Matematika 7 - 6.6 Opseg i površina sličnih trokuta

Na početku...

Na slici su tri jastuka od kojih su dva slična u matematičkom smislu

Jesu li ta tri jastuka slična u matematičkom smislu?

Koja dva jesu, a koji nije?

Ako na jastuke želimo našiti ukrasnu vrpcu, što moramo izračunati jastucima?

Ako znamo duljinu vrpce za veliki jastuk, bismo li mogli izračunati duljinu vrpce za njemu sličan manji jastuk?

Bismo li mogli izračunati duljinu vrpce jastuka koji mu nije sličan?

Dva su jastuka slična, jedan nije.
Jastuci u obliku kvadrata su slični. Jastuk u obliku pravokutnika nije sličan ostalim jastucima.
Za ukrasnu vrpcu moramo izračunati opseg jastuka.
Mogli bismo, ali morali bismo znati koeficijent sličnosti tih jastuka.
Ne možemo izračunati duljinu vrpce jastuka koji mu nije sličan jer nemamo nikakvu poveznicu između njih.

Prisjetimo se da je opseg nekog lika zbroj duljina svih stranica tog lika.

Opseg sličnih trokuta

Dva su trokuta slična ako su im odgovarajući kutovi jednakih veličina i duljine odgovarajućih stranica proporcionalne.

Koeficijent sličnosti omjer je duljina odgovarajućih stranica sličnih trokuta $k = \frac{a'}{a} .$

Duljine stranica sličnog trokuta dobijemo tako da pomnožimo duljine stranica trokuta s koeficijentom sličnosti, $a' = k \cdot a .$

Zadatak 1.

Na slici su slični trokuti po SSS poučku

Zadani su trokuti $A B C$ i $A' B' C'$ kao na slici.

Jesu li trokuti sa slike slični?
Ako jesu, odredite koeficijent sličnosti tih dvaju trokuta.
Izračunajte opseg $o$ trokuta $A B C$ i opseg $o'$ trokuta $A' B' C' .$
Izračunajte omjer $o' : o .$

Da bismo provjerili sličnost, stavljamo odgovarajuće duljine stranica u omjer.

$\frac{a'}{a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{b'}{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$\frac{c'}{c} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Omjeri su jednaki pa su trokuti slični prema SSS poučku.
Koeficijent sličnosti trokuta je $k = \frac{1}{2} .$
Opseg trokuta $A B C,$ $o = a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9 cm .$

Opseg trokuta $A' B' C',$ $o' = a' + b' + c' = 4 + 6 + 8 = 18 cm .$
Omjer $o' : o = 9 : 18 = 1 : 2$ ili $\frac{o'}{o} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} .$

Što zamjećujete?

Omjer duljina odgovarajućih stranica iznosi $\frac{1}{2} .$

Omjer opsega tih dvaju trokuta također iznosi $\frac{1}{2} .$

Vrijedi li to i općenito za sve slične trokute?

Izračunajte opsege i provjerite omjere opsega sličnih trokuta s pomoću interaktivne simulacije.

U simulaciji uočite odgovarajuće kutove sličnih trokuta. Uočite omjere odgovarajućih stranica sličnih trokuta i usporedite s omjerom opsega sličnih trokuta.

Omjer opsega sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih trokuta.

Možemo zapisati i ovako: Ako za slične trokute $A B C$ i $A' B' C'$ vrijedi $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k,$ onda je i $\frac{o'}{o} = k .$

Primjer 1.

Trokut $A B C$ sličan je manjem trokutu $A' B' C'$ i omjer duljina njihovih odgovarajućih stranica iznosi $3 : 5 .$ Ako je opseg trokuta $A B C$ $30 cm,$ koliki je opseg trokuta $A' B' C' ?$

Omjer opsega sličnih trokuta jednak je omjeru duljina odgovarajućih stranica tih trokuta. Pritom treba paziti na to koji je trokut veći, a koji manji. Veći trokut ima dulji opseg, manji trokut ima manji opseg. Trokut $A' B' C'$ je manji, a trokut $A B C$ je veći pa pišemo

$o' : o = 3 : 5 .$ Uvrstimo podatke u taj razmjer i riješimo ga.

