Matematika 7 - 6.5 Primjena sličnosti trokuta

Sličnost u arhitekturi

Zadatak 1.

Na slici su slični trokuti na krovu kuće

Trokuti sa slike su slični.

Pažljivo pogledajte sliku.

Pomoć:

Uočite paralelne dužine.

null

Zadatak 2.

Na slici su slični trokuti na prozoru starinske kuće

Na slici je

Pažljivo pogledajte sliku.

sličnih trokuta. Trokuti su slični po

Napišite skraćeno ime poučka velikim tiskanim slovima.

poučku.

Pomoć:

Uočite sukladne kutove na slici i različite stranice trokuta. Uočite da na donjem prozoru ima više trokuta jedan unutar drugoga.

Postupak:

Zadatak 3.

Na slici je trokutasti prozor s drvenom mrežom okvira u kojoj se mogu uočiti slični trokuti

Koliko sličnih trokuta vidite na slici?

Manje od

10 .

Pažljivo pogledajte sliku.

Više od

10 .

Nijedan.

Pažljivo pogledajte sliku.

null

Zatvori

U zraku

Zadatak 4.

Sunčeva svjetlost obasjava dvorac. Sjena jedne kule završava u točki gdje završava sjena zidića koji je u blizini. Visina zidića je $1.5 m,$ a on čini sjenu duljine $2.7 m .$ Kula istodobno čini sjenu duljine $18 m .$ Kolika je visina kule?

Na slici se vidi da sjena jedne kule završava u točki gdje završava sjena zidića koji je u blizini

Trokuti koje vidimo na slici su slični.

Veći trokut: $18 m,$ $x = ?$

Manji trokut: $2.7 m,$ $1.5 m .$

U razmjer uvrstimo poznate podatke

$\frac{x}{1.5} = \frac{18}{2.7}$ i izračunamo

$x = 10 m .$

Visina kule iznosi $10 m .$

Zadatak 5.

Koliko je visoka replika dinosaura pokraj koje stoji čovjek visine $180 cm ?$

Na slici je replika dinosaura i čovjeka u prirodnoj veličini koji stoji pored njega

Visina dinosaura iznosi

Pažljivo pročitajte zadatak.

m .

Pomoć:

Na slici pronađite dva slična trokuta. Odgovarajuće stranice stavite u razmjer, kao u prethodnom zadatku.

null

Zadatak 6.

Na slici je prikazano kako se može izračunati visina čovjeka s pomoću sličnosti trokuta i visine svjetiljke

Koliko je visok čovjek koji stoji pokraj ulične svjetiljke visine $5$ metara?

Čovjek je visok

Pažljivo pogledajte sliku.

m .

Pomoć:

Uočite sukladne trokute na slici. Stavite odgovarajuće stranice u razmjer.

null

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Zadatak 7.

Ante želi izmjeriti visinu telefonskog odašiljača. Zna da to može učiniti s pomoću sjene, no nije bio sunčan dan i pokušao je to učiniti s pomoću zrcala. Zrake svjetlosti odbijaju se od zrcala pod istim kutom pod kojim i padaju na njega. Kada se udaljio od odašiljača

50 m,

položio je zrcalo na tlo. Nastavio se odmicati sve dok u zrcalu nije ugledao vrh tornja. Prema podatcima sa slike izračunajte visinu tornja, a rješenje zapišite u obliku prirodnog broja.

Na slici je pokazano kako možemo pomoću zrcala i sličnosti trokuta izmjeriti visinu nekog objekta, u ovom slučaju odašiljača

Visina odašiljača iznosi

Pažljivo pročitajte zadatak

m .

Pomoć:

Primijetite slične trokute na slici. Stavite odgovarajuće stranice u omjer, a potom iz razmjera izračunajte visinu.

null

Projekt

Organizirajte se u timove. U školskom dvorištu odaberite drvo ili stup kojemu ćete mjeriti visinu. Možete i u više timova mjeriti isti objekt pa poslije usporediti dobivene rezultate. Postavite zrcalo na tlo između odabranog objekta i jednog učenika. Učenik se polako pomiče unatrag i udaljava od zrcala sve dok u njemu ne ugleda vrh objekta. Tada stane i ostali učenici mjere udaljenost od zrcala do stabla, udaljenost od zrcala do učenika koji stoji te visinu tog učenika. Dobivene podatke stavite u razmjer i izračunajte visinu objekta.

