2.5 Limes niza

Limes aritmetičkog niza

Primjer 3.

Promotrimo aritmetički niz $1,$ $4,$ $7,$ $10,$ $...,$ $3n-2,$ $...,$ $...$ Svaki njegov član, osim prvog, veći je od prethodnog za tri, pa je niz rastući i njegovi članovi teže u beskonačnost. Stoga je to divergentan niz.

Koliko je njegovih članova manje od $10?$ Koliko ih je veće od $10?$ Koliko je članova manje, a koliko veće od $1000?$

Koliko je članova manje, a koliko veće od nekog velikog broja $M?$

Rješenje

Niz $-2,$ $-4,$ $-6,$ $-8,$ $...$ $-2n...$ je

divergentankonvergentan i

teži u

nulubeskonačnominus beskonačno .

To znači da koliko god veliki realni broj $M>0$ uzmemo, članova koji su veći od broja  $-M$  je

konačnobeskonačno mnogo.

Na primjer, ako je $M=25000,$ članova tog niza koji su manji od $-25000$ ima

12 49912 500beskonačno mnogo ,

a članova koji su veći od $-25000$ ima

12 500beskonačno mnogo12 499 .

null

null

Istražimo

Navedite primjere nekoliko različitih aritmetičkih nizova i opišite njihovu konvergenciju. Što zaključujete?

Aritmetički niz s općim članom $a_n$ i razlikom $d>0$ divergentan je i vrijedi $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty .$ Ako je razlika $d<0,$ onda je $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-\infty .$

a. Koji od sljedećih nizova teže u beskonačnost?

$1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $...,$ $n,$ $...$

$3,$ $8,$ $13,$ $18,$ $...,$ $5n-2,$ $...$

$1,$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{5},$ $\frac{1}{7},$ $...,$ $\frac{1}{2n-1},$ $...$

$\frac{1}{2},$ $\frac{2}{3},$ $\frac{3}{4},$ $\frac{4}{5},$ $...,$ $\frac{n}{n+1},$ $...$

null

null

b. Koji od sljedećih nizova teže prema nuli?

$1,$ $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{3},$ $\frac{1}{4},$ $...,,$ $\frac{1}{n},$ $...$

$1,$ $-1,$ $0,$ $1,$ $-1,$ $0,$ $1,$ $-1,$ $0,$ $...$

$\frac{1}{3},$ $\frac{1}{8},$ $\frac{1}{13},$ $...,$ $\frac{1}{5n-2},$ $...$

$\frac{7}{5},$ $\frac{9}{7},$ $\frac{11}{9},$ $...,$ $\frac{2n+5}{2n+3},$ $...$

null

null

c. Koji od sljedećih nizova teže u minus beskonačno?  

$-0.1,$ $-0.01,$ $-0.001,$ $-0.0001...$

$100,$ $90,$ $80,$ $70...$

Niz je aritmetički s razlikom $-10.$

$-10,$ $-20,$ $-30,$ $-40...$

$-50,$ $-40,$ $-30,$ $-20...$

Aritmetički niz s pozitivnom razlikom teži u plus beskonačno.

null

null

Ako je $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty ,$ tada je $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{a_n}=0.$

Razvrstajte sljedeće nizove, zadane s općim članom, ovisno o tome konvergiraju li u $\infty ,$ $-\infty ,$ $0$ ili ostalo.

$a_n={\left(-\frac{5}{4}\right)}^n$

$a_n=10-4(n-1)$

$a_n=1-n^2$

$a_n=1+\frac{1}{n}$

$a_n=\frac{1}{2-n}$

$a_n=\frac{1}{2n}$

$a_n=n^2$

$a_n=5+\left(n-1\right)·3$

$a_n=\frac{1}{n^2}$

$a_n=2n-17$

$a_n=\frac{3}{2n+3}$

$a_n=\sin \left(n\right)$

$a_n=-2n+17$

$\infty$

$-\infty$

$0$

ostalo

null

null

Limes geometrijskog niza

Istražimo

U prvom smo primjeru imali geometrijski niz s općim članom $a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ i pokazali da je njegov limes jednak nuli. Zanima nas što je s konvergencijom bilo kojeg geometrijskog niza.

Istražite konvergenciju geometrijskog niza u sljedećim primjerima i odgovorite na pitanja koja slijede.

Niz a: $\frac{2}{3},$ $\frac{4}{9},$ $\frac{8}{27},$ $...,$ ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n...$

Niz b: $3,$ $6,$ $12,$ $\mathrm{24,...,3}·2^{n-1}...$

Niz c: $1,$ $-3,$ $9,$ $-\mathrm{27,...},$ ${\left(-3\right)}^{n-1}...$

Niz d: $3,$ $-2,$ $\frac{4}{3},$ $-\frac{8}{9},$ $...,$ $3·{\left(-\frac{2}{3}\right)}^{n-1}...$

Niz e: $\frac{1}{2},$ $-\frac{1}{2},$ $\frac{1}{2},$ $-\frac{1}{2},$ $...,$ $\frac{1}{2}·{\left(-1\right)}^{n-1}...$ 

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3

Uparite geometrijski niz i njegov kvocijent.

$q=2$	Niz dNiz eNiz cNiz aNiz b
$q=\frac{2}{3}$	Niz dNiz eNiz cNiz aNiz b
$q=-3$	Niz dNiz eNiz cNiz aNiz b
$q=-\frac{2}{3}$	Niz dNiz eNiz cNiz aNiz b
$q=-1$	Niz dNiz eNiz cNiz aNiz b

null

a. Koji od danih geometrijskih nizova teže u nulu?  

Niz a

Niz b

Niz c

Niz d

Niz e

null

null

b. Koji od nizova teži u beskonačno?

Niz a

Niz b

Niz c

Niz d

Niz e

null

null

Nizovi s kvocijentima $q=-3$ i $q=-1$ nemaju limes.

Da

Ne

Nemaju limes jer dio članova konvergira u plus beskonačno, a dio u minus beskonačno.

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Geometrijski niz s kvocijentom $q$ konvergentan je i teži u nulu ako je $\left|q\right|<1.$ Za $\left|q\right|>1$ geometrijski je niz divergentan.

Pritom za $q>1$ niz teži u beskonačnost, za $q\le -1$ limes ne postoji, a za $q=1$ niz je konstantan.

Uparite limes niza i njegov iznos.

$\underset{n\to \infty }{\lim }2{\left(-\frac{7}{5}\right)}^{n-1}=$	$-\infty$
$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{5}{7}\right)}^n=$	$0$
$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{7}{5}\right)}^n=$	ne postoji
$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-2n+5\right)=$	$\infty$

null

null

Računanje limesa

Neka su $\left(a_n\right)$ i $\left(b_n\right)$ konvergentni nizovi, a $c\in \mathbf{\text{R}}$ konstanta. Tada vrijedi:

• $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n\pm b_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n\right)\pm \underset{n\to \infty }{\lim }\left(b_n\right)$ (limes zbroja ili razlike)
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(c·b_n\right)=c·\underset{n\to \infty }{\lim }\left(b_n\right)$ (limes umnoška niza s konstantom)
  
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n·b_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n\right)·\underset{n\to \infty }{\lim }\left(b_n\right)$ (limes umnoška)
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n},$ pri čemu su svi $b_n\ne 0$ i $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\ne 0$ (limes kvocijenta)
  

a. Poredajte korake u redoslijedu računanja limesa $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n-4}{2n+1}.$

• $=\frac{3}{2}.$  
• $=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }3-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4}{n}}{\underset{n\to \infty }{\lim }2+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}}$  
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n-4}{2n+1}$
• $=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3-\frac{4}{n}}{2+\frac{1}{n}}$ 
• $=\frac{3-0}{2+0}$  

null

null

b.  Poredajte korake u redoslijedu računanja limesa $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-4}{2n^2+1}.$

• $=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(n-4\right):n^2}{\left(2n^2+1\right):n^2}$
• $=0.$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n-4}{2n^2+1}$  
• $=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}-\frac{4}{n^2}\right)}{\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}$ 
• $=\frac{0-0}{2+0}$ 

null

null

Omeđenost niza

Omeđen niz

Kažemo da je niz  $\left(a_n\right)$ omeđen ako postoje realni brojevi $m$ i $M$ tako da za sve članove niza vrijedi $m\le a_n\le M.$

Primjer 4.

Jesu li sljedeći nizovi omeđeni?

1. $a_n=\frac{n-1}{n}$
   
2. $a_n=\frac{1}{2}·3^n$
   
3. $a_n=2·{\left(-1\right)}^n$
   

Rješenje

Omeđeni niz koji je monoton (rastući ili padajući) jest konvergentan.

Označite točne tvrdnje. Niz $a_n=\frac{3n+15}{n}$ je

rastući

padajući

omeđen

konvergentan.

null