Matematika 8 - 3.1 Pojam drugog korijena

Na početku...

Slika prikazuje rad slikara Mondriana. — Mondrian

Katarina je proučavala rad nizozemskog slikara Mondriana. Za sat matematike izradila je rad sličan Mondrianovu. U svaki je kvadrat upisala njegovu površinu. Odredite duljine stranica svakog kvadrata te na papiru nacrtajte tablicu i rješenja upišite u nju.

Slika prikazuje rad koji je izrađen nalik na rad Mondriana s upisanim površinama kvadrata. — Katarinina slika

POVRŠINA KVADRATA $(p = a^{2})$	DULJINA STRANICE KVADRATA $(a)$
$1$
$4$
$9$
$16$
$25$
$36$
$49$
$64$
$81$
$100$
$121$
$144$

Pri rješavanju zadatka možete se poslužiti sljedećom interakcijom. Pomicanjem točke ispod slova mijenja se duljina stranice $a$ prikazanog kvadrata i ispisuje odgovarajuća površina.

POVRŠINA KVADRATA $(p = a^{2})$	DULJINA STRANICE KVADRATA $(a)$
$1$	$1$
$4$	$2$
$9$	$3$
$16$	$4$
$25$	$5$
$36$	$6$
$49$	$7$
$64$	$8$
$81$	$9$
$100$	$10$
$121$	$11$
$144$	$12$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Promotrite prvi crveni kvadrat. Njegova površina iznosi $144 .$ Postoji li još koji broj, osim broja $12,$ koji pomnožen sa samim sobom daje $144 ?$ Ako postoji, može li taj broj biti jedno od rješenja? Objasnite.

Broj $- 12$ pomnožen sa samim sobom daje $144 .$ No broj $- 12$ ne može biti rješenje zadatka jer duljina stranice kvadrata ne može biti negativni broj.

Zadatak 2.

Pogledajte animaciju te odredite pravilo pridruživanja.

Robot za izlaznu vrijednost daje broj koji pomnožen sa samim sobom (kvadriran) daje vrijednost jednaku ulaznoj. Možemo reći da robot obavlja računsku radnju suprotnu kvadriranju. Ta se računska radnja naziva korjenovanje.

Zatvori

Drugi korijen

Izračunati (drugi) korijen nenegativnog racionalnog broja $a$ znači odrediti nenegativni racionalni broj $b$ ( $b \geq 0$ ) koji kvadriran daje zadani broj. Simbol je drugog korijena $\sqrt{} .$

Ako je $b^{2} = a,$ onda je $b = \sqrt{a} .$

Slika prikazuje podsjetnik. Kvadriranje i korjenovanje su suprotne računske operacije.

Drugi ili kvadratni korijen nenegativnoga racionalnog broja $a$ , $a \geq 0$ je nenegativan racionalan broj $b,$ ( $b \geq 0$ ) koji pomnožen samim sobom daje broj $a$ .

Zapisujemo $\sqrt{a} = b .$

$\sqrt{36}$ čitamo kao korijen od $36$ .

Uočimo. Budući da je $5^{2} = 25,$ tada je $\sqrt{25} = 5 .$

Na taj način je $\sqrt{9} = 3,$ $\sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7},$ $\sqrt{0.36} = 0.6,$ $- \sqrt{49} = - 7,$ $- \sqrt{1.21} = - 1.1$ itd.

Broj $b$ naziva se radikand ili potkorijenska veličina, a broj $a$ vrijednost drugog korijena.

Primjer 1.

Odredimo vrijednost drugog korijena brojeva.

$121$

$\frac{49}{81}$

$\frac{3}{75}$

$2 \frac{1}{4}$

$\sqrt{121} = 11$ jer je $11^{2} = 121$
$\sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{7}{9}$ jer je ${(\frac{7}{9})}^{2} = \frac{49}{81}$
$\sqrt{\frac{3}{75}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ jer je $\frac{3}{75} = \frac{1}{25},$ a ${(\frac{1}{5})}^{2} = \frac{1}{25}$
$\sqrt{2 \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ jer je $2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4},$ a ${(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

Primjer 2.

Odredimo vrijednost drugog korijena brojeva.

$0.04$

$0.36$

$0$

$- 16$

$\sqrt{0.04} = 0.2$ jer je ${0.2}^{2} = 0.04$
$\sqrt{0.36} = 0.6$ jer je ${0.6}^{2} = 0.36$
$\sqrt{0} = 0$ jer je $0^{2} = 0$
Nema rješenja jer ne postoji broj koji kvadriran daje negativni broj. (Pozitivni broj pomnožen pozitivnim brojem daje pozitivni broj, ali i negativni broj pomnožen negativnim brojem daje pozitivni broj.)

