9.3 Pravilna četverostrana piramida

Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina istaknutog jednakokračnog trokuta dobivamo da je ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2=v^2-h^2.$

Uvrštavanjem dobivamo ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2={37}^2-{35}^2,$ odakle je $\frac{a}{2}=12\mathrm{cm},$ odnosno $a=24\mathrm{cm}.$

Površina je baze te piramide $B=a^2,$ tj. $B={24}^2=576{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Površina je njezina pobočja $P=4·\frac{av}{2}=2av,$ pa je $P=2·24·37=1776{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Oplošje je te piramide $O=B+P,$ pa je $O=2352{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Duljina visine piramide iznosi $12\mathrm{cm}.$ Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina istaknutog jednakokračnog trokuta dobivamo da je $v^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+h^2.$

Uvrštavanjem dobivamo $v^2=9^2+{12}^2,$ odakle je $v=15\mathrm{cm}.$

Površina baze te piramide je $B=a^2,$ tj. $B={18}^2=324{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Površina njezina pobočja je $P=4·\frac{av}{2}=2av,$ pa je $P=2·18·15=540{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Oplošje je te piramide $O=B+P,$ pa je $O=864{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Kako bismo odredili površinu baze, potrebna nam je duljina brida baze.

Duljinu brida baze odredit ćemo primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina jednakokračnog trokuta - pobočke te piramide.

Uz oznake kao na slici vrijedi ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2-v^2,$ odakle se uvrštavanjem dobiva $(\frac{a}{2}{)}^2={17}^2-{15}^2,$ odnosno $\frac{a}{2}=8\mathrm{cm}$ i $a=16\mathrm{cm}.$

Površina kvadrata, baze te piramide, računa se prema formuli $B=a^2$ i iznosi $B={16}^2=256{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Površina svake pobočke računa se prema formuli $p_1=\frac{1}{2}av,$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $p_1=\frac{1}{2}·8·15=120{\mathrm{cm}}^2,$ tj. da je površina pobočja $P=4p_1$ i iznosi $P=480{\mathrm{cm}}^2.$

Konačno, oplošje računamo prema formuli $O=B+P$ i iznosi $O=256+480=736{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina istaknutog jednakokračnog trokuta dobivamo da je ${\left(\frac{d}{2}\right)}^2=b^2-h^2.$

Uvrštavanjem dobivamo ${\left(\frac{d}{2}\right)}^2={45}^2-{15}^5,$ odakle je $\frac{d}{2}=\sqrt{1800}\mathrm{cm},$ odnosno $d=60\sqrt{2}\mathrm{cm}.$

Budući da, prema Pitagorinu poučku primijenjenom na polovinu baze (kvadrata), vrijedi $d^2=2a^2,$ zaključujemo da je $2a^2=7200,$ odnosno $a^2=3600,$ pa zaključujemo da je duljina osnovnog brida $a=60\mathrm{cm}.$

Do istog zaključka možemo doći i uspoređivanjem formula. Duljina dijagonale kvadrata sa stranicom duljine a računa se kao $d=a\sqrt{2}$ pa izjednačavanjem izraza $a\sqrt{2}=60\sqrt{2}$ zaključujemo da je $a=60\mathrm{cm}.$

Površina baze te piramide je $B=a^2,$ tj. $B={60}^2=3600{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Volumen te piramide računamo prema formuli $V=\frac{1}{3}Bh,$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $V=\frac{1}{3}·3600·15,$ tj. $V=18000{\mathrm{cm}}^3.$

Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut koji je polovina istaknutog jednakokračnog trokuta dobivamo da je ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2=v^2-h^2.$

Uvrštavanjem dobivamo ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2={37}^2-{35}^5,$ odakle je $\frac{a}{2}=12\mathrm{cm},$ odnosno $a=24\mathrm{cm}.$

Površina je baze te piramide $B=a^2,$ tj. $B={24}^2=576{\mathrm{cm}}^{\mathrm{2}}.$

Volumen te piramide računamo prema formuli $V=\frac{1}{3}Bh,$ pa uvrštavanjem dobivamo da je $V=\frac{1}{3}·576·35,$ tj. $V=6720{\mathrm{cm}}^3.$

Uz oznake na prethodnoj slici, površina je nastalog presjeka $p=\frac{1}{2}ah.$

Uvrštavanjem dobivenih podataka dobivamo da je $p=\frac{1}{2}·10·12=60{\mathrm{cm}}^2.$

Ako je površina baze piramide $25{\mathrm{cm}}^2$ , to znači da je $a^2=25,$ tj. $a=5 \mathrm{cm}.$

Uvrštavanjem zadanog i dobivenog podatka u izraz $p=\frac{1}{2}ah$ dobivamo $p=\frac{1}{2}·5·3.1=7.75{\mathrm{cm}}^2$ .

Uz oznake kao na slici, površina je nastalog presjeka $p=\frac{1}{2}dh.$

1. Ako je duljina stranice kvadrata $a=4\mathrm{cm},$ onda je duljina njegove dijagonale $d=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}.$ Uvrštavanjem zadanog i dobivenog podatka u izraz $p=\frac{1}{2}dh$ dobivamo $p=\frac{1}{2}·4\sqrt{2}·7=14\sqrt{2}{\mathrm{cm}}^2.$

2. Iz zadanih podataka, primjenom Pitagorina poučka, možemo izračunati duljinu visine piramide: $h^2=b^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2={26}^2-{10}^2=576,$ pa je duljina visine piramide $h=24\mathrm{cm}.$ Uvrštavanjem zadanog i dobivenog podatka u izraz $p=\frac{1}{2}dh$ dobivamo da je $p=\frac{1}{2}·20·24=240{\mathrm{cm}}^2.$

Ukupna površina papira jednaka je oplošju kvadratne prizme bez gornje strane te pravilne četverostrane piramide bez baze.

Površina donjeg dijela kutije iznosi ${12}^2+4·12·5=144+240=384{\mathrm{cm}}^2.$

Visina poklopca iznosi $13-5=8\mathrm{cm}.$ Površina poklopca jednaka je površini pobočja pravilne četverostrane piramide.

Visina pobočke iznosi $v=\sqrt{8^2+{\left(\frac{12}{2}\right)}^2}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm},$ tj. $P=2·12·10=240{\mathrm{cm}}^2.$

Oplošje kutije iznosi $O_{\mathrm{kutije}}=384+240=624{\mathrm{cm}}^2.$

Iz formule za obujam dobivamo $a^{2}h=36000{\mathrm{cm}}^3,$ dok iz formule za površinu presjeka dobivamo  $\frac{1}{2}ah=450{\mathrm{cm}}^2,$ tj. $ah=900{\mathrm{cm}}^2.$

S obzirom na to da je $a^{2}h=a·ah,$ možemo zapisati da je $a·900=36000,$ tj. $a=40\mathrm{cm}$.