Umjesto stupa ili stabla, možete mjeriti visinu jedni drugima i tako se uvjeriti u točnost postupka.

Na tlu

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Na slici je prikazano kako pomoću sličnosti trokuta izračunati širinu jezera ispred hotela

Odredite širinu jezera sa slike.

Širina jezera iznosi

Pažljivo pogledajte sliku.

m .

Pomoć:

Na slici uočite dva slična trokuta. Stavite odgovarajuće stranice u razmjer i izračunajte nepoznanicu.

Zadatak 9.

Na slici se vidi kako možemo pomoću sličnosti izmjeriti udaljenost otočića od obale

Koliko je otočić sa slike udaljen od obale? Rješenje zapišite u obliku prirodnog broja.

Otočić je od obale udaljen

Pažljivo pogledajte sliku.

m .

Pomoć:

Na slici uočite dva slična trokuta. Odgovarajuće stranice stavite u razmjer.

Postupak:

$41 : (10 + x) = 40 : x$

Zadatak 10.

Na slici se vidi kako pomoću sličnosti možemo izmjeriti širinu rijeke

Kolika je širina rijeke?

Širina rijeke je:

30 m

Pozorno pogledajte sliku.

60 m

70 m .

Pozorno pogledajte sliku.

Pomoć:

Uočite dva slična trokuta na slici. Odgovarajuće stranice stavite u omjer.

Postupak:

$10 : (15 + x) = 8 : x$

Zadatak 11.

Na slici se vidi kako pomoću sličnosti možemo odrediti na kojoj visini tenisač treba udariti lopticu ako stoji na servisnoj liniji i planira ju uputiti preko mreže na protivničku liniju

Na kojoj visini tenisač treba udariti lopticu ako stoji na servisnoj liniji i planira ju uputiti preko mreže na protivničku liniju, kao što je nacrtano na slici?

Pogledajmo dimenzije terena. Od mreže do servisne linije je $6.4$ metra. Isto tako i od mreže do protivničke servisne linije. Visina mreže iznosi $0.9 m .$

Uočimo dva slična pravokutna trokuta. Oni su slični prema KK poučku jer su im dva kuta jednaka (oba imaju pravi kut i jedan zajednički).

Veliki trokut: $a = 12.8 m,$ $b = ?$

Mali trokut: $a' = 6.4 m,$ $b' = 0.9 m .$

$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'},$ $\frac{12.8}{6.4} = \frac{b}{0.9},$ $b = 1.8 m .$

Tenisač lopticu treba udariti na visini od $1.8 m .$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Na slici je prikazano kako pomoću sličnosti trokuta možemo izračunati duljinu kraćeg dijela staze

Kolika je duljina kraćeg dijela staze kroz park?

Staza je duga

Pažljivo pogledajte sliku.

m .

Pomoć:

Zbrojite $24 m$ i $36 m,$ da dobijete duljinu donje stranice.

Na slici uočite dva slična trokuta. Stavite odgovarajuće stranice u razmjer.

Postupak:

$\frac{60}{48} = \frac{36}{x}$

Zadatak 13.

Koliko je duga kraća strana vatrogasnog puta?

Na slici je prikazano kako se pomoću sličnosti trokuta može izračunati kraća duljina staze vatrogasnog puta u školskom dvorištu

Vatrogasni put dug je

Pažljivo pročitajte zadatak.

m .

Pomoć:

$24.7 + 17.3 = 42$

Uočite slične trokute na slici. Duljina staze zapravo je stranica manjeg trokuta prislonjena uz stazu. Stavite odgovarajuće stranice velikog i odgovarajuće stranice malog trokuta u razmjer kako biste dobili rješenje.