$o' : 30 = 3 : 5$

$5 o' = 90$

$o' = 18 cm .$

Opseg manjeg trokuta iznosi $18 cm .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Dva su trokuta slična s koeficijentom $\frac{2}{3} .$ Ako je opseg većeg trokuta $42 cm,$ koliki je opseg manjeg trokuta?

Omjer opsega sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih trokuta. Označimo opseg manjeg trokuta s $o .$

Tada iz izraza $\frac{o}{42} = \frac{2}{3}$ slijedi $o = 28 cm .$

Zadatak 3.

Duljine odgovarajućih stranica dvaju međusobno sličnih trokuta iznose $15 cm$ i $20 cm .$ Koliki je opseg većeg trokuta ako je opseg manjeg $42 cm ?$

Opseg većeg trokuta iznosi

Rješenje upišite u brojčanom obliku ili pogledajte uputu.

cm .

Pomoć:

$\frac{42}{o} = \frac{15}{20}$

null

Zatvori

Primjer 2.

Trokuti $A B C$ i $A' B' C'$ su slični. Duljine stranica trokuta $A B C$ su $a = 14 mm,$ $b = 28 mm,$ $c = 35 mm .$ Opseg njemu sličnog trokuta $A' B' C'$ je $11 cm .$ Izračunajmo duljine stranica trokuta $A' B' C' .$

Izračunajmo opseg trokuta $A B C .$

$o = 14 + 28 + 35 = 77 mm .$

Opseg njemu sličnog trokuta $A' B' C'$ iznosi $11 cm = 110 mm .$

Trokut $A' B' C'$ je trokut većeg opsega pa će i duljine odgovarajućih stranica biti veće.

$k = \frac{o'}{o}$

$k = \frac{110}{77} = \frac{10}{7}$

Iz $\frac{a'}{14} = \frac{10}{7}$ slijedi $a' = 20 mm = 2 cm .$

Iz $\frac{b'}{28} = \frac{10}{7}$ slijedi $b' = 40 mm = 4 cm$ .

Iz $\frac{c'}{35} = \frac{10}{7}$ slijedi $c' = 50 mm = 5 cm$ .

Prvo rješenje dobili smo u milimetrima jer su duljine trokuta $A B C$ koje smo uvrstili u jednadžbe bile u milimetrima. U ovom primjeru rješenja ljepše izgledaju u centimetrima pa ćemo tako i zapisati.

Duljine stranica trokuta $A' B' C'$ iznose $2 cm,$ $4 cm$ i $5 cm .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Trokut $A' B' C'$ sličan je manjem trokutu $A B C .$ Duljine stranica manjeg trokuta iznose $3 cm,$ $5 cm$ i $6 cm .$ Odredite duljine stranica većeg trokuta opsega $168 mm .$

Dovucite oznake na odgovarajuće duljine stranica.

$c'$	$7.2 cm$
$b'$	$6 cm$
$a'$	$3.6 cm$

Pomoć:

Izračunajte opseg manjeg trokuta.

Preračunajte opseg u $mm .$

Postavite pravilan omjer.

Postupak:

Opseg manjeg trokuta iznosi $14 cm = 140 mm .$

$\frac{o'}{o} = \frac{168}{140} = \frac{6}{5}$
$\frac{a'}{3} = \frac{6}{5}$

$\frac{b'}{5} = \frac{6}{5}$

$\frac{c'}{6} = \frac{6}{5}$

Zadatak 5.

Ako nekom trokutu povećamo duljine stranica $2$ puta, i njegov će se opseg povećati $2$ puta.

Da

Ne
Omjer opsega jednak je omjeru duljina odgovarajućih stranica trokuta.

Pomoć:

Koliko puta povećamo duljine stranica trokuta, toliko će se puta povećati i njegov opseg.
Ako nekom trokutu umanjimo duljine stranica $3$ puta, njegov će se opseg umanjiti $6$ puta.

Da
Omjer opsega jednak je omjeru duljina odgovarajućih stranica trokuta.

Ne
Omjer opsega jednak je omjeru duljina odgovarajućih stranica trokuta.

Pomoć:

Koliko puta umanjimo duljine stranica trokuta, toliko će se puta umanjiti i njegov opseg.
Ako nekom trokutu povećamo duljine stranica $2.5$ puta, i njegov će se opseg umanjiti $2.5$ puta.

Da
Omjer opsega jednak je omjeru duljina odgovarajućih stranica trokuta.

