6.2 Dijeljenje dužine u zadanom omjeru

Što ću naučiti?

Podijeliti dužinu na jednake dijelove koristeći se Talesovim poučkom o propocionalnim dužinama
Podijeliti dužinu u zadanom omjeru koristeći se Talesovim poučkom o proporcionalnim dužinama
Nacrtati trokut i pravokutnik koristeći se Talesovim poučkom o proporcionalnim dužinama

Samostalno učenje

Procijenite svoje znanje

Sadržaj jedinice

Na početku...
Ponovimo
Dijeljenje dužine na jednake dijelove
Dijeljenje dužine u zadanom omjeru
Kako iskoristiti Talesov poučak za konstrukciju geometrijskih likova
...i na kraju

Sadržaj jedinice

Na početku...
Ponovimo
Dijeljenje dužine na jednake dijelove
Dijeljenje dužine u zadanom omjeru
Kako iskoristiti Talesov poučak za konstrukciju geometrijskih likova
...i na kraju

Povećanje slova

Smanjenje slova

Početna veličina slova

Visoki kontrast

a Promjena slova

Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je bakin vrt oblika pravokutnika

Baka vas je zamolila da joj pomognete podijeliti vrt na tri dijela jednakih površina. Vrt je u obliku pravokutnika dimenzija $5.3 m \times 1.5 m .$ Kako biste to najpreciznije učinili?

Trebalo bi dulju stranicu vrta podijeliti na tri dijela jednakih duljina i problem podjele je riješen. Ali, nemate čime to izmjeriti. Dosjetili ste se nacrtati umanjeni vrt na papiru u omjeru $1 : 100 .$ Sada biste trebali podijeliti pravokutnik na tri sukladna dijela. Kako to učiniti?

Ponovimo

Povezani sadržaji

Ako s $a$ i $b$ označimo duljine stranica vrta, onda je $a = 5.3 m$ i $b = 1.5 m .$ Označimo umanjene stranice s $a'$ i $b' .$ Tada vrijedi $a' : a = b' : b = 1 : 100 .$ Iz te proporcije lako dobijemo umanjene stranice pravokutnika, ali kako stranicu podijeliti precizno na tri jednaka dijela (bez mjerenja)?

U ovoj jedinici naučit ćemo kako podijeliti dužinu na sukladne dijelove bez mjerenja njihove duljine.

Koliko su vam ispale duljine stranica malog pravokutnika?

Budući da članovi omjera moraju biti istih mjernih jedinica, pretvorimo sve u centimetre.

$a = 5.3 m = 530 cm$ i $b = 1.5 m = 150 cm$

$a' : a = 1 : 100 \Rightarrow a' = \frac{530}{100} = 5.3 cm,$ $b' : b = 1 : 100 \Rightarrow b' = \frac{150}{100} = 1.5 cm$

Zadatak se može riješiti i s pomoću trojnog pravila.

Postavimo zadatak: $\begin{array}{l} a' \\ 530 \end{array} ↓ \begin{array}{l} 1 \\ 100 \end{array} ↓ i \begin{array}{l} b' \\ 150 \end{array} ↓ \begin{array}{l} 1 \\ 100 \end{array} ↓ .$

Sada prateći strelice dobijemo istu proporciju kao i u prvom načinu rješavanja: $a' : 530 = 1 : 100$ i $b' : 150 = 1 : 100$

Dalje rješavamo isto.

Zadatak 1.

Ponovite pojmove koje ste naučili u 5. razredu o skupovima točaka u ravnini i odgovorite na pitanja.

Točka na dužini $\bar{A B}$ koja je jednako udaljena od krajnjih točaka dužine naziva se .

Pravac koji je okomit na tu dužinu i prolazi njezinim polovištem naziva se .

null

null
Uvjeti koji moraju biti ispunjeni da bi neki pravac bio simetrala dužine:

1. pravac mora biti na dužinu.
2. prolaziti dužine.

null

null
Ako duljinu dužine $\bar{A B}$ označimo s $a$ , za konstrukciju polovišta potrebno je uzeti u šestar duljine dužine $\bar{A B} .$

Zabodemo vrh šestara u te zarežemo luk iznad i ispod dužine.
Kroz dobivene presjeke lukova povučemo .

null

null
Koji su od pravaca na slici simetrale dužine $\bar{A B} ?$

null
Pokušajte što točnije postaviti točku $P$ koja raspolavlja dužinu $\bar{A B} .$

$P$

Pomoć:

Dovucite točku $P$ na odgovarajuće mjesto.

null
Dužina $\bar{A B}$ podijeljena je na
Napišite broj jednakih dijelova dužine brojkom.
jednakih dijelova.

null

U zadnjem je zadatku dužina podijeljena na šest sukladnih dijelova. Kako to konstruirati šestarom i ravnalom bez mjerenja?