Postupak:

$\frac{33.6}{x} = \frac{42}{25.2}$

Zadatak 14.

Pronađite visinu mačke, koja je slikana fotoaparatom prikazanim na slici.

Na slici je mačka slikana fotoaparatom i slični trokuti koji nastanu pri tome

Zamijetite na slici dva slična trokuta prema KK poučku (vertikalni pravci su usporedni, pa su šiljasti kutovi uz presječnicu jednakih veličina i imamo dva vršna kuta uz žarište koji su također jednakih veličina). Stavite u omjere odgovarajuće stranice, izjednačite ih i izračunajte visinu.

Visina mačke je $15 cm .$

Zatvori

Projekt

Istražite na koje se još načine koristi trokut pri fotografiranju. Isto tako možete provjeriti što su leće i zašto je slika mačke okrenuta na drugu stranu. U istraživanju vam može pomoći nastavnica iz Fizike. Više o tome učit ćete u osmom razredu.

Zanimljivost

Camera obscura ili mračna kutija prvi je oblik fotoaparata. U 11. stoljeću izumio ju je Ibn al Haytham. Camera obscura potpuno je mračna prostorija u koju kroz rupicu prolazi vanjsko svjetlo. Na suprotnom bijelom zidu projicira se slika vanjskog svijeta okrenuta naglavačke. Više o povijesti fotografije, ali i njezinim osnovama, možete pročitati ovdje.

Mali-veliki

Zadatak 15.

Na slici su mali i veliki kukac, prikaz primjene sličnosti u filmskoj industriji

Čudovište u filmu napravljeno je tako da je slika običnoga malog kukca povećana $200$ puta.

Ako znamo da je kukac visok $1.25 cm,$ koliko će biti visoko čudovište?

Na slici se vidi primjena sličnosti trokuta u filmskoj industiriji, ovdje za povećanje kukca u čudovište

Visina čudovišta iznosi

Pažljivo pročitajte zadatak.

cm .

Pomoć:

Pomnožite veličinu male bube s brojem koji označava koliko se puta buba treba povećati.

Postupak:

$1.25 \cdot 200$

Vidimo da smo kukca proporcionalno povećali $200$ puta. Dobili smo kukca potpuno istog oblika, ali uvećanog. Kažemo da su ta dva kukca slična. To povećanje od $200$ puta zapravo je koeficijent proporcionalnosti ili koeficijent sličnosti tih dvaju kukaca.

Koeficijent sličnosti je broj koji nam kaže koliko je puta neki lik manji ili veći od drugog lika.

Ako je koeficijent sličnosti novog lika prema početnom veći od $1,$ novi lik bit će veći od početnog lika.

Ako je koeficijent sličnosti novog lika prema početnom manji od $1,$ novi lik bit će manji od početnog lika.

Ako je koeficijent sličnosti novog lika prema početnom jednak $1,$ likovi su sukladni.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Slika mačke na papiru s kvadratićima koju treba proporcionalno umanjiti

Nacrtajte na papiru s kvadratićima sliku kao na predlošku. Zatim nacrtajte novu sliku na kojoj će biti sličan lik s koeficijentom sličnosti $\frac{1}{2} .$ Obratite pozornost na duljine i položaj stranica. Možete nacrtat i detalje kao što su oči, usta, brkovi. Obojite slike prema želji.

Na slici je proporcionalno umanjena slika mačke na papiru s kvadratićima

Svaku duljinu moramo smanjiti dva puta.

Zadatak 17.

U sljedećoj GeoGebrinoj interakciji poigrajte se sličicama, mijenjajte koeficijente i uočite kako se sličice povećavaju ili smanjuju, ovisno o tome jeste li stavili koeficijent manji ili veći od $1 .$

Zatvori

Projekt

Organizirajte se u timove. Nacrtajte neku jednostavnu i lijepu sliku na papiru s kvadratićima i izradite od nje plakat tako da ju uvećate $10$ puta. Podijelite ju na dijelove i svatko neka poveća svoj dio. Na kraju spojite dijelove u cjelinu. Jeste li dobili sličnu sliku?

