Matematika 8 - 4.8 Primjena Pitagorina poučka na romb

Na početku...

Na slici su prikazana dva viteška štita ukrašena rombovima. Na prvom štitu je pet manjih, a na drugom tri veća romba.

Ana i Matko pripremaju rekvizite za školsku dramsku skupinu. Ukrašavaju štitove koji su napravljeni prema uzoru na štitove srednjovjekovnih vitezova. Ana je na svojemu štitu nacrtala i obojila $5$ rombova, svaki sa stranicom duljine $3 cm$ i duljom dijagonalom duljine $5 cm .$

Matko je na svojemu štitu nacrtao i obojio $3$ romba, svaki sa stranicom duljine $5 cm$ i duljom dijagonalom duljine $8 cm .$

Čiji rombovi zauzimaju veću površinu?

Romb je posebna vrsta paralelograma sa svim stranicama jednakih duljina.

Dijagonala romba je dužina koja spaja dva njegova nasuprotna vrha.

Romb ima dvije dijagonale koje su u pravilu, osim kad je riječ o kvadratu, različitih duljina.

Dijagonale romba međusobno su okomite, a njihovo je sjecište zajedničko polovište za obje dijagonale.

Podsjetite se postupka kojim se izvodi formula za površinu romba.

Izvod formule za površinu romba

Uz oznake kao na slici opseg romba računamo prema formuli $o = 4 a,$ a površinu romba prema formuli $p = \frac{e \cdot f}{2} .$

Dakle, da bi izračunali površine svojih rombova, Ana i Matko morat će izračunati duljinu druge dijagonale za svoj romb.

Kako će to učiniti?

Promotrimo romb sa stranicom duljine $a$ i dijagonalama duljine $e$ i $f$ .

Dijagonale dijele romb na četiri sukladna pravokutna trokuta. Hipotenuza tih trokuta jest stranica romba, a njihove su katete polovine dijagonala.

Na slici je romb sa stranicom duljine a i obje njegove dijagonale. Istaknut je jedan od četiri sukladna pravokutna trokuta unutar romba. Katete tog trokuta su polovine dijagonala romba, a hipotenuza mu je stranica romba.

Primijenimo li Pitagorin poučak na jedan od tih pravokutnih trokuta, dobit ćemo

$a^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} .$

Zanimljivost

Na slici je zastava države Sv. Vincent i Grenardini. Na zastavi se javlja motiv romba.

Sveti Vincent i Grenadini otočna je državica u Srednjoj Americi, u jugoistočnom dijelu Karipskoga mora, dio otočne skupine Malih Antila. Smješten je $35 km$ jugozapadno od Svete Lucije, $120 km$ sjeverno od Grenade i $160 km$ zapadno od Barbadosa.

Duljina stranice romba

Primjer 1.

Izračunajmo duljinu stranice romba ako su duljine njegovih dijagonala $e = 16 cm$ i $f = 3 dm .$

Primjenjujemo Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut:

$a^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} .$

Budući da je $e = 16 cm$ i $f = 3 dm = 30 cm,$ nakon uvrštavanja dobivamo redom:

$a^{2} = {(\frac{16}{2})}^{2} + {(\frac{30}{2})}^{2}$

$a^{2} = 8^{2} + 15^{2}$

$a^{2} = 64 + 225$

$a^{2} = 289 .$

Iako svaka takva kvadratna jednadžba ima dva (međusobno suprotna) rješenja, negativno rješenje nema smisla. Zato zaključujemo da je

$a = \sqrt{289},$

tj. da je $a = 17 cm .$

Zadatak 1.

Izračunajte duljinu stranice romba ako su duljine njegovih dijagonala jednake $e = 28.8 c$ , $f = 8.4 dm$ .

Na slici je romb s istaknutim jednim pravokutnim trokutom. Katete tog trokuta su polovine dijagonala romba, a hipotenuza mu je stranica romba.

Primjenjujemo Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut:

$a^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} .$

Budući da je $e = 28.8 cm$ i $f = 8.4 dm = 84 cm,$ nakon uvrštavanja dobivamo:

$a^{2} = {14.4}^{2} + 42^{2} = 207.36 + 1 764$

$a^{2} = 1 971.36 .$

Iako svaka takva kvadratna jednadžba ima dva (međusobno suprotna) rješenja, negativno rješenje nema smisla. Zato zaključujemo da je $a = 44.4 cm .$

Duljina dijagonale romba

Primjer 2.

Duljina stranice romba jest $a = 6.5 dm$ , a duljina jedne njegove dijagonale iznosi $f = 66 cm.$ Izračunajmo duljinu druge dijagonale tog romba.

Primjenjujemo Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut:

$a^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} .$

Uvrštavanjem $a = 6.5 dm$ i $f = 66 cm$ dobivamo $e = 112 cm$ .

Zadatak možemo riješiti i ovako:

Primjenjujemo Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut:

$a^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} .$

Budući da je $a = 6.5 dm$ i $f = 66 cm$ , nakon uvrštavanja dobivamo

$65^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{66}{2})}^{2} .$

Tada je ${(\frac{e}{2})}^{2} = 4 225 - 1 089 = 3 136,$

pa je $\frac{e}{2} = 56$ i $e = 2 \cdot 56 = 112 cm .$

Zadatak 2.

Duljina stranice nekog romba jest $a = 13 cm$ , a jedne njegove dijagonale $e = 20.8 cm$ . Kolika je duljina druge dijagonale tog romba?

Primjenjujemo Pitagorin poučak na istaknuti pravokutni trokut:

$a^{2} = {(\frac{e}{2})}^{2} + {(\frac{f}{2})}^{2} .$

Budući da je $a = 13 cm$ i $e = 20.8 cm$ , nakon uvrštavanja dobivamo:

$13^{2} = {10.4}^{2} + \frac{f^{2}}{4}$

$169 = 108.16 + \frac{f^{2}}{4}$

$\frac{f^{2}}{4} = 60.84$

$f^{2} = 243.36$

$f = 15.6 cm$ .

Uvježbajte određivanje duljine stranice i duljina dijagonala romba.

Riješite postavljeni zadatak (izračunajte duljinu stranice ili duljinu dijagonale). Rezultat upišite u predviđeno polje, a ako je potrebno, rezultat zaokružite na dvije decimale.

Provjerite točnost i odaberite novi zadatak.

Opseg i površina romba

Zadatak 3.

Maja želi kupiti naušnice prijateljici za rođendan. Na internetu je našla naušnice u obliku romba sa stranicom duljine $2.6 cm$ i duljom dijagonalom duljine $5 cm .$ Kolika je površina materijala bila potrebna za njihovu izradu?

Primjenom Pitagorina poučka dobiva se da je duljina druge dijagonale naušnice približno $1.4 cm .$ Površina svake od naušnica približno je $3.5 {cm}^{2},$ što znači da je za izradu para naušnica potrošeno oko $7 {cm}^{2}$ materijala.

Zanimljivost

Zainteresirani učenici mogu provjeriti svoje znanje rješavajući interaktivne zadatke dostupne na poveznicama:

Vježbalica ‒ površina romba te Vježbalica ‒ primjena Pitagorina poučka na romb.

Zadatak 4.

Za vježbu riješite nekoliko zadataka. U zadatcima su upotrebljene oznake kao na slici.

Duljine dijagonala nekog romba jesu $e = 54 mm$ i $f = 12.96 cm .$ Duljina stranice tog romba jest $7 dm .$

Da
Primjenom Pitagorina poučka dobiva se da je $a^{2} = {2.7}^{2} + {6.48}^{2} = 49.2804$ pa je $a = 7.02 cm .$

Ne

null

null
Romb ima dijagonale duljine $32 mm$ i $12.6 cm .$

Opseg je tog romba $195 mm .$

Opseg je tog romba $260 mm .$

Opseg je tog romba $325 mm .$

Površina je tog romba $201.6 {mm}^{2} .$

Površina je tog romba $4 032 {mm}^{2} .$

Površina je tog romba $2 016 {mm}^{2} .$

null

null

Romb ima stranice duljine $a$ te dijagonale duljie $e$ i $f .$

Spojite parove podataka.

$a = 5.1 cm$ i $f = 48 mm$	$e = 9 cm$
$e = 66 cm$ i $f = 11.2 dm$	$o = 26 dm$
$a = 17 cm$ i $e = 16 cm$	$p = 240 {mm}^{2}$
$o = 26 cm$ i $e = 3.2 cm$	$a = 7.3 cm$
$p = 52.8 {cm}^{2}$ i $f = 9.6 cm$	$f = 12.6 cm$

null

Izračunaj površine zadanih rombova sa stranicom duljine $a$ i dijagonalama duljine $e$ i $f$ . Rombove razvrstaj prema njihovoj površini.

$a = 13 dm, f = 156 cm$

$a = e = 24 cm$

$a = 65 cm, e = 32 cm$

$e = 11 dm, a = 73 cm$

$a = 42.5 cm, f = 84 cm$

Površina veća od $10 {dm}^{2}$

Površina manja od $10 {dm}^{2}$

Pomoć:

Primijenite Pitagorin poučak na istaknuti trokut pa izračunajte duljinu druge dijagonale, a zatim i površinu romba.

null

Romb ima stranicu duljine $a$ te dijagonale duljine $e$ i $f .$ Spoji parove.

$e = 11 dm, f = 96 cm$	$f = 42 cm$
$o = 340 cm, f = 72 cm$	$p = 93.6 {cm}^{2}$
$a = 97 mm, e = 13 cm$	$p = 5 544 {cm}^{2}$
$a = 29 cm, e = 4 dm$	$a = 30.5 cm$
$p = 330 {cm}^{2}, f = 6 dm$	$p = 93.6 {cm}^{2}$

Pomoć:

Primijenite Pitagorin poučak na istaknuti trokut i izračunajte nepoznati element romba. Zatim koristite formule za opseg i površinu romba.

null

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

crtanjem dijagonala romba istaknuti pravokutne trokute
iskazati riječima i simbolima Pitagorin poučak za uočeni pravokutni trokut u rombu uz oznake sa slike
izračunati nepoznati element romba primjenom Pitagorina poučka
riješiti problemski zadatak primjenom Pitagorina poučka na romb.

Sada možete riješiti početni zadatak.

Ana:

Ana je na svojemu štitu nacrtala i obojila $5$ rombova, svaki sa stranicom duljine $3 cm$ i duljom dijagonalom duljine $5 cm .$

Primijenite li Pitagorin poučak, izračunat ćete da je duljina druge dijagonale tih rombova približno $3.3 cm .$ Površina jednog Anina romba je $8.25 {cm}^{2},$ a svih pet rombova ima površinu $41.25 {cm}^{2} .$

Matko:

Matko je na svojemu štitu nacrtao i obojio samo $3$ romba, svaki sa stranicom duljine $5 cm$ i duljom dijagonalom duljine $8 cm .$

Primijenite li Pitagorin poučak, izračunat ćete da je duljina druge dijagonale tih rombova $6 cm .$ Površina jednog Matkova romba je $24 {cm}^{2},$ a sva tri romba imaju površinu $72 {cm}^{2} .$

4.8 Primjena Pitagorina poučka na romb

Na početku...

Zanimljivost

Duljina stranice romba

Zadatak 1.

Duljina dijagonale romba

Zadatak 2.

Opseg i površina romba

Zadatak 3.

Zanimljivost

Zadatak 4.

Površina veća od $10 {dm}^{2}$

Površina manja od $10 {dm}^{2}$

Rombovi su oko nas

Zanimljivost

Zadatak 5.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zanimljivost

Kutak za znatiželjne

Zadatak 8.

...i na kraju

4.9 Primjena Pitagorina poučka na trapez

Na početku...

Zanimljivost

Duljina stranice romba

Zadatak 1.

Duljina dijagonale romba

Zadatak 2.

Opseg i površina romba

Zadatak 3.

Zanimljivost

Zadatak 4.

Površina veća od 10 dm 2

Površina manja od 10 dm 2

Rombovi su oko nas

Zanimljivost

Zadatak 5.

Zanimljivost

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zanimljivost

Kutak za znatiželjne

Zadatak 8.

...i na kraju

4.9 Primjena Pitagorina poučka na trapez

Površina veća od $10 {dm}^{2}$

Površina manja od $10 {dm}^{2}$