Dijeljenje dužine u zadanom omjeru

Primjer 2.

U kojem omjeru točka $P$ dijeli dužinu $\bar{M N} ?$

Rješenje ćete dobiti tako da odgovorite na sljedeća pitanja.

Dužina $\bar{M N}$ podijeljena je na
Napišite odgovor brojkom.
jednakih dijelova. Od toga dužini $\bar{M P}$ pripadaju dijela, a dužini $\bar{P N}$ dijelova.

null

null
U kojem omjeru točka $P$ dijeli dužinu $\bar{M N},$ počevši od točke $M ?$

$4 : 11$

$7 : 4$

$4 : 7$

$11 : 7$

null

null

Zadatak 8.

U kojem omjeru točka $R$ dijeli dužinu $\bar{P Q} ?$ Na koliko je jednakih dijelova podijeljena dužina $\bar{P Q} ?$

Na slici je dužina PQ podijeljena točkom R

$|P R| : |R Q| = 7 : 2$

$|P Q| = 7 + 2 = 9$ jednakih dijelova.

Primjer 3.

Podijelimo dužinu $\bar{A B}$ proizvoljne duljine točkom $T$ u omjeru $2 : 3 .$

Postupak konstrukcije pogledajte u animaciji u nastavku.

Koracima konstrukcije možete upravljati s pomoću klizača ili pokrenite konstrukciju.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Podijelite proizvoljnu dužinu $\bar{M N}$ točkom $A$ u omjeru $1 : 5 .$ Na koliko je jednakih dijelova podijeljena dužina $\bar{M N} ?$

Na slici je dužina MN podijeljena točkom A u omjeru 1:5.

Dužina $\bar{M N}$ podijeljena je na $1 + 5 = 6$ jednakih dijelova.

Zadatak 10.

Podijelite proizvoljnu dužinu $\bar{E F}$ točkom $G$ u omjeru $5 : 3 .$ Na koliko je jednakih dijelova podijeljena dužina $\bar{E F} ?$

Na slici dužina EF podijeljena točkom G u omjeru 5:3.

Dužina $\bar{E F}$ podijeljena je na $5 + 3 = 8$ jednakih dijelova.

Zadatak 11.

Dužina $\bar{A B}$ podijeljena je na $10$ jednakih dijelova točkom $M .$ Ako je $|A M| = 4$ jednaka dijela, u kojem omjeru točka $M$ dijeli dužinu $\bar{A B} ?$

Zadatak se lako riješi konstrukcijom (kao na slici), ali ga možemo riješiti i računski.

$|A M| = 4, |A B| = 10$ jednakih dijelova. Budući da zbroj jednakih djelova do točke $M$ i nakon točke $M$ mora biti $10,$ odmah se vidi da je $|M B| = 10 - 4 = 6$ jednakih dijelova.

Sada nam još preostaje da napišemo omjer: $\frac{|A M|}{|M B|} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} .$

Naučili smo geometrijski konstruirati djelišnu točku zadane dužine u danom omjeru. Možemo li to napraviti s pomoću programa dinamične geometrije?

Poigrajte se sa sljedećom interakcijom te prethodne zadatke pokušajte riješiti podešavanjem omjera $a : b$ mijenjajući na klizačima prvi $(a)$ i drugi $(b)$ član omjera. (Dobro će doći i za provjeru domaće zadaće.)

Zadatak 12.

Podijelite dužinu duljine $15 cm$ dvjema točkama u omjeru $3 : 5 : 2 .$

Na slici je dužina podijeljena s divje točke u omjeru 3:5:2

Zatvori

Kako iskoristiti Talesov poučak za konstrukciju geometrijskih likova

Praktična vježba

Slika kružnice, kvadrata, jednakostraničnog trokuta od savijene žice

Pokušajte saviti komad žice ili užeta u krug, kvadrat i jednakostranični trokut.

Za krug spojimo dva kraja žice i oblikujemo ga rukom.

Ali kako saviti u kvadrat da budu sve strane jednake ili u jednakostranični trokut?

Za kvadrat žicu treba podijeliti na četiri jednaka dijela. Nacrtajmo u bilježnicu dužinu duljine naše žice (ako je prevelika, napravimo to u umanjenom omjeru kao što smo učinili u uvodu s bakinim vrtom). Dalje je jasno. S pomoću Talesova poučka podijelimo dužinu na četiri jednaka dijela.

Na koliko jednakih dijelova moramo podijeliti žicu da bismo ju savili u jednakostranični trokut?
Napišite odgovor brojkom.
dijela.

null

null
Kako nazivamo duljinu (zbroj) svih stranica trokuta ili četverokuta?

sve stranice

površina

opseg

duljina stranice

null

null

Kojem geometrijskom liku pripada formula za opseg?