Zatim prvu sliku povećajte strojno $20$ ili više puta, možete se koristiti fotokopirnim strojem ili možete sliku odnijeti u neki studio koji izrađuje plakate.

Stavite na pano oba plakata jedan pokraj drugog.

Crtamo slične trokute

Zanimljivost

Na slici su slične kuće nacrtane u određenom omjeru

Postupak povećanja ili smanjenja nekog lika u određenom omjeru u matematici nazivamo homotetija.

Više o tome učit ćete u srednjoj školi.

Nekad su se umanjene ili uvećane slike crtale ručno ili s pomoću mehaničkih pomagala, primjerice pantografa.

Pantograf se i danas koristi u graviranju na metal, kamen ili drvo.

Danas postoje i grafički računalni programi koji crtaju takve slike. Primjer je takvog programa GeoGebra. Istražite i Tinkercad, program koji radi 3D-modele prema zadanim dimenzijama.

Primjer 1.

Nacrtajte trokut $A B C$ s duljinama stranica $a = 2 cm,$ $b = 3 cm$ i $c = 4 cm .$ Zatim nacrtajte njemu sličan trokut s koeficijentom $2 .$ Zadatak riješite tako da prvo izračunate duljine odgovarajućih stranica i nacrtate oba trokuta u bilježnicu. Zatim sve provjerite u GeoGebrinu interaktivnom predlošku.

Ako je koeficijent $2,$ znači da će stranice novog trokuta biti dvaput dulje od duljina stranica početnog trokuta.

Duljine stranica novog trokuta iznose $4 cm,$ $6 cm$ i $8 cm .$

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 18.

Nacrtajte trokut $A B C$ s duljinama stranica $a = 4 cm,$ $b = 5 cm$ i $c = 6 cm .$ Zatim nacrtajte njemu sličan trokut s koeficijentom $\frac{1}{2} .$ Zadatak riješite tako da prvo izračunate duljine odgovarajućih stranica i nacrtate oba trokuta u bilježnicu. Zatim sve provjerite u GeoGebrinu interaktivnom predlošku.

Ako je koeficijent $\frac{1}{2}$ , znači da će stranice novog trokuta biti dvaput kraće od duljina stranica početnog trokuta.

Duljine stranica novog trokuta iznose $2 cm,$ $2.5 cm$ i $3 cm .$

Zadatak 19.

Nacrtajte trokut $A B C$ s duljinama stranica $a = 4 cm,$ $b = 4.8 cm$ i $c = 6 cm .$ Zatim nacrtajte njemu sličan trokut tako da novi trokut i početni trokut budu u omjeru $3 : 4 .$ Zadatak riješite tako da prvo izračunate duljine odgovarajućih stranica i nacrtate oba trokuta u bilježnicu. Zatim sve provjerite u GeoGebrinu interaktivnom predlošku.

Ako je omjer $3 : 4,$ znači da je novi trokut sličan početnom s koeficijentom $\frac{3}{4}$ ili $0.75 .$

Novi je trokut manji od početnog $0.75$ puta.

$\frac{a'}{4} = \frac{3}{4},$ $a' = 3 cm .$

$\frac{b'}{4.8} = \frac{3}{4},$ $b' = 3.6 cm .$

$\frac{c'}{6} = \frac{3}{4},$ $c' = 4.5 cm .$

Duljine stranica novog trokuta iznose $3 cm,$ $3.6 cm$ i $4.5 cm .$

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Slični trokuti mogu se konstruirati i bez računanja. Tada stranice dijelimo u zadanom omjeru i crtamo novi trokut. Dovoljno je samo jednu stranicu podijeliti u zadanom omjeru ‒ ostale stranice nacrtamo paralelno s odgovarajućim stranicama i tako dobijemo sukladne kutove u oba trokuta.