Ne
Omjer opsega jednak je omjeru duljina odgovarajućih stranica trokuta.

Pomoć:

Koliko puta povećamo duljine stranica trokuta, toliko će se puta povećati i njegov opseg.

Zatvori

Uvježbajmo

Mjerne jedinice za opseg su $mm,$ $cm,$ $dm,$ $m ...$

Omjer opsega bilo kojih dvaju sličnih likova jednak je omjeru duljina odgovarajućih stranica tog lika.

Mjerne jedinice za površinu su ${mm}^{2},$ ${cm}^{2},$ ${dm}^{2},$ $m^{2} ...$

Omjer površina bilo kojeg lika jednak je kvadratu omjera duljina odgovarajućih stranica tog lika.

Zanimljivost

Na slici su prikazani mali i veliki akvarij oblika polukugle koji su slični

Obujam ili volumen je fizička veličina koja opisuje koliko tijelo zauzima prostora.

Mjerne jedinice za obujam su ${mm}^{3},$ ${cm}^{3},$ ${dm}^{3},$ $m^{3} ...$

Omjer obujama tijela istog oblika jednak je omjeru odgovarajućih duljina, visina ili širina tih tijela pomnoženih tri puta samih sa sobom.

Kolekcija zadataka 7

Zadatak 16.

Na slici je tlocrt stana u arhitektonskom uredu

U arhitektonskom studiju arhitektica je na papiru nacrtala tlocrt stana.

Mjerilo u kojem je nacrtan stan iznosi $1 : 50 .$

Duljina staklene stijenke u stanu iznosi $4 m$ . Duljina staklene stijenke na tlocrtu iznosi
Preračunajte $m$ u $cm$ ili pogledajte uputu.

$cm$ .

Pomoć:

$1 m = 100 cm$

Postupak:

$1 : 50 = x : 400$
Površina tlocrta iznosi $320 {cm}^{2}$ . Površina stana iznosi
Preračunajte ${cm}^{2}$ u $m^{2}$ ili pogledajte uputu.
$m^{2} .$

Pomoć:

$1 m^{2} = 10 000 {cm}^{2}$

Postupak:

$1 : 2 500 = 320 : p$

Zadatak 17.

Na slici je glazbeni instrument oblika trokuta koji se zove triangl

Triangl je metalna udaraljka u obliku jednakostraničnog trokuta.

Za veći triangl treba

1.2

puta više metalne šipke. Ako za veći treba

53.4 cm

metalne šipke, duljina stranice manjeg triangla iznosi

Decimalni dio broja odvojite decimalnim zarezom.

cm

. Rezultat zaokružite na dvije decimale.

Pomoć:

Triangl ima sve tri stranice jednake duljine.

Duljina šipke je opseg jednakostraničnog trokuta.

Postupak:

Duljina stranice većeg triangla = $53.4 : 3$

Koliko je puta opseg većeg trokuta dulji od manjeg toliko je puta i duljina odgovarajuće stranice većeg trokuta dulja od manje.

Zatvori

Kolekcija zadataka 8

Zadatak 18.

Na slici su jedra oblika sličnih trokuta

Jedra jedrilice su slični trokuti. Donja stranica većeg jedra duljine je $3 m,$ a omjer duljina donjih stranica iznosi $6 : 5 .$

Duljina donje stranice manjeg jedra iznosi $m$ .

Pomoć:

$6 : 5 = 3 : x$
Ako površina platna za veće jedro iznosi $16.5 m^{2}$ , površina platna manjeg jedra iznosi
Pogledajte uputu.
$m^{2}$ .

Pomoć:

Omjer duljina odgovarajućih stranica iznosi $6 : 5,$ omjer površina iznosi $36 : 25$

Postupak:

$36 : 25 = 16.5 : p$

Zadatak 19.

U tvornici igračaka izrađuju drvene pločice u obliku trokuta. Trenutačno izrađuju dvije veličine sličnih trokuta. Većem trokutu duljina osnovice iznosi $9 cm,$ a duljina visine na tu stranicu iznosi $6 cm .$ Omjer stranica tih trokuta iznosi $3 : 2 .$

Izračunajte površine tih trokuta.
Ako za obojiti $1 {cm}^{2}$ treba $10 mL$ boje, koliko boje treba za manju, a koliko za veću pločicu?

