Matematika 8 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Pogledajte grafički prikaz prizme i piramide te se podsjetite sličnosti i razlike ovih dviju vrsta geometrijskih tijela.

Pomičući točke na piramidi, mijenjajte izgled pripadne piramide i prizme. Koristeći alat za 3D rotaciju grafičkog prikaza, proučite tijela iz različitih kutova gledanja.

Zadatak 1.

Za početak, riješite nekoliko zadataka.

Iz kocke s bridom duljine $3 dm$ izrezana je najveća moguća pravilna četverostrana piramida. Koliki je volumen izrezane piramide?

$1 {dm}^{3}$

$9 {dm}^{3}$

$27 {dm}^{3}$

null

null
Iz kocke s bridom duljine $3 dm$ izrezana je najveća moguća pravilna četverostrana piramida. Oplošje je dobivene piramide tri puta manje od oplošja početne kocke.

Da

Ne

null
Iz pravilne šesterostrane piramide s osnovnim bridom duljine $4 cm$ i visinom duljine $6 cm$ izrezana je najveća moguća pravilna trostrana piramida. Koje su od sljedećih tvrdnji istinite?

Duljina osnovnog brida dobivene pravilne trostrane piramide dva je puta dulja od duljine osnovnog brida početne piramide.

Površina baze dobivene pravilne trostrane piramide dva je puta manja od površine početne piramide.

Volumen dobivene pravilne trostrane piramide dva je puta manji od volumena početne piramide.

Oplošje dobivene pravilne trostrane piramide dva je puta manje od oplošja početne piramide.

null
Kocka i pravilni tetraedar imaju jednaku duljinu osnovnog brida od $1 dm .$ Oplošje je kocke približno ${dm}^{2}$

null
Volumen je pravilne četverostrane piramide $2 100 {cm}^{3} .$ Ta je piramida presječena ravninom koja prolazi vrhom i polovištima dvaju nasuprotnih bridova baze. Površina je dobivenog presjeka $350 {cm}^{2} .$ Duljina osnovnog brida te piramide iznosi $cm .$

null
Na slici je prikazana ukrasna kutija za pakiranje nakita. Baza joj je kvadrat površine $36 {cm}^{2},$ duljine bočnih bridova piramide jednake su duljini bridova baze, a ukupna je visina kutije $8 cm .$ Oplošje te kutije, zaokruženo na kvadratne centimetre iznosi ${cm}^{2} .$

Pomoć:

Visina je piramide približno $4.24 cm,$ a visina donjeg dijela kutije $8 - 4.24 = 3.76 cm .$

Pobočke su piramide jednakostranični trokuti sa stranicom duljine $6 cm$ pa je površina pobočja piramide približno $62.35 {cm}^{2},$ dok je površina pobočja donjeg dijela kutije približno $90.24 {cm}^{2} .$ Budući da je površina baze kutije $36 {cm}^{2},$ oplošje kutije iznosi približno $188.59 {cm}^{2} .$

null

Keopsova piramida

Keopsova piramida u Gizi jedno je od svjetskih čuda Staroga svijeta. Izgrađena je oko 2560. godine prije Krista, a za njezinu je izgradnju bilo potrebno oko $20$ godina. Navodno je u njezinoj izgradnji sudjelovalo oko $100 000$ ljudi.

U Keopsovu je piramidu ugrađeno oko $2$ milijuna kamenih blokova. Kut pobočki u odnosu na bazu iznosi $51 ° 52',$ a svaka je pobočka „okrenuta'' prema jednoj od četiriju strana svijeta.

Fotografija prikazuje Keopsovu piramidu.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 2.

Baza je Keopsove piramide kvadrat. Kad je bila sagrađena, visina joj je bila $146.5$ metara. (U međuvremenu su neki od kamenih blokova s vrha piramide nestali, pa je ona danas nekoliko metara niža). Duljina je brida baze piramide $230$ metara. Izračunajte obujam Keopsove piramide (u metrima kubičnim). Rezultat zaokružite na najbližu desetinku.

Baza je Keopsove piramide kvadrat sa stranicom duljine $230 m,$ pa je površina baze $230^{2},$ tj. $52 900$ kvadratnih metara.