Na slici su koraci crtanja manjeg sličnog trokuta s koeficijentom sličnosti manjim od 1

Na slici su koraci crtanja većeg sličnog trokuta s koeficijentom sličnosti većim od 1

Projekt

Nacrtajte na papiru trokut i pokušajte ga uvećati ili umanjiti na gore prikazan način.

I još malo matematike

Primjer 2.

Izračunajte nepoznate duljine stranica i veličine kutova trokuta sa slike.

Trokuti na slici imaju dva unutarnja kuta jednakih veličina pa su prema poučku KK oni slični trokuti.

Izračunamo treći kut u velikom trokutu, $α = 180 ° - (35 ° + 70 °) = 75 ° .$ Trokuti su slični pa je i $α' = 75 ° .$

Sličnim su trokutima omjeri odgovarajućih stranica proporcionalni s koeficijentom $k .$

Odgovarajuće duljine stranica su $a$ i $a'$ , $b$ i $b'$ te $c$ i $c' .$

Zapišimo podatke preglednije:

$△ A B C :$ $a = 6 cm,$ $b = ?,$ $c = 3 cm$

$△ A' B' C' :$ $a' = 8 cm,$ $b' = 6.8 cm,$ $c' = ?$

Iz podataka se vidi da imamo dvije poznate odgovarajuće stranice, to su $a$ i $a' .$ Izračunat ćemo njihov omjer i dobiti koeficijent sličnosti trokuta.

$k = \frac{a}{a'} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Isti omjer vrijedi i za ostale stranice trokuta.

$\frac{b}{b'} = \frac{3}{4}$ uvrstimo i dobijemo jednadžbu $\frac{b}{6.8} = \frac{3}{4}$ iz koje slijedi $b = 5.1 cm .$

Za preostale stranice vrijedi $\frac{c}{c'} = \frac{3}{4},$ uvrstimo i dobijemo jednadžbu

$\frac{3}{c'} = \frac{3}{4}$ iz koje slijedi $c' = 4 cm .$

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 20.

Trokut $A B C$ sličan je manjem trokutu $A' B' C'$ s koeficijentom $k = \frac{3}{4} .$ Izračunajte nepoznate duljine stranica tih trokuta ako je zadano $a = 12 cm,$ $c = 20 cm$ i $b' = 12 cm .$

Dovucite stranice trokuta na njihove odgovarajuće vrijednosti.

$c'$	$16 cm$
$b$	$9 cm$
$a'$	$15 cm$

Pomoć:

$k = \frac{3}{4},$ u brojnik idu duljine stranica manjeg trokuta.

Postupak:

$\frac{a'}{12} = \frac{3}{4},$ $\frac{12}{b} = \frac{3}{4},$ $\frac{c'}{20} = \frac{3}{4}$

Zadatak 21.

Trokuti se podudaraju u jednom kutu i omjeri duljina dviju odgovarajućih stranica uz taj kut su im jednaki pa su trokuti slični prema poučku SKS.

Jesu li trokuti sa slike slični? Objasnite odgovor i izračunajte nepoznatu duljinu stranice trokuta $A' B' C' .$

Ispišimo podatke.

$△ A B C :$ $a = 3 cm,$ $b = 7 cm,$ $c = 6 cm$

$△ A' B' C' :$ $a' = 3.6 cm,$ $c' = 7.2 cm,$ $b' = ?$

$\frac{a'}{a} = \frac{3.6}{3} = \frac{6}{5}$

$\frac{c'}{c} = \frac{7.2}{6} = \frac{6}{5}$

Trokuti se podudaraju u jednom kutu i omjeri duljina dviju odgovarajućih stranica uz taj kut su im jednaki pa su trokuti slični prema poučku SKS.

$\frac{b'}{b} = \frac{6}{5},$ $\frac{b'}{7} = \frac{6}{5},$ $b' = 8.4 cm .$

Duljina nepoznate stranice je $b' = 8.4 cm .$

Zatvori

Primjer 3.