Drugi je korijen pozitivnoga racionalnog broja pozitivni racionalni broj.

Drugi korijen broja $0$ je $0 .$

Drugi korijen negativnoga racionalnog broja ne postoji jer ne postoji broj koji nakon množenja sa samim sobom ima negativni predznak.

Zadatak 3.

Izračunajte.

$\sqrt{1}$
$- \sqrt{361}$
$\sqrt{\frac{121}{169}}$
$- \sqrt{\frac{5}{45}}$

$\sqrt{1}$
$- \sqrt{361} = - 19$
$\sqrt{\frac{121}{169}} = \frac{11}{13}$
$- \sqrt{\frac{5}{45}} = - \sqrt{\frac{1}{9}} = - \frac{1}{3}$

Uočite da vrijedi $- \sqrt{361} = - 1 \cdot \sqrt{361} = - 1 \cdot 19 = - 19$ te $- \sqrt{\frac{5}{45}} = - \sqrt{\frac{1}{9}} = - 1 \cdot \sqrt{\frac{1}{9}} = - 1 \cdot \frac{1}{3} = - \frac{1}{3} .$

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Dane brojeve postavite na odgovarajuće mjesto na satu.

Zadatak 5.

Provjerite svoju vještinu određivanja drugog korijena kvadrata brojeva do $20$ napamet.

Zatvori

Primjer 3.

Odredite vrijednost drugog korijena sljedećih brojeva.

$19 600$

$6 250 000$

$9 000 000$

$\sqrt{19 600} = 140$
$\sqrt{6 250 000} = 2 500$
$\sqrt{9 000 000} = 3 000$

Zadatak 6.

Zadatke iz prethodnog primjera rješavali smo tako da smo određivali broj koji pomnožen sa samim sobom daje zadani broj. Uočavate li pravilnost u broju nula promatranih brojeva i izračunanih korijena tih brojeva?

Broj nula zadanog kvadrata dvostruko je veći od broja nula njegova korijena. Broj se nula korjenovanjem prepolovio.

Primjer 4.

Odredimo vrijednost drugog korijena brojeva.

$0.09$

$0.0144$

$0.000324$

$1.44$

$\sqrt{0.09} = 0.3$
$\sqrt{0.0144} = 0.12$
$\sqrt{0.000324} = 0.018$
$\sqrt{1.44} = 1.2$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatke iz prethodnog primjera rješavali smo tako da smo određivali broj koji pomnožen sa samim sobom daje zadani decimalni broj. Kakav je odnos broja decimala zadanog kvadrata i broja decimala njegova korijena?

Broj decimala zadanog kvadrata dvostruko je veći od broja decimala njegova korijena. Broj decimala prepolovio se korjenovanjem.

Zadatak 8.

Dovucite korjen na odgovarajuće mjesto tako da odgovara njegovom rješenju.

$\sqrt{0.0036}$	$50$
$\sqrt{400}$	$1.3$
$\sqrt{2 500}$	$1.8$
$\sqrt{3.24}$	$20$
$\sqrt{1.69}$	$0.06$

null

Zatvori

Primjer 5.

Odredite vrijednosti drugog korijena.

$\sqrt{10^{8}}$

$\sqrt{64 x^{2}}$

$\sqrt{0.01 a^{2}}$

$\sqrt{{(10^{4})}^{2}} = 10^{4}$
$\sqrt{64 x^{2}} = 8 x$
$\sqrt{0.01 a^{2}} = 0.1 a$

Primjer 6.

Površina neke livade u obliku kvadrata iznosi $243.36 m^{2} .$ Kolika je duljina stranice te livade?

Kako bismo riješili zadatak, moramo odrediti korijen broja $243.36 .$ Kvadrat broja $15$ iznosi $225,$ a kvadrat broja $16$ iznosi $256 .$ Iz toga možemo zaključiti da je korijen broja $243.36$ veći od $15,$ ali manji od $16 .$ Uzmimo neki broj između $15$ i $16,$ npr. broj $15.5 .$ Kvadrat broja $15.5$ iznosi $240.25$ zato je korijen broja $243.36$ nešto veći od $15.5 .$ Probajmo s $15.6 .$ Kvadrat broja $15.6$ iznosi $243.36 .$ Dakle, duljina stranice te livade iznosi $15.6$ metara.

