Matematika 1 - 9.5 Primjena u planimetriji

Jednakokračan trokut

Stranice jednakokračnog trokuta jesu osnovica i krakovi. Jednakokračni trokut određen je dvama svojim elementima:

osnovicom i krakom
osnovicom i kutom
krakom i kutom.

Nije važno koji je kut zadan, zato što imamo dva kuta iste mjere, a znamo da je zbroj svih kutova u bilo kojem trokutu $180^{\circ} .$

Ako spustimo visinu na krak ili osnovicu, dobit ćemo dva pravokutna trokuta na koja dalje možemo primijeniti trigonometrijske omjere. Pogledajmo primjere.

Primjer 1.

U jednakokračnom trokutu zadani su osnovica duljine $4 cm$ i kut uz osnovicu $50^{\circ} .$ Treba odrediti drugi kut, duljinu kraka i površinu.

Za početak svakako treba nacrtati skicu i označiti poznate elemente i tražene elemente. Na slici ćemo lakše uočiti pravokutni trokut i trigonometrijske omjere koji će nam poslužiti za određivanje traženih veličina.

Na slici smo žutom bojom označili poznate veličine.

Budući da znamo jedan kut, drugi računamo.

$β = 180^{\circ} - 2 α = 80 °$

Primijetimo na slici dva pravokutna trokuta koja su nastala spuštanjem visine na osnovicu. U računanju ćemo se koristiti trokutom $△ B C E .$

$\frac{a}{2}$ je priležeća kateta kutu $α,$ a $b$ je hipotenuza. Možemo, dakle, upotrijebiti sljedeći omjer:

$\begin{array}{l} \cos α = \frac{\frac{a}{2}}{b} \Rightarrow b = \frac{\frac{a}{2}}{\cos α} = \frac{2}{\cos 50^{\circ}} = 3.11 cm \end{array} .$

Za računanje površine trokuta trebamo još visinu koju možemo izračunati s pomoću Pitagorina poučka.

$v = \sqrt{b^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = 2.38 cm$

$P = \frac{a \cdot v_{a}}{2} = 4.77 {cm}^{2}$

Iako međurezultate zapisujemo zaokruženo na dvije decimale, u nastavku računa koristimo veći broj decimala ili izvodimo formule pa sve veličine uvrštavamo u džepno računalo odjednom. Konačni rezultat zaokružujemo na dvije decimale.

Zadatak 1.

Izračunajte ostale elemente jednakokračnog trokuta ako je zadan krak duljine $7$ i kut nasuprot osnovici od $25^{\circ} .$ Obvezno na papiru nacrtajte skicu.

Na slici je jednakokračan trokut sa zadanim elementima.

$β = \frac{180^{\circ} - α}{2} = {77.5}^{\circ}$

$\begin{array}{l} \sin α = \frac{v_{b}}{b} \Rightarrow v_{b} = b \cdot \sin α = 2.96 \end{array}$

$\begin{array}{l} \sin β = \frac{v_{b}}{a} \Rightarrow a = \frac{v_{b}}{\sin β} = 3.03 \end{array}$

$P = \frac{b \cdot v_{b}}{2} = 10.35$

Pravokutnik, romb i trapez

Prisjetite se definicija i svojstava pravokutnika, romba i trapeza. Za rješavanje sljedećih zadataka trebate, osim trigonometrije, ponoviti kako pronaći opseg i površinu tih likova te u kakvom su odnosu stranice, kutovi i dijagonale.

Paralelogram

Paralelogram je geometrijski lik kojemu su nasuprotne stranice usporedne i jednakih duljina. Opseg paralelograma je zbroj duljina svih stranica.

Površinu računamo s pomoću formule:

$P = a \cdot v_{a} = b \cdot v_{b} .$

Dijagonale paralelograma se raspolovljuju.

Na slici je niz crnih i bijelih paralelograma koji čine uzorak. — Uočite paralelograme u uzorku. Crni ili bijeli?

Pravokutnik

Pravokutnik je vrsta paralelograma. Kao što samo ime kaže, taj lik ima sve prave kutove. Pravokutnik je geometrijski lik čiji su kutovi pravi, a po dvije nasuprotne stranice usporedne i jednakih duljina.

$o = 2 (a + b)$ – opseg je zbroj duljina svih stranica

Ako pravokutnik i paralelogram imaju istu visinu i širinu, imaju jednaku površinu.