$o = 3 a$
$o = a + 2 b$
$o = a + b + c$
$o = 4 a$
$o = 2 a + 2 b$

null

Primjer 4.

Konstruirajmo jednakostranični trokut čiji opseg iznosi $12.5 cm .$

Slijedite korake:

nacrtamo dužinu duljine $12.5 cm$

podijelimo je na tri sukladne dužine

uzmemo u šestar jednu od triju dobivenih dužina i konstruiramo trokut.

U sljedećem dinamičnom uratku sami pomičite korake te prateći upute riješite zadatak u bilježnicu.

Ovu vježbu možete upotrijebiti za konstrukciju proizvoljnoga jednakostraničnog trokuta zadanog opsega.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Da bismo savili žicu duljine $5$ metara u jednakostranični trokut, koliki dio žice ide na svaku stranicu? Konstruirajte trokut danog opsega u omjeru $1 : 100 .$

Na slici je konstrukcija trokuta s pomoću zadanog opsega

Svaka je stranica dugačka $1.67 m = 167 cm .$

Zadatak 14.

Konstruirajte kvadrat opsega $16.8 cm .$

Na slici je konstrukcija kvadrata s pomoću zadanog opsega

Iz formule za opseg $o = 4 a$ vidimo da dužinu duljine $16.8 cm$ treba podijeliti na četiri sukladne dužine da bismo dobili stranicu kvadrata.

Zadatak 15.

Konstruirajte pravokutnik opsega $220 mm$ kojemu se duljine stranica odnose kao $3 : 4 .$

Na slici je konstrukcija pravokutnika iz uvjeta zadatka

Iz formule za opseg pravokutnika imamo $2 a + 2 b = 220 / : 2 \Rightarrow a + b = 110$ i $a : b = 3 : 4 .$ Nacrtamo dužinu duljine $110 mm = 11 cm$ i podijelimo je u omjeru $3 : 4 .$ Time smo dobili stranice pravokutnika s pomoću kojih konstruiramo traženi pravokutnik.

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Konstruirajmo jednakokračni trokut kojemu su duljina osnovice i kraka u omjeru $3 : 5 .$

Na slici je konstrukcija jednakokračnog trokuta iz uvjeta zadatka

Nacrtajmo dužinu. Podijelimo je na $3 + 5 = 8$ jednakih dijelova. Podijelimo dužinu u zadanom omjeru. Time je dužina podijeljena na $2$ dijela ‒ osnovicu $a$ i krak $b .$ S pomoću tih dviju dužina konstruiramo jednakokračni trokut.

Zadatak 17.

Konstruirajte jednakokračni trokut kojemu je krak dvostruko veći od osnovice.

Na slici je konstrukcija jednakokračnog trokuta iz zadatka

$a : b = 1 : 2$

Zatvori

...i na kraju

Jeste li baki podijelili vrt? Možda da to ipak ostavimo geometrima i sličnim stručnjacima, a mi pokušajmo konstruirati umanjenu varijantu vrta sada kada znamo kako to učiniti.

Vrt nam je dugačak $5.3 m .$ Zbog omjera $1 : 100$ umanjen $100$ puta iznosi $5.3 cm .$ Tu duljinu podijelite na tri jednaka dijela te nacrtajte vrt u obliku pravokutnika podijeljen ogradom na tri jednaka dijela. Znamo da je druga stranica pravokutnika $1.5 cm .$

Na slici je bakin vrt podijeljen na tri jednaka dijela po dužinama

Dobili ste vrt sličan bakinu vrtu. Sličnost podrazumijeva da su likovi jednakog oblika, ali proporcionalnih veličina. Više o sličnosti geometrijskih likova učit ćete u sljedećim jedinicama.

Idemo na sljedeću jedinicu

$\|A Z\| : \|A C\|$	$\|A D\| : \|A B\|$
$\|A D\| : \|D B\|$	$\|A D\| : \|D B\|$
$\|A Z\| : \|Z C\|$	$1 : 4$
$\|A D\| : \|A B\|$	$1 : 5$

$\|A B_{1}\| : \|A B\| =$
$\|A B_{3}\| : \|A B_{1}\| =$
$\|A B_{4}\| : \|B_{4} B\| =$
$\|A B\| : \|B_{3} B_{4}\| =$
$\|A B_{3}\| : \|A B_{4}\| =$
$\|A B_{1}\| : \|B_{4} B\| =$

6.2 Dijeljenje dužine u zadanom omjeru

Na početku...

Ponovimo

Povezani sadržaji

Zadatak 1.

Dijeljenje dužine na jednake dijelove

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Dijeljenje dužine u zadanom omjeru

Zadatak 8.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kako iskoristiti Talesov poučak za konstrukciju geometrijskih likova

Praktična vježba

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Zadatak 17.

...i na kraju

6.3 Sličnost trokuta