Matematika 8 - 4.4 Primjena Pitagorina poučka na pravokutnik

Na početku...

Optimalna udaljenost.

Marko planira kupiti novi Full HD-televizor i proučava katalog. U njegovoj sobi udaljenost od naslonjača do mjesta na koje će postaviti televizor iznosi $3$ metra. Priželjkuje televizijski ekran od $55$ inča. Jedan inč iznosi $2.5$ centimetara. Okvir u koji namjerava staviti televizor pravokutnog je oblika dimenzija $100 cm x 80 cm .$

Hoće li moći smjestiti željeni televizor u taj okvir?

Koliko najviše inča može imati ekran televizora koji će kupiti?

Slika prikazuje grafikon ovisnosti duljine dijagonale televizora i potrebne udaljenosti za kvalitetno gledanje slike.

Dijagonala je spojnica dvaju nesusjednih vrhova nekoga geometrijskog lika. U četverokutima dijagonala spaja suprotne vrhove.

Dijagonala pravokutnika spojnica je suprotnih vrhova pravokutnika.

Dijagonala dijeli pravokutnik na dva sukladna pravokutna trokuta.

Slika prikazuje pravokutnik, zadan duljinama stranica, s dijagonalom i istaknutim pravokutnim trokutom.

Na pravokutnom trokutu možemo primijeniti Pitagorin poučak.

$d^{2} = 100^{2} + 80^{2}$

$d^{2} = 10 000 + 6 400$

$d^{2} = 16 400$

Riješimo kvadratnu jednadžbu i odaberimo samo pozitivno rješenje, u pitanju je duljina, a ona je uvijek pozitivna.

$d = \pm \sqrt{16 400}$

$d \approx 128.06 cm$

$d \approx 128.06 : 2.5 = 51.22 inča$

Marko ne može kupiti TV od $55$ inča. Njegov novi TV mora imati manje od $51.22$ inča.

Slika prikazuje pravokutnik sa strabnicama duljine a i b te dijagonalom duljine d i istaknutim pravokutnim trokutom.

Za bilo koji pravokutnik sa stranicama duljine $a$ i $b$ te dijagonalom duljine $d$ vrijedi Pitagorin poučak $a^{2} + b^{2} = d^{2} .$

Pravokutnik ima dvije dijagonale jednakih duljina.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Slika prikazuje pravokutnik sa stranicama duljine m i n i dijagonalom duljine r

Za nacrtani pravokutnik napiši u bilježnicu Pitagorin poučak.

$m^{2} + n^{2} = r^{2}$

Zadatak 2.

Slika prikazuje pravokutnik sa stranicama duljine m i r i dijagonalom duljine n

Za nacrtani pravokutnik napiši u bilježnicu Pitagorin poučak.

$m^{2} + r^{2} = n^{2}$

Zadatak 3.

Slika prikazuje pravokutnik sa stranicama duljine n i r te dijagonalom duljine m.

Za nacrtani pravokutnik napiši u bilježnicu Pitagorin poučak.

$r^{2} + n^{2} = m^{2}$

Zadatak 4.

Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutnika $A B C D$ sa stranicama duljine $4 cm$ i $5 cm .$

Na slici je prikazan pravokutnik sa stranicama duljine 3 i 4 cm i istaknutom dijagonalom

Nacrtajmo skicu pravokutnika i na njemu istaknimo jednu dijagonalu.

Uočimo pravokutni trokut te za njega postavimo Pitagorin poučak.

$d^{2} = 3^{2} + 4^{2}$

$d^{2} = 9 + 16$

$d^{2} = 25 /^{\sqrt{}}$

$d = \pm \sqrt{25}$

$d = \pm 5$

Duljina dijagonale iznosi $5 cm .$

Zatvori

Primjer 1.

Izračunajmo duljinu $x$ stranice pravokutnika ako su zadani podatci kao na slici.

Uočimo pravokutni trokut te za njega postavimo Pitagorin poučak.

