Aritmetički i geometrijski niz

U prethodnim ste jedinicama upoznali aritmetički i geometrijski niz. Kako ih razlikujemo? Kako ćemo iz podataka u zadatku odrediti o kojem se nizu radi? Pogledajmo.

Zadatak 1.

Zadan je niz s općim članom $a_{n} = 5 n - 2 .$ Odgovorite na pitanja.

Prvi član niza je

.

Drugi član niza je

.

Treći član niza je

.

null

Izračunajte:

a_{2} - a_{1} =

,

a_{3} - a_{2} =

.

\frac{a_{2}}{a_{1}} =

.

\frac{a_{3}}{a_{2}} =

.

null

Na osnovi prethodnih računa zaključujemo da niz nije

.

null

Poredajte korake računanja.

$5$
$a_{n} - a_{n - 1} =$
$5 n - 2 - 5 n + 5 + 2 =$
$(5 n - 2) - (5 (n - 1) - 2) =$

null

Zaključujemo da je niz

,

njegova je

jednaka

,

a prvi član

.

null

Primjer 1.

Promotrimo još jednom formulu za opći član niza iz prethodnog zadatka: $a_{n} = 5 n - 2 .$ Uočavamo da je ovisnost općeg člana o rednom broju linearna. Zaključili smo da je ovaj niz aritmetički jer je $a_{n} - a_{n - 1} = 5$ za sve prirodne brojeve $n > 1 .$ Jesu li aritmetički svi nizovi u kojima je ovisnost općeg člana o rednom broju linearna? Zapišite neke primjere pa provjerite.

Provjerimo i općenito. Neka je $a_{n} = d \cdot n + l .$ Izračunajte razliku $a_{n} - a_{n - 1} .$ Što zaključujemo?

$a_{n} - a_{n - 1} = (d \cdot n + l) - (d \cdot (n - 1) + l) = d$ i zaključujemo da je niz aritmetički s razlikom $d .$

Niz $a_{n} = d \cdot n + l$ u kojemu je ovisnost općeg člana o rednom broju linearna aritmetički je niz s razlikom $d .$

Zadatak 2.

Zadan je niz s općim članom $a_{n} = 5 \cdot 2^{n} .$ Odgovorite na pitanja.

Prvi član niza je

.

Drugi član niza je

.

Treći član niza je

.

null

Izračunajte:

a_{2} - a_{1} =

,

a_{3} - a_{2} =

,

\frac{a_{2}}{a_{1}} =

,

\frac{a_{3}}{a_{2}} =

.

null

Na osnovi prethodnih računa zaključujemo da niz nije

.

null

Poredajte korake računanja.

$2$
$\frac{5 \cdot 2^{n}}{5 \cdot 2^{n - 1}} =$
$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} =$
$2^{n - (n - 1)} =$

null

Zaključujemo da je niz

,

njegov je

jednak

,

a prvi član

.

null

Primjer 2.

Promotrimo još jednom formulu za opći član niza iz prethodnog zadatka: $a_{n} = 5 \cdot 2^{n} .$ Ovisnost općeg člana o rednom broju je eksponencijalna. Zaključili smo da je ovaj niz geometrijski jer je $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = 2$ za sve prirodne brojeve $n > 1 .$ Jesu li geometrijski svi nizovi u kojima je ovisnost općeg člana o rednom broju eksponencijalna? Zapišite neke primjere pa provjerite.

Provjerimo i općenito. Neka je $a_{n} = C \cdot q^{n} .$ Izračunajte kvocijent $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} .$ Što zaključujemo?

$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = \frac{C \cdot q^{n}}{C q^{n - 1}} = q^{n - (n - 1)} = q$

Niz je geometrijski s kvocijentom $q .$

Zadatak 3.

Za svaki od nizova odredite prvi član te je li niz aritmetički ili geometrijski. Za aritmetičke odredite razliku, za geometrijske kvocijent.

a. Niz

a_{n} = 3 \cdot 2^{n + 1}

je

,

je

,

a prvi član

.

null

b. Niz

a_{n} = 2^{3} + 6 n

je

,

je

,

a prvi član

.

null

Još nekoliko zadataka

Riješite još nekoliko zadataka s aritmetičkim i geometrijskim nizom.

Kolekcija zadataka #1

U aritmetičkom nizu prvi je član $2,$ deseti $29,$ a zbroj prvih $n$ članova je $94 627 .$ Odredite $n .$

Opći član aritmetičkog niza je $a_{10} = a_{1} + (n - 1) d$ pa je $29 = 2 + 9 d,$ $d = 3 .$

Zbroj prvih $n$ članova je $S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$ pa je $94 627 = \frac{n}{2} (4 + 3 n - 3),$ $3 n^{2} + n - 189 254 = 0,$ $n_{1} = 251,$ $n_{2} = - \frac{754}{3} .$

Budući da je $n$ prirodni broj, rješenje je $n = 251 .$

Zbroj prvih $n$ članova nekog niza računa se formulom $S_{n} = - n^{2} + 4 n .$ Odredite:

a. prvi član

b. drugi član

c. $n$ -ti član.

d. O kakvom je nizu riječ?