Duljine stranica trokuta $A B C$ iznose $3.6 cm,$ $4.8 cm$ i $7.2 cm .$ Duljina najdulje stranice njemu sličnog trokuta $A' B' C'$ iznosi $10.8 cm .$ Odredimo duljine preostalih stranica trokuta $A' B' C'$ .

Odgovarajuće duljine stranica sličnih trokuta su najdulja stranica u prvom trokutu i najdulja stranica u drugom trokutu. Iz toga dobijemo koeficijent sličnosti.

$k = \frac{10.8}{7.2} = \frac{3}{2}$

Dalje rješavamo zadatak uobičajeno. Označimo preostale odgovarajuće stranice s $a,$ $b,$ $a'$ i $b' .$

$\frac{a'}{3.6} = \frac{3}{2},$ $a' = 5.4 cm .$

$\frac{b'}{4.8} = \frac{3}{2},$ $b' = 7.2 cm .$

Preostale duljine stranica trokuta $A' B' C'$ iznose $5.4 cm$ i $7.2 cm .$

Zadatak 22.

Trokuti $A B C$ i $A' B' C'$ su slični. Duljina najkraće stranice trokuta $A B C$ iznosi $1.6 cm .$ Duljine stranica trokuta $A' B' C'$ iznose $2.8 cm,$ $5.6 cm$ i $7 cm .$ Izračunajte duljine preostalih stranica trokuta $A B C .$

3.2 cm

3 cm

Pogledajte uputu.

2.4 cm

Pogledajte uputu.

4 cm

Pomoć:

$k = \frac{2.8}{1.6}$

Postupak:

$\frac{5.6}{a} = \frac{7}{4}$ , $\frac{7}{b} = \frac{7}{4}$

...i na kraju

Za kraj riješite nekoliko zadataka za samovrednovanje. Najprije ih samostalno riješite, a zatim provjerite svoja rješenja. Ako neki zadatak ne znate riješiti, pitajte prijatelje ili pomozite nekom tko nije siguran u svoje znanje.

Na stolić oblika jednakostraničnog trokuta u dnevnom boravku duljine stranice $45 cm$ , majka želi staviti podmetač istog oblika, ali tako da omjer duljine stranice podmetača prema stranici stolića bude u omjeru $4 : 5$ . Stranica podmetača bit će duljine
Pogledajte uputu.

$cm$ .

Pomoć:

$4 : 5 = x : 45$
Trokut sa stranicama duljina $6.3 cm,$ $10.4 cm$ i $9.1 cm$ sličan je trokutu sa stranicama duljina $7.7 cm,$ $4.4 cm$ i $8.8 cm .$

Da
Pogledajte uputu.

Ne

Pomoć:

Omjeri svih triju odgovarajućih duljina stranica moraju biti jednaki da bi trokuti bili slični.

Postupak:

$\frac{8.8}{10.4} = \frac{11}{13},$ $\frac{7.7}{9.1} = \frac{11}{13},$ $\frac{4.4}{6.3} = \frac{44}{63}$
Duljine stranica trokuta $A B C$ iznose $a = 4.5 cm,$ $b = 7.5 cm,$ a duljine njemu sličnog trokuta iznose $b' = 9 cm$ i $c' = 10.8 cm .$ Koliki je koeficijent sličnosti manjeg trokuta prema većem?

$\frac{3}{4}$
Pogledajte uputu.

$\frac{5}{6}$

$\frac{4}{5}$
Pogledajte uputu.

$\frac{2}{3}$
Pogledajte uputu.

Pomoć:

U omjer stavite duljine odgovarajućih stranica, manju prema većoj.

Postupak:

$\frac{b}{b'} = \frac{7.5}{9}$

Na početku...

Sličnost u arhitekturi

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

U zraku

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 7.

Projekt

Na tlu

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Kutak za znatiželjne

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Projekt

Zanimljivost

Mali-veliki

Zadatak 15.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Projekt

Crtamo slične trokute

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Kutak za znatiželjne

Projekt

I još malo matematike

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 20.

Zadatak 21.

Zadatak 22.

...i na kraju

6.6 Opseg i površina sličnih trokuta