$x^{2} + 3^{2} = {(3 \sqrt{10})}^{2}$

$x^{2} + 9 = 3^{2} {\sqrt{10}}^{2}$

$x^{2} + 9 = 9 \cdot 10$

$x^{2} = 90 - 9$

$x^{2} = 81 /^{\sqrt{}}$

$x = \pm \sqrt{81}$

$x = \pm 9$

Duljina stranice iznosi $9 m .$

Pri rješavanju problema primjenom Pitagorina poučka rješavamo kvadratnu jednadžbu.

Odabiremo samo pozitivno rješenje kvadratne jednadžbe.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Koristeći u tablici zadane podatke odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici.

Duljina stranice pravokutnika $[cm]$	Duljina stranice pravokutnika $[cm]$	Duljina dijagonale pravokutnika $[cm]$
$6$		$10$
	$12$	$13$
$9$		$15$
$20$	$21$

Duljina stranice pravokutnika $[cm]$	Duljina stranice pravokutnika $[cm]$	Duljina dijagonale pravokutnika $[cm]$
$6$	$8$	$10$
$5$	$12$	$13$
$9$	$12$	$15$
$20$	$21$	$29$

Zadatak 6.

Na slici je prikazan kvadrat nad dijagonalom pravokutnika kojem su zadane duljine stranica 2 korijena iz 10 i korijen iz 10..

Izračunajmo opseg i površinu kvadrata $E F G H$ nad dijagonalom pravokutnika.

Duljina stranice kvadrata jednaka je duljini dijagonale pravokutnika.

Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutnika.

$d^{2} = {(2 \sqrt{10})}^{2} + {(\sqrt{10})}^{2}$

$d^{2} = 2^{2} \cdot {(\sqrt{10})}^{2} + {(\sqrt{10})}^{2}$

$d^{2} = 4 \cdot 10 + 10$

$d^{2} = 50 /^{\sqrt{}}$

Iz te kvadratne jednadžbe izravno se čita površina kvadrata sa stranicom duljine $d .$

Površina kvadrata nad dijagonalom iznosi $50 .$

Za opseg nam još treba duljina dijagonale.

$d = \pm \sqrt{50}$

$d = \pm \sqrt{25 \cdot 2}$

$d = \pm 5 \sqrt{2}$

Duljina dijagonale iznosi $5 \sqrt{2}$ jediničnih dužina.

Opseg kvadrata nad dijagonalom jest

$o = 4 d$

$o = 4 \cdot 5 \sqrt{2} = 20 \sqrt{2} .$

Opseg kvadrata iznosi $20 \sqrt{2}$ jediničnih dužina.

Zadatak 7.

Duljina nogometnog igrališta iznosi $105$ metara, a širina $70$ metara.

Izračunajmo razliku puta od točke $A$ do točke $B$ po stranicama igrališta i najkraćeg puta od točke $A$ do točke $B$ .

Na slici je prikaz nogometnog igrališta s istaknutim točkama A i B.Nogometno igralište

U animaciji promotrimo računanje razlike duljina putova iz zadatka.

Zadatak 8.

Zadane su duljina jedne stranice pravokutnika $a$ i duljina dijagonale pravokutnika $d .$ Vaš je zadatak izračunati i upisati iznos opsega pravokutnika (nakon upisa iznosa stisnuti tipku ENTER) zadanog s njegovom stranicom i dijagonalom. Riješite točno sve zadatke iz aktivnosti i naučit ćete nešto zanimljivo.

Zatvori

Zanimljivost

Na slici je crtež matematičarke Marie Gaetane Agnesi (1718.-1799.) — Maria Gaetana Agnesi (1718. 1799.)