$P = a \cdot b$ – površina

Na slici je uzorak koji se sastoji od različitih pravokutnika. — Pravokutnici

Romb

Romb je geometrijski lik kod kojeg su sve stranice jednake duljine, a nasuprotne su stranice usporedne. Kvadrat je vrsta romba koji ima četiri prava kuta. Romb za razliku od kvadrata nema prave kutove, ali se dijagonale sijeku pod pravim kutom kao i kod kvadrata te romb dijele na četiri sukladna pravokutna trokuta. Dijagonale romba raspolavljaju unutarnje kutove romba.

Formulu za opseg i površinu pravokutnika ili paralelograma lako prilagodimo.

$o = 4 \cdot a$

$P = a \cdot v_{a}$

Uzorak sastavljen od rombova. — Jesu li ovo rombovi?

Trapez

Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice usporedne. Ako su mu krakovi jednake duljine, onda je to jednakokračni trapez.

Budući da je prema definiciji opseg četverokuta zbroj duljina stranica, opseg trapeza je:

$o = a + b + c + d .$

Površinu možemo računati tako da trapez podijelimo na dva pravokutna trokuta i pravokutnik. Nakon računanja dobijemo formulu:

$P = \frac{a + c}{2} \cdot v_{a} .$

Na slici su istaknuti trapezi na Eiffelovom tornju. — Trapezi na Eiffelovu tornju

U sljedećem ćete videozapisu vidjeti kako možemo dokazati da je površina paralelograma jednaka:

$P = a \cdot b \cdot \sin α .$

Primjer 2.

Izvod formule za površinu paralelograma

Primjer 3.

Dijagonale pravokutnika zatvaraju kut od $78^{\circ} .$ Ako je opseg pravokutnika $36 cm,$ kolika mu je površina?

Najprije crtamo skicu.

Iz poznatog opsega imamo vezu između stranica $a$ i $b :$

$b = 18 - a .$

Potražimo na skici još jednu vezu između stranica $a$ i $b .$ Pogledajmo pravokutni trokut $E F C .$ Možemo dovesti u vezu katete s polovicom kuta između dijegonala:

$tg \frac{α}{2} = \frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{b}{a} .$

Povežimo dobivene jednadžbe:

$\begin{array}{l} tg \frac{α}{2} = \frac{18 - a}{a} \Rightarrow a = \frac{18}{t g \frac{α}{2} + 1} = 9.95 \end{array}$

$b = 8.05$

$P = a \cdot b = 80.11$

Zadatak 2.

Pravokutnik ima površinu $12,$ a opseg $16 .$ Koliki kut stranice zatvaraju s dijagonalom?

Uputa: Svakako nacrtajte skicu.

Iz podataka o površini i opsegu dobit ćete sustav dviju jednadžbi koje se svode na jednadžbu:

$b^{2} - 8 b + 12 = 0 .$

Dobivenu jednadžbu možemo zapisati u faktoriziranom obliku:

$(b - 2) (b - 6) = 0 .$

Rješenja su stranice duljina $2$ i $6 .$

Zapravo imamo dva moguća pravokutnika, pri čemu se izmjenjuju njihova širina i visina.

$tg α = \frac{a}{b} \Rightarrow α = 18 ° 28' 6 "$

$tg β = \frac{b}{a} \Rightarrow β = 71 ° 33'' 54 "$

Primjer 4.

Stranica romba duga je $13,$ a površina iznosi $130 .$ Kolika je visina romba, a koliki tupi kut?

Najprije treba nacrtati skicu i uočiti pravokutne trokute.

Iz površine i stranice najprije računamo visinu.

$v = \frac{P}{a} = 10$

Uočavamo pravokutni ružičasti trokut sa slike u kojem su nam poznate kateta $v$ i hipotenuza $a .$ Na osnovi tih dviju veličina možemo izračunati kut nasuprot visini $v .$

$\sin β = \frac{v}{a} \Rightarrow β = \sin^{- 1} \frac{10}{13} = 50^{\circ} 17' 6 "$

Tupi kut računamo oduzimanjem šiljastog od ispruženog kuta.

$\begin{array}{l} α = 180^{\circ} - β = 129 ° 42' 54 " \end{array}$

Uočite da je važno prepoznati i uočiti pravokutan trokut te povezati njegove poznate elemente s definicijama trigonometrijskih omjera.

Primjer 5.

Izračunajmo kutove jednakokračnog trapeza kojemu su osnovice $15$ i $5,$ a krakovi duljine $9 .$ Najprije obvezno nacrtajmo skicu.