Obujam Keopsove piramide izračunat ćemo uvrštavanjem dobivenog i zadanog podatka u izraz $V = \frac{1}{3} B h .$

Dakle, $V = \frac{1}{3} \cdot 230^{2} \cdot 146.5 \approx 2 583 283.3 m^{3} .$

Zadatak 3.

Odredite oplošje Keopsove piramide.

Slika prikazuje pravilnu četverostranu piramidu te trokut pravilne četverostrane piramide koji povezuje visinu, visinu pobočke i polovinu stranice a.

Površina pobočja iznosi $P = 2 a v .$

Visinu pobočke dobit ćemo primjenom Pitagorina poučka na trokut koji povezuje visinu piramide, visinu pobočke i polovinu stranice $a,$ tj. $v = \sqrt{{146.5}^{2} + {(\frac{230}{2})}^{2}} \approx 186.2 m .$

Površina pobočja iznosi $P = 2 a v \approx 2 \cdot 230 \cdot 186.2 \approx 85 652 m^{2},$ a površina baze $230^{2},$ tj. $B = 230^{2} = 52 900 m^{2} .$

Oplošje piramide izračunat ćemo po formuli $O = B + P$ te ono iznosi $O = 85 652 + 52 900 = 138 552 m^{2} .$

Zadatak 4.

Prosječna masa blokova od kojih je građena Keopsova piramida iznosi $2.5 t$ po kubnome metru. Kolika je ukupna masa kamena u Keopsovoj piramidi?

Obujam Keopsove piramide iznosi $2 583 283.3 m^{3} .$

Ukupna masa kamena iznosi $2 583 283.3 \cdot 2.5 = 6 458 208.25 \approx 6 458 208 t .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Kolika bi bila duljina zida (oblika kvadra) visokog $2$ metra i širokog $30 cm$ koji bi se mogao napraviti od iste količine materijala s kojim je napravljena Keopsova piramida?

Duljina tog zida iznosila bi $a = V : (b \cdot c) = 2 583 283.3 : (0.3 \cdot 2) = 4 305 472.17 m .$

Zadatak 6.

U dolini Gize postoje još dvije manje piramide: Kefrenova i Mikerinova. Obje su piramide pravilne četverostrane, a pri njihovoj gradnji korišten je istovrsni kamen kao i za Keopsovu piramidu. Duljina je osnovnog brida Kefrenove piramide $214.5 m,$ a njezina visina $143.5 m .$ Duljina je osnovnog brida Mikerinove piramide $110 m,$ a visina joj je $68.8 m .$

Izračunajte obujam i masu potrošenog kamena za izgradnju svake od tih piramida.

Volumen Kefrenove piramide iznosi $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \cdot (214.5)^{2} \cdot 143.5 = 2 200 823.6 m^{3},$ a Mikerinove $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \cdot (110)^{2} \cdot 68.8 = 277 493.3 m^{3} .$

Masa kamena potrebnog za izgradnju Kefrenove piramide iznosi $2 200 823.6 \cdot 2.5 = 5 502 059 t,$ a Mikerinove piramide $277 493.3 \cdot 2.5 = 693 733.25 t .$

Zatvori

Krnja piramida

Krnja ja piramida geometrijsko tijelo koje nastaje presijecanjem piramide ravninom paralelnom s bazom i odbacivanjem manje piramide.

Ako je baza početne piramide pravilan mnogokut, onda je i krnja piramida pravilna.

Pravilna krnja četverostrana piramida geometrijsko je tijelo koje nastaje presijecanjem (pravilne) četverostrane piramide ravninom paralelnom s bazom i odbacivanjem manje piramide.

Pravilna krnja trostrana piramida geometrijsko je tijelo koje nastaje presijecanjem (pravilne) trostrane piramide ravninom paralelnom s bazom i odbacivanjem manje piramide.

Najpoznatije građevine u obliku krnje piramide

Zanimljivost

Krajem je 2016. godine na poveznici objavljen članak koji govori o načinu gradnje meksičkih (krnjih) piramida.