Na slici je prikaz krivulje naziva Agnesijin uvojak — Prikaz krivulje naziva Agnesijin uvojak

Po velikim matematičkim sposobnostima i erudiciji bila je poznata i Maria Gaetana Agnesi (1718. – 1799.), jedna od najvažnijih i najposebnijih osoba 18. stoljeća. Rođena je u obitelji intelektualaca i već u ranom djetinjstvu prepoznali su u njoj čudo od djeteta. Zahvaljujući ocu, koji je bio profesor matematike, omogućeno joj je visoko obrazovanje. Bila je najstarija od 21 djeteta pa je nakon majčine smrti preuzela brigu o ocu, braći i sestrama, povukavši se tako iz društvenog života. No, nije ostavila matematiku. Godine 1738. objavila je zbirku eseja o prirodnim znanostima i filozofiji Propositiones Philosophicae, u kojima iznosi svoje stajalište o potrebi obrazovanja žena. S 20 godina počela je raditi na svojemu najvažnijem djelu Instituzioni Analitiche o diferencijalnom i integralnom računu. Izjavila je da je to djelo počela pisati kao priručnik svojoj braći, ali je preraslo u nešto mnogo ozbiljnije. Objavljivanje djela 1748. godine izazvalo je senzaciju u akademskom svijetu. To je jedno od prvih i najopćenitijih djela o konačnoj i beskonačnoj analizi. U toj je knjizi na vrlo sustavan način skupila djela raznih matematičara, izlažući ih uz vlastitu interpretaciju. Knjiga je postala modelom jasnoće, prevođena je na mnoge jezike i koristila se kao priručnik. Maria Agnesi bila je prva profesorica matematike na svijetu, predavala je na bolonjskom sveučilištu osnovanom u 11. stoljeću te postala članicom Bolonjske akademije znanosti. No nakon očeve smrti prestala se baviti matematikom te se posvetila brizi za siromašne i bolesne. Njoj u čast jedna krivulja koju je proučavala i danas se zove Agnesijin uvojak.

Više o temi možete pročitati na poveznici Žene u matematici.

Povezani sadržaji

Na slici je prikazan pravokutnik sa zadanim duljinama stranica, 28 m i 21 m koji je upisan u krug.

Na slici je pravokutnik upisan u krug.

Izračunajte omjer površine kruga i površine pravokutnika.

Na slici je prikazan pravokutnik sa zadanim duljinama stranica 28 m i 21 m koji je upisan u krug. Istaknuta mu je i dijagonala koja je jednaka promjeru kruga.

Izračunajmo površinu pravokutnika. Označimo je s $p_{p} .$

$p_{p} = 28 \cdot 21$

$p_{p} = 588 m^{2}$

Površina pravokutnika iznosi $588 m^{2} .$

Za računanje površine kruga potreban nam je polumjer.

Polumjer je jednak polovini duljine dijagonale pravokutnika.
Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutnika koristeći se Pitagorinim poučkom.

$d^{2} = 21^{2} + 28^{2}$

$d^{2} = 441 + 784$

$d^{2} = 1 225 /^{\sqrt{}}$

$d = 35$

Duljina dijagonale iznosi $35$ metara.

Duljina polumjera iznosi $17.5$ metara.
Izračunajmo površinu kruga. Označimo je s $p_{k} .$

$p_{k} = r^{2} π$

$p_{k} = {17.5}^{2} \cdot 3.14$

$p_{k} \approx 961.63$

Površina kruga na slici iznosi $962 m^{2} .$
Omjer površina kruga i njemu upisanog pravokutnika iznosi

$\frac{p_{k}}{p_{p}} = \frac{962}{588} \approx 1.64 .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

U kvizu koji slijedi $d$ je oznaka za duljinu dijagonale pravokutnika, $a$ i $b$ su oznake za duljinu stranica pravokutnika.

Duljine stranica pravokutnika jesu $30 m$ i $40 m .$ Duljina dijagonale tog pravokutnika iznosi:

$70 m$

$60 m$

$50 m$

null

Postupak:

$d^{2} = 30^{2} + 40^{2}$

$d^{2} = 900 + 1 600$

$d^{2} = 2 500$

$d = 50$
Ako su duljine stranica pravokutnika $16$ i $30 dm$ , onda je duljina njegove dijagonale $dm .$

null

Postupak:

$d^{2} = 16^{2} + 30^{2}$

$d^{2} = 256 + 900$

$d^{2} = 1 156$

$d = 34$
Duljina dijagonale pravokutnika iznosi $45,$ a duljina jedne stranice $36 .$ Duljina druge stranice iznosi:

$9$

$27$

$18$

null

Postupak:

$45^{2} = 36^{2} + b^{2}$

$b^{2} = 45^{2} - 36^{2}$

$b^{2} = (45 - 36) \cdot (45 + 36)$

$d^{2} = 9 \cdot 81$

$d = 27$
Duljina dijagonale pravokutnika iznosi $17$ , a duljina jedne njegove stranice $8$ . Duljina druge stranice iznosi .

null

Postupak:

$17^{2} = a^{2} + 8^{2}$

$a^{2} = 289 - 64$

$a = \sqrt{225}$

$a = 15$

Zadatak 10.

Na slici je prikazana drvena vješalica za sušenje rublja — Drvena vješalica za sušenje rublja

Duljina žice je $55 cm,$ a visina rastvorenog sušila na slici $65 cm .$ Koliko je visoko sušilo kada se sklopi?

Na slici je prikazana drvena vješalica za sušenje rublja s istaknutim pravokutnikom i podacima potrebnim za rješavanje zadatka.

Visina sušila kada se sklopi jednaka je duljini dijagonale pravokutnika.

$d^{2} = 55^{2} + 65^{2}$

$d^{2} = 3 025 + 4 225$

$d^{2} = 7 250 /^{\sqrt{}}$

$d = 85.15$

Visina sušila kada se sklopi iznosi $85.15$ centimetara.

Zadatak 11.

Duljine stranica pravokutnika jesu $a$ i $b,$ duljina dijagonale $d$ .

Spojite parove.

$a = 1.5, d = 3.9$	$p = 4.8$
$a = 1, d = 2.6$	$o = 6.8$
$b = 3, d = 3.4$	$o = 10.2$
$a = 0.8, d = 1.7$	$p = 1.2$

Pomoć:

$a^{2} + b^{2} = d^{2}$

null

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Na slici je prikazana zaštitna maskica za mobitel

Miro je dobio na dar zaštitnu torbicu za mobitel u obliku pravokutnika sa stranicama $7.5 cm$ i $14 cm .$

On ima $6$ -inčni mobitel s ekranom koji se proteže preko cijele prednje strane.

Hoće li je moći iskoristiti za svoj mobitel? $(1 inč = 2.54 cm)$

Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutne zaštitne torbice.

${7.5}^{2} + 14^{2} = d^{2}$

$56.25 + 196 = d^{2}$

$252.25 = d^{2} /^{\sqrt{}}$

$d \approx 15.88 cm$

Moći će je iskoristiti jer $6$ inča iznosi $15.24 cm,$ što je manje od $15.88 cm .$

Zadatak 13.

Na slici je prikazano drveno sušilo na rasklapanje sa tri razine

Drveno sušilo za rublje sastoji se od triju sukladnih dijelova. Visina je rastvorenog sušila $1.5$ metara, a razmak između podnožja ukriženih letvica $45 cm .$

Širina sušila iznosi $60 cm .$ Kolika je najmanja ukupna duljina letvica potrebna da bi se napravilo ovakvo sušilo?

Letvica po širini ima $6 .$

Letvica koje čine križ ima $12 .$ Njihovu duljinu treba izračunati. One su duge koliko i dijagonala u pravokutniku sa stranicama $150 : 3 = 50 cm$ i $45 cm .$

$d^{2} = 50^{2} + 45^{2}$

$d^{2} = 2 500 + 2 025$

$d^{2} = 4 525 /^{\sqrt{}}$

$d \approx 67.27 cm$

Ukupna duljina iznosi $6 \cdot 60 + 12 \cdot 67.27 = 1 167.24 cm .$

Najmanja ukupna duljina letvica iznosi $1 167.24 c m \approx 11.67 m.$

Zatvori

4.4 Primjena Pitagorina poučka na pravokutnik

Na početku...

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Zanimljivost

Povezani sadržaji

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 12.

Zadatak 13.

...i na kraju

4.5 Primjena Pitagorina poučka na kvadrat