$\frac{a - c}{2} = \frac{15 - 5}{2} = 5$

Poznate su priležeća kateta s obzirom na kut $α$ i hipotenuzu $9 .$ Koji trigonometrijski omjer povezuje priležeću katetu i hipotenuzu? To je kosinus.

$\cos α = \frac{5}{9} \Rightarrow α = 56 ° 15' 4 "$

Tupi kut izračunajte sami.

Uputa: Koliki je zbroj kutova u četverokutu?

Zadatak 3.

Na slici je Eiffelov toranj. Označen je trapez.

Širina tornja na podnožju iznosi $124.90 m,$ širina prve platforme $70.69 m,$ a duljina kosog dijela od podnožja do prve platforme $69.214 m .$ Odredite kut $α .$

$α = 66 ° 56' 43 "$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 4.

Romb ima dijagonale dugačke $8$ i $10 .$ Koliki su kutovi romba?

Uputa: Uočite pravokutan trokut koji zatvaraju polovice dijagonala i stranica romba. Dijagonale se raspolovljuju pa u tom trokutu znamo katete. S pomoću kateta računamo kutove.

$α = 102.7 °$

$β = 77.3 °$

Zadatak 5.

Ako jednakokračni trapez ima šiljasti kut $60 °,$ a osnovice $6$ i $12,$ izračunajte mu površinu.

Uputa: Uočite pravokutni trokut kao i u riješenom primjeru. U tom trokutu poznat je kut i priležeća kateta tom kutu, a možemo izračunati nasuprotnu katetu koja je zapravo visina trapeza. Uz visinu i zadane osnovice, računamo površinu.

$P = 46.8$

Zatvori

Osim u navedenim primjerima, trigonometrijski omjeri pravokutnog trokuta koriste se i u zadatcima s kružnicom, krugom i pravilnim poligonima, ali i u stvarnim situacijama. Pogledajte primjer.

Primjer 6.

Geostacionarni sateliti kruže oko Zemlje na visini od $35 780 km .$ Kolika je najveća udaljenost točaka na Zemljinoj površini koje se sa satelita vide u isto vrijeme? Uzmite za polumjer Zemlje $6 360 km .$

Uputa: Promatrajte tangente na kružnicu iz satelita. Što vrijedi za tangentu kružnice i polumjer kružnice?

Tangenta je okomita na radijus pa promotrimo pravokutan trokut u kojem je poznat polumjer Zemlje (priležeća kateta) i udaljenost satelita od središta Zemlje (hipotenuza). Koji omjer upotrebljavamo s tim veličinama da bismo pronašli $β ?$

$\begin{array}{l} cosβ = \frac{6 360}{35 780 + 6 360} \Rightarrow β = 81 ° 19' 10 " \end{array}$

Središnji kut je $2 β = 162 ° 38' 20 " .$

Iz središnjeg kuta možemo sada izračunati duljinu kružnog luka.

$l = \frac{r π 2 β}{180 °} = 18 053.39 km$

Zadatak 6.

Odredite duljinu tetive koja pripada obodnom kutu od $12 °$ ako je polumjer kružnice $8 cm .$

Prisjetite se poučka o obodnom i središnjem kutu kružnice koji kaže da je središnji kut dvostruko veći od obodnog, a posljedica je da su svi obodni kutovi nad danom tetivom sukladni. Zbog toga možemo birati onaj obodni kut čiji jedan krak prolazi kroz središte kružnice. Tako imamo pravokutan trokut čija je hipotenuza promjer kružnice.

Duljina je tetive $3.33 cm .$

Kutak za znatiželjne

U unutrašnjosti pravilnog 36-erokuta odabrana je točka $T .$ Dokažite da je aritmetička sredina udaljenosti točke $T$ do pravaca na kojima leže stranice 36-erokuta jednaka $R \cos 5 °,$ gdje je $R$ polumjer opisane kružnice.

Na slici je dio pravilnog 36-erokuta, nacrtan je karakteristični trokut.

Na slici je pravilni 36-erokut podijeljen na trokute iz točke T.

Neka su $d_{1}, . . . d_{36}$ udaljenosti točke $T$ od pravaca na kojima leže stranice 36-erokuta. Izrazite površinu 36-erokuta na dva načina, izrazite $h$ iz karakterističnog trokuta pravilnog 36-erokuta pa izjednačite dobivene izraze za površine: