Sunčeve zrake bacaju sjenu na trg? Promotrimo pravokutni trokut na slici. Poznate su duljine nasuprotne katete ( $25.5$) i priležeće katete ( $18.7$). Nasuprotnu i priležeću katetu povezuje tangens:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{25.5}{18.7}=\frac{15}{11}.$

Do sada smo iz poznatog kuta određivali trigonometrijski omjer. Sada treba napraviti obratno, iz poznatog trigonometrijskog omjera potrebno je izračunati kut. Koristit ćemo se džepnim računalom. Neka džepna računala imaju tipku inverz $\boxed{INV},$ a kod nekih je to tipka $\boxed{SHIFT}$ te s pomoću njih provodimo obrnuti postupak od određivanja trigonometrijskih omjera. Na džepnom računalu te su tipke označene sitnim slovima ispisanima iznad tipki za trigonometrijske omjere (često u narančastoj boji). Taj obrnuti postupak označavamo sa ${\sin }^{-1},$ ${\cos }^{-1}$ i ${\mathrm{tg}}^{-1}.$

$\begin{array}{l}\alpha ={\mathrm{tg}}^{-1}\frac{15}{11}=53.7462°=53°44\text{'}46"\end{array}$

Sunčeve zrake bacaju sjenu na trg pod kutom od $53°44\text{'}46".$

Postupak određivanja kuta iz poznate vrijednosti za sinus kuta možete pogledati u sljedećoj animaciji.

Zadatak 15.

Odredite kut iz poznatog trigonometrijskog omjera:

1. $\cos \alpha =0.4$
2. $\mathrm{tg}\beta =0.4$

Zadatak 16.

Odredite vrijednosti kutova u stupnjevima, minutama i sekundama ako je:

1. $\sin \alpha =0.03$
   
2. $\mathrm{ cos}\alpha =0.9$​
3. $\mathrm{tg}\alpha =1.4$
4. $\sin \alpha =3$