Određivanje drugog korijena broja s pomoću džepnog računala

Primjer 7.

Površina neke parcele zemlje u obliku kvadrata iznosi $150 m^{2} .$ Kolika je duljina stranice te parcele zemlje?

Kvadrat broja $12$ iznosi $144,$ a kvadrat broja $13$ iznosi $169 .$ Iz toga možemo zaključiti da će korijen broja $150$ biti između tih dvaju prirodnih brojeva.

S obzirom na to da je broj $150$ bliži broju $144$ nego broju $169,$ probajmo s npr. $12.3 .$ Kvadrat broja $12.3$ iznosi $151.29$ što znači da moramo smanjiti našu procjenu.

Ovog puta možemo probati kvadrirati broj $12.2 .$ Kvadrat broja $12.2$ iznosi $148.84 .$ Dakle, korijen broja $150$ veći je od $12.2,$ a manji od $12.3 .$

Mogli bismo nastaviti našu metodu pokušaja i pogrešaka, no ubrzo bismo shvatili da ne možemo pronaći broj koji kvadriran daje $150 .$

U ovom slučaju odredit ćemo približno rješenje, a zbog jednostavnosti i bolje učinkovitosti upotrijebit ćemo džepno računalo.

$\sqrt{150} \approx 12.2474471.. . \approx 12.2 m$
Duljina stranice te parcele zemlje iznosi približno $12.2$ metara.

Slika prikazuje znanstveno džepno računalo.

Na džepnim računalima se drugi korijen unosi s pomoću tipke $\sqrt{} .$

Slika prikazuje postupak dobivanja sekundarnih naredbi na džepnom računalu. (2nd drugi korijen ili shift drugi korijen)

Ako se znak drugog korijena ne nalazi na tipki, obično se nalazi iznad nje. U tom je slučaju potrebno aktivirati jednu od kombinacija:

$2 n d$ ili $s h i f t$ $\sqrt{} .$

Zadatak 9.

S pomoću džepnog računala odredite približnu vrijednost.

$\sqrt{2}$
$\sqrt{3.4}$

Rezultat zaokružite na dvije decimale.

$1.414213562.. . \approx 1.41$
$1.843908891.. . \approx 1.84$

Fotografija prikazuje glinenu pločicu iz Babilona.

Već su stari Babilonci poznavali drugi korijen, što se može vidjeti na primjeru glinene pločice na kojoj je vidljiv približni račun $\sqrt{2} .$

Babilonci su računali u šezdesetinskom sustavu te su za vrijednost broja $\sqrt{2}$ dobili

$1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60 \cdot 60} + \frac{10}{60 \cdot 60 \cdot 60} = 1 + \frac{2}{5} + \frac{51}{3 600} + \frac{10}{21 600} \approx 1.4142129.. .$

Stari Indijci su za riječ kvadratni korijen upotrebljavali riječ mula, što znači korijen stabla, osnova, strana. Arapi su tu indijsku riječ preveli u džizr, što znači korijen stabla, a europski srednjovjekovni matematičari taj su arapski naziv preveli na latinski radix, što znači korijen.

Iz povijesnih razloga broj pod korijenom nazivamo radikand, a korjenovanje radiciranje.

Poseban znak za drugi korijen upotrebljavao se već u starom Egiptu. Oznaka za kvadratni korijen koja se danas rabi vjerojatno je nastala iz zapisa slova r (radix), koju je uveo Christoff Rudolff (1499. ‒ 1545.).

Povežimo naučeno

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Koju znamenku treba upisati umjesto kvadrata, a koju umjesto trokuta kako bi vrijedila jednakost?

$\sqrt{14 □} = △ 2$
$\sqrt{7 + △ □} = 5$

$\sqrt{144} = 12$

Umjesto kvadrata potrebno je upisati znamenku $4 .$
$\sqrt{7 + 18} = 5$

Umjesto trokuta potrebno je upisati znamenku $1,$ a umjesto kvadrata znamenku $8 .$

Zadatak 11.

Koju znamenku treba upisati umjesto kvadrata, a koju umjesto trokuta kako bi vrijedila jednakost?

$\sqrt{36 □} = 1 △$
$\sqrt{14 □ + 5^{2}} = 1 △$

$\sqrt{361} = 19$

Umjesto kvadrata potrebno je upisati znamenku $1 .$
$\sqrt{144 + 25} = 13$

Umjesto kvadrata potrebno je upisati znamenku $4,$ a umjesto trokuta znamenku $3 .$

Zadatak 12.