Površina većeg trokuta je $p = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27 {cm}^{2}$ $.$

Iz 9 : 4 = 27 : $p'$ slijedi $p' = 12 {cm}^{2}$ $.$

Površina većeg trokuta iznosi $27 {cm}^{2},$ a površina manjeg trokuta iznosi $12 {cm}^{2} .$
Za manju pločicu treba $120 mL$ boje, a za veću $270 mL$ boje.

Zadatak 20.

Dio parka zasađen travom ima oblik jednakostraničnog trokuta površine $90 m^{2} .$ U sredini je ružičnjak istog oblika, ali duljine njegovih stranica triput su kraće.

Izračunajte površinu ružičnjaka.
Koliko je ruža zasađeno ako je najbolje posaditi $3$ ruže na $1 m^{2} ?$

Ako je stranica sličnog trokuta $3$ puta kraća, onda je površina $9$ puta manja.

Površina ružičnjaka iznosi $10 m^{2} .$
Zasađeno je $30$ ruža.

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Primjer 5.

Površine sličnih trokuta iznose $16 {cm}^{2}$ i $25 {cm}^{2} .$ Ako je duljina stranice manjeg trokuta $2.8 cm,$ kolika je duljina njoj odgovarajuće stranice većeg trokuta?

Ako je omjer površina trokuta $16 : 25,$ tada je omjer duljina stranica $4 : 5$ jer je $4 \cdot 4 = 16$ i $5 \cdot 5 = 25 .$

Iz razmjera $4 : 5 = 2.8 : a$ dobijemo $a = 3.5 cm .$

Duljina odgovarajuće stranice većeg trokuta iznosi $3.5 cm .$

Kolekcija zadataka 9

Zadatak 21.

Površina jednog trokuta

36

je puta veća od površine njemu sličnog trokuta. Duljina stranice većeg trokuta iznosi

8.4 cm

. Duljina stranice manjeg trokuta iznosi

Rješenje zapišite u brojčanom obliku ili pogledajte uputu.

cm

Pomoć:

$6 \cdot 6 = 36$

Postupak:

$8.4 : 6$

Zadatak 22.

Površine sličnih trokuta iznose $84 {cm}^{2}$ i $189 {cm}^{2} .$ Duljine stranica manjeg trokuta iznose $13 cm,$ $14 cm$ i $15 cm .$ Izračunajte opseg većeg trokuta.

Omjer površina je $\frac{189}{84} = \frac{9}{4}$ $.$

Koeficijent sličnosti trokuta je $\frac{3}{2} .$

Opseg manjeg trokuta iznosi $42 cm .$

$\frac{3}{2} = \frac{o'}{42}$ slijedi $o' = 63 cm .$

Opseg manjeg trokuta iznosi $63 cm .$

Zatvori

Projekt

Pokušajte nacrtati tlocrt svoje sobe u omjeru $1 : 100 .$ Ucrtajte i stvari koje se nalaze u sobi, primjerice krevet, stol i ormar.

Izmjerite potrebne veličine i izračunajte koliko „kvadrata” ima vaša soba.

Izrazite postotkom koliki dio površine sobe zauzima stol, koliki dio krevet, a koliki dio ormar.

...i na kraju

Omjer opsega dvaju sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih dvaju trokuta.

Omjer površina dvaju sličnih trokuta jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti tih dvaju trokuta. To možemo povezati s mjernim jedinicama, i tako lakše upamtiti. Opseg mjeri duljinu pa je mjerna jedinica opsega ista kao i mjerna jedinica duljine stranice. Površina je mjerni broj jediničnih kvadratića kojima možemo popločiti neku plohu. Ploha ima duljinu i širinu pa je mjerna jedinica za površinu umnožak istovrsnih mjernih jedinica, odnosno kvadrat mjerne jedinice za duljinu.

Za kraj procijenite svoje znanje kratkom provjerom.

$1 {dm}^{2}$	$10 000 {cm}^{2}$
$1 m^{2}$	$100 {cm}^{2}$
$1 {cm}^{2}$	$100 {mm}^{2}$

Na početku...

Opseg sličnih trokuta

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Površina sličnih trokuta

Zadatak 6.

Projekt

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Projekt

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Uvježbajmo

Zanimljivost

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Zadatak 19.

Zadatak 20.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 21.

Zadatak 22.

Projekt

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: