9.1 Piramide

O piramidi i njezinim elementima

Primjer 1.

Promotrimo nacrtanu piramidu.

Baza ili osnovka piramide je mnogokut $ABCDE$.

Pobočke piramide su trokuti $△ABV,$ $△BCV,$ $△DCV,$ ​ $△DEV$ i $△EAV.$

Sve pobočke zajedno čine pobočje piramide. Točke $A,B,C,D\mathrm{i}E$ vrhovi su baze. Točka $V,$ nasuprot bazi, vrh je piramide i zajednički vrh svih pobočki.

Osnovni bridovi, $\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EA},$ pripadaju bazi.

Bočni bridovi, $\overline{AV},\overline{BV},\overline{CV},\overline{DV},\overline{EV},$ zajednički su dvjema pobočkama.

Piramidu nazivamo prema broju vrhova baze $n.$

$n$	Naziv piramide	Baza
$3$	trostrana piramida	trokut
$4$	četverostrana piramida	četverokut
$5$	peterostrana piramida	peterokut
$6$	šesterostrana piramida	šesterokut
$7$	sedmerostrana piramida	sedmerokut
$8$	osmerostrana piramida	osmerokut
$9$	deveterostrana piramida	deveterokut
$10$	deseterostrana piramida	deseterokut

Zadatak 1.

Povežite broj vrhova baze i broj trokuta pobočja. Što uočavate?

 Spojite parove.

	54386
	54386
​	54386
​	54386
​	54386

Pomoć:

 Prebrojite vrhove baze te trokute pobočja.

Postupak:

 Broj trokuta u pobočju jednak je broju vrhova baze piramide.

Broj trokuta u pobočju jednak je broju vrhova baze piramide.

Vrhovi, bridovi i strane piramide

Zadatak 2.

Za neku piramidu povežimo broj vrhova piramide, broj strana piramide i broj bridova piramide. Koristeći u tablici zadane podatke odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

Naziv piramide	Broj vrhova baze $n$	Broj vrhova piramide $V$	Broj bridova piramide $B$	Broj strana piramide $S$	Veza broja vrhova, strana i bridova piramide

Uočimo!

• Broj je vrhova za jedan veći od broja vrhova baze piramide, $V=n+1.$
• Broj je bridova dvostruko veći od broja vrhova (bridova) baze piramide, $B=2n.$
• Broj strana jednak je broju vrhova piramide, $S=V.$
• Zbroj vrhova i strana i broj bridova razlikuje se za $2,$ $V+S=B+2.$

Zadatak 3.

Riješimo kviz o bridovima, stranama i vrhovima piramide.

Pravilna piramida

Primjer 2.

Promotrimo piramide na slici.

Piramida $ABCD{V}_1$ nema sve bočne bridove jednake duljine. To je kosa piramida.

Piramida $EFGH{V}_2$ ima sve bočne bridove jednake duljine, $\left|E{V}_2\right|=\left|F{V}_2\right|=\left|G{V}_2\right|=\left|H{V}_2\right|=b$

Primjer 3.

Baza je piramide na slici $ABCDEF$ pravilni mnogokut i svi su joj bočni bridovi jednake duljine. Takvu piramidu nazivamo pravilna piramida.

Primjer 4.

Pravilne piramide nazivamo prema broju vrhova baze, $n$.

$n$	Naziv	Baza
$3$	pravilna trostrana piramida	jednakostranični trokut
$4$	pravilna četverostrana piramida	kvadrat
$5$	pravilna peterostrana piramida	pravilni peterokut
$6$	pravilna šesterostrana piramida	pravilni šesterokut

Visina piramide

U ovome ćemo dijelu istražiti pojam visine piramide.

Primjer 5.

U sljedećoj interakciji pomicanjem zelene točke istražite koja je najkraća udaljenost vrha piramide i baze piramide. Svakako koristite i alat rotacije (drugi s lijeva) kako biste bolje proučili izgled piramide. Kada dobijete povratnu informaciju, rotirajte piramidu i promotrite dužinu čije su krajnje točke vrh piramide i pogođena točka baze.

Najkraća udaljenost od vrha piramide do baze piramide pripada pravcu kojemu pripada vrh piramide i koji je okomit na ravninu baze piramide.

Pravac $VN$ okomica je na bazu koja prolazi vrhom piramide.

Točka $N$ probodište je okomice i baze piramide.

Dužina $\overline{VN}$ visina je piramide.

Točka probodišta $N$ dobiva ulogu nožišta visine piramide.

Duljinu visine piramide najčešće ćemo označavati s $\left|VN\right|=h.$

Nožište visine pravilne uspravne piramide nalazi se u središtu opisane kružnice baze. To je točka koja je jednako udaljena od svih vrhova pravilnog mnogokuta.

Zadatak 4.

Riješite kviz.

Mreža piramide

Ponovimo!

Definirali smo piramidu kao uglato geometrijsko tijelo kojemu je jedna strana mnogokut, a sve su ostale strane trokuti s jednim zajedničkim vrhom. Pobočje piramide sastoji se od onoliko trokuta koliko baza ima vrhova.

Mreža je geometrijskog tijela njegov ravninski prikaz.

Zadatak 5.

Odredimo koji od prikaza opisuje mrežu piramide.

Mreža pravilne piramide

Ponovimo!

Piramida kojoj je baza pravilni mnogokut, a svi bočni bridovi jednake duljine, pravilna je uspravna piramida.  

Pobočje pravilne piramide sastoji se od sukladnih trokuta.

Primjer 6.

Na slikama su prikazane mreže jedne pravilne i jedne nepravilne četverostrane piramide. Mreža pravilne piramide sastoji se od pravilnog mnogokuta i sukladnih jednakokračnih trokuta.

Postoje različiti načini prikaza mreže pravilne piramide. Na slici su dva različita prikaza mreže pravilne četverostrane piramide.

Zadatak 6.

Spojimo pravilnu piramidu i njezinu mrežu

Već smo se prije susreli s Platonovim tijelima. Sve su strane Platonovih tijela istovrsni sukladni pravilni mnogokuti.

Tetraedar je piramida sa svim bridovima jednake duljine.

Oktaedar je nastao spajanjem dviju pravilnih četverostranih piramida svih bridova jednake duljine.

I tetraedar i oktaedar imaju strane koje su jednakostranični trokuti.

Zanimljivost

Proučimo kocku i oktaedar. Kocka je prizma, a oktaedar je nastao spajanjem baza pravilnih četverostranih piramida.​

• Odredimo kocki i oktaedru polovišta svih bridova i spojimo ih.
• Vanjske dijelove kocke koji su pravilne trostrane piramide odrežimo.
• Vanjske dijelove oktaedra koji su pravilne četverostrane piramide odrežimo.

U oba slučaja dobijemo identično uglato tijelo koje nazivamo kubooktaedar i vrsta je Arhimedovih tijela. Sastoji se od $6$ kvadrata i $8$ jednakostraničnih trokuta.