Procijenite između kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalazi:

$\sqrt{170}$
$- \sqrt{52} .$

Broj $170$ nalazi se između kvadrata broja $13$ i kvadrata broja $14$ jer je $169 < 170 < 196$ pa je $13 < \sqrt{170} < 14 .$ Dakle, broj $\sqrt{170}$ nalazi se između prirodnih brojeva $13$ i $14 .$
Broj $52$ nalazi se između kvadrata broja $7$ i kvadrata broja $8$ jer je $49 < 52 < 64$ pa je $- 8 < - \sqrt{52} < - 7 .$ Dakle, broj $- \sqrt{52}$ nalazi se između cijelih brojeva $- 8$ i $- 7 .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

Upišite između kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalazi zadana vrijednost korijena.

Zadatak 14.

Procijenite cjelobrojni dio vrijednosti drugog korijena.

$\sqrt{130}$
$\sqrt{231}$

Broj $\sqrt{130}$ nalazi se između prirodnih brojeva $11$ i $12,$ dakle vrijednost korijena veća je od $11,$ a manja od $12 .$ Iz toga slijedi da cjelobrojni dio vrijednosti $\sqrt{130}$ iznosi $11 .$
Broj $\sqrt{231}$ nalazi se između prirodnih brojeva $15$ i $16,$ dakle vrijednost korijena veća je od $15,$ a manja od $16 .$ Iz toga slijedi da cjelobrojni dio vrijednosti $\sqrt{231}$ iznosi $15 .$

Zadatak 15.

Koje se sve znamenke mogu napisati na crticu da vrijedi nejednakost?

$3 < \sqrt{_5} < 4$
$11 < \sqrt{1_2} < 12$
$15 < \sqrt{2_7} < 16$

Broj pod korijenom može biti $15,$ zato se može upisati znamenka $1 .$
Brojevi pod korijenom mogu biti $122,$ $132,$ $142,$ zato se mogu upisati znamenke $2,$ $3$ i $4 .$
Brojevi pod korijenom mogu biti $227,$ $237,$ $247,$ zato se mogu upisati znamenke $2,$ $3$ i $4 .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 16.

Poredajte prema veličini, od najmanjega do najvećeg broja.

$\sqrt{3.56}$
$\sqrt{7.234}$
$\sqrt{1.21}$
$\sqrt{15.2}$

Pomoć:

Što je veći broj pod korijenom to je i vrijednost korijena veća.

null

Zadatak 17.

Istaknutim točkama na brojevnom pravcu pridružite odgovarajuće brojeve.

Napomena

Dva su broja višak.

Zadatak 18.

S pomoću džepnog računala odredite približnu vrijednost izraza pa pridružite tu vrijednost odgovarajućoj točki na brojevnom pravcu.

Zatvori

Povezani sadržaji

Površina kruga iznosi $256 π {cm}^{2}$ $.$ Odredite njegov polumjer.

$p = r^{2} π,$ pri čemu je $r$ duljina polumjera kruga. Zato je $256 π = r^{2} π$ iz čega slijedi da je $r^{2} = 256,$ tj. da je duljina polumjera $16 cm .$

Povezani sadržaji

Odredite opseg kruga ako mu je površina $400 π {cm}^{2}$ .

Iz formule za površinu kruga, $p = r^{2} π,$ pri čemu je r duljina polumjera kruga , možemo odrediti da je duljina polumjera $r = \sqrt{400} = 20 cm .$

$o = 2 r π,$ pri čemu je $r$ duljina polumjera kruga, zato je opseg kruga $o = 2 \cdot 20 π = 40 π cm .$

$\sqrt{256}$	$19$
$\sqrt{196}$	$20$
$\sqrt{169}$	$12$
$\sqrt{121}$	$14$
$\sqrt{324}$	$11$
$\sqrt{400}$	$18$
$\sqrt{225}$	$13$
$\sqrt{144}$	$17$
$\sqrt{289}$	$15$
$\sqrt{361}$	$16$

3.1 Pojam drugog korijena

Na početku...

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Drugi korijen

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Određivanje drugog korijena broja s pomoću džepnog računala

Zadatak 9.

Povežimo naučeno

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kolekcija zadataka 5

Zadatak 13.

Zadatak 14.

Zadatak 15.

Kolekcija zadataka 6

Zadatak 16.

Zadatak 17.

Zadatak 18.

Povezani sadržaji

Povezani sadržaji

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

3.2 Zbrajanje i oduzimanje korijena