Fotografija prikazuje piramidu Chichen Itza. — Piramida Chichen Itza, Mexico, upisana je na UNESCO-ov popis svjetske kulturne baštine

Fotografija prikazuje krnju piramidu iz Meksika. — Great Pyramid of Cholula, Puebla, Mexico

Fotografija prikazuje radarski centar u SADu oblika krnje piramide. — Radarski centar, North Dakota, SAD

Fotografija prikazuje zgradu oblika krnje piramide. — Teatro Nacional Cláudio Santoro - Brasilia

Zanimljivost

Više o piramidi u North Dakoti (SAD) pročitajte na poveznici 1 i poveznici 2.

Kutak za znatiželjne

Računanje oplošja i volumena krnje četverostrane piramide dio je gradiva kojim ćete se baviti u srednjoj školi. Nestrpljivi mogu proučiti materijale dostupne na poveznici.

Od uporabnih predmeta u obliku krnje piramide nalazimo sjenila za svjetiljke, posude za cvijeće ili „čaše" za kokice.

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 7.

Slika prikazuje krnju četverostranu piramidu i njenu mrežu.

Na slici je prikazana krnja četverostrana piramida i njezina mreža.

Duljine su osnovnih bridova veće baze $10 cm,$ a manje baze $4 cm,$ a duljine su bočnih bridova $5 cm .$ Koliko je oplošje ove krnje piramide?

Površina je veće baze $B_{1} = 10^{2} = 100 {cm}^{2},$ a manje $B_{2} = 4^{2} = 16 {cm}^{2} .$

Za izračunavanje površine pobočja potrebna je duljina visine pobočke, dakle, duljina visine jednakokračnog trapeza. Uz oznake kao na slici, primjenom Pitagorina poučka dobiva se da je $v = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16} = 4 cm .$

Površina svake od četriju pobočki jednaka je $p_{1} = \frac{10 + 4}{2} \cdot 4 = 28 {cm}^{2}$ pa je površina pobočja $P = 4 \cdot 28 = 112 {cm}^{2} .$

Oplošje te krnje piramide računamo kao $O = B_{1} + B_{2} + P$ i ono iznosi $O = 100 + 16 + 112 = 228 {cm}^{2} .$

Zadatak 8.

Slika prikazuje posudu oblika krnje četverostrane piramide.

Posuda za cvijeće ima oblik krnje četverostrane piramide. Površina je dna (manje baze piramide) $8 {dm}^{2},$ a površina veće baze (otvora lonca) $18 {dm}^{2} .$ Duljina je bočnog brida posude $5 dm .$

Kolika je dubina te posude?

Slika prikazuje posudu za cvijeće i njen presjek.

Uz oznake kao na slikama i podatke iz zadatka vrijedi $a^{2} = 8$ pa je $a = \sqrt{8} dm$ i $d_{2} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = 4 dm .$ Nadalje je $c^{2} = 18$ pa je $c = \sqrt{18} dm$ i $d_{1} = \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = 6 dm .$

Istaknuti je presjek krnje piramide jednakokračni trapez čije su osnovice dijagonale baza, a krakovi su mu bočni bridovi te piramide.

Uz dobivene duljine dijagonala i poznatu duljinu bočnog brida, primjenom Pitagorina poučka dobiva se da je $h = \sqrt{5^{2} - 1^{2}} = \sqrt{24},$ tj. $h \approx 4.9 dm .$

Zatvori

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

prepoznati piramide u matematičkom kontekstu i izvan njega
imenovati piramide u matematičkom kontekstu i izvan njega
primijeniti svojstva piramida
koristiti mjerne jedinice u matematici i svakodnevnim situacijama
odrediti mjerljiva obilježja zadanih piramida
primijeniti mjerljiva obilježja i/ili svojstva piramida pri rješavanju problema iz matematike, drugih područja ili svakodnevnog života.

Za kraj, možete provjeriti svoje znanje rješavajući slučaj ubojstva u Egiptu.

Zadatak 9.

Tijekom važnog iskapanja na jednom od nalazišta u Egiptu dogodilo se ubojstvo. Ubijen je glavni arheolog, gospodin Žakšica. Riješite sve zadatke te pomoću rješenja eliminirajte osumnjičenike, oružja i lokacije (ona koja kraj sebe imaju zapisana broj koji odgovara rješenju nekog od zadataka). Na kraju će vam preostati ubojica, oružje kojim je počinjeno ubojstvo te lokacija na kojoj se ono odigralo.