$a_{1} = S_{1} = - 1 + 4 = 3,$ $a_{2} = S_{2} - S_{1} = (- 4 + 8) - (- 1 + 4) = 1$

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (- n^{2} + 4 n) - (- {(n - 1)}^{2} + 4 (n - 1))$

Opći član $a_{n} = - 2 n + 5$ linearno ovisi o rednom broju $n$ pa je niz aritmetički.

Prvi je član geometrijskog niza $2,$ a šesti $486 .$ Koliko članova niza treba zbrojiti da se dobije $59 048$ ?

Peti je član geometrijskog niza $a_{5} = a_{1} \cdot q^{4}$ pa je $486 = 2 \cdot q^{5},$ $q = 3 .$

Zbroj prvih $n$ članova niza je $S_{n} = a_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ pa je $59 048 = 2 \cdot \frac{3^{n} - 1}{3 - 1},$ $3^{n} = 59 049,$ $n = 10 .$

Zbroj prvih $n$ članova nekog niza računa se formulom $S_{n} = 2 048 (1 - {0.5}^{n}) .$

a. Odredite prvi i drugi član niza.

b. Odredite opći član niza.

c. Kakav je to niz?

$a_{1} = S_{1} = 2 048 (1 - {0.5}^{1}) = 1 024,$ $a_{2} = S_{2} - S_{1} = 1 536 - 1 024 = 512$

$\begin{array}{ll} a_{n} & = S_{n} - S_{n - 1} = 2 048 (1 - {0.5}^{n}) - 2 048 (1 - {0.5}^{n - 1}) = \\ = 2 048 \cdot {0.5}^{n - 1} (1 - 0.5) = 1 024 \cdot {0.5}^{n - 1} \end{array}$

Opći član eksponencijalno ovisi o rednom broju pa je niz geometrijski.

Modeliranje aritmetičkim i geometrijskim nizom

Primjer 3.

Kada govorimo o modeliranju, obično mislimo na situacije iz stvarnoga života. No modelirati možemo i unutar matematike.

Pogledajmo jedan primjer.

Kolekcija zadataka #2

Sonja slaže kvadre kao na slici. U 1. koraku upotrijebila je $1$ kvadar, u 2. koraku $3$ kvadra itd.

Popunite prazna mjesta.

Pod brojem 1 je jedan kvadar. Pod brojem 2 su tri kvadra, pod brojem 3 su pet kvadra.

U 14. koraku Sonja će iskoristiti

kvadara.

Ako želi iskoristiti

39

kvadara, Sonja će to učiniti u

koraka.

null

Kazalište ima $35$ redova sjedala. U prvome je redu $26$ sjedala, u drugome $29,$ u trećemu $32$ i tako dalje po tri sjedala više u svakome sljedećem redu. Koliko je ukupno sjedećih mjesta u tome kazalištu?

2 415

2 695

2 747

null

Prema podatcima sustava eVisitor Hrvatsku je u 2018. godini posjetilo $19,4$ milijuna turista te je postignuto $6.5 %$ više turističkih dolazaka nego u 2017. godini. Ako se taj trend povećanja dolazaka sljedećih godina nastavi, 2023. godine broj turista prvi će put biti veći od $25$ milijuna.

Da

Ne

Pomoć:

$a_{n} = 19.4 \cdot {1.065}^{n - 1} > 25$

${1.065}^{n - 1} > \frac{25}{19.4}$

$n - 1 > \log_{1.065} (\frac{25}{19.4})$

$n > 5.027$

$2018 + 5 = 2023$

null

Mjere kutova u peterokutu tvore aritmetički niz. Ako mjera najmanjeg kuta u tome peterokutu iznosi

64 °,

mjera najvećega kuta je

° .

null

U spremniku koji sadrži $1 000$ litara zraka potrebno je stvoriti vakuum. Svaki put kad se uključi, vakuumska pumpa isiše polovinu količine zraka koja je preostala u spremniku. Koliko je litara zraka preostalo u spremniku nakon petog uključivanja pumpe?

15.615 L

31.25 L

62.5 L

1 250 L

null

...i na kraju

Osnovni format papira nosi oznaku A uz koju se stavljaju brojevi $0,$ $1,$ $2,$ $. . .$ Početni format A $0$ ima dimenzije $841 mm \times 1189 mm$ i površina mu iznosi približno $1 m^{2} .$ Sljedeći format A $1$ dobije se tako da se dulja stranica formata A $0$ prepolovi, format A $2$ dobije se tako da se dulja stranica formata A $1$ prepolovi i tako dalje s ostalim formatima.

Proučite što se događa s površinama papira te odredite površinu papira formata A $10 .$

$P_{A n} = P_{A 0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n},$

$P_{A 10} \approx 976 {mm}^{2} .$

2.4 Primjena aritmetičkog i geometrijskog niza

Na početku...

Aritmetički i geometrijski niz

Zadatak 1.

Primjer 1.

Zadatak 2.

Primjer 2.

Zadatak 3.

Još nekoliko zadataka

Kolekcija zadataka #1

Modeliranje aritmetičkim i geometrijskim nizom

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #2

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: