3.1 Višekratnik i djelitelj

Što ću naučiti?

prepoznati i odrediti višekratnike prirodnog broja
prepoznati i odrediti djelitelje prirodnog broja
primijeniti djeljivost i tumačiti postupak koji provodim

Samostalno učenje

Procjena znanja

Sadržaj jedinice

Na početku...
Višekratnici
Djelitelji
...i na kraju

Na početku...

Tibor je odlučio prestati piti sok uz ručak. Umjesto toga pit će vodu, a $5 kn,$ koliko je plaćao sok uz ručak, svakog će dana stavljati u kasicu.

a) Koliko će Tibor uštedjeti za $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ $10$ dana?

b) Koliko će Tibor uštedjeti za $58$ dana?

c) Koliko će Tibor uštedjeti za $n$ dana ( $n \in N$ )?

a) Tibor će uštedjeti redom $5,$ $10,$ $15,$ $20,$ $25,$ $30,$ $35,$ $40,$ $45,$ $50$ $kn .$

b) Za $58$ dana Tibor će uštedjeti $58 \cdot 5 = 290 kn .$

c) Za $n$ dana Tibor će uštedjeti $5 \cdot n kn .$

Djelitelji

Primjer 1.

Učiteljica planira s učenicima koristiti geoploču te razmišlja koliko geoploča treba nabaviti. Svaka skupina koristit će se jednom geopločom. Ako su u razredu $24$ učenika, u koliko skupina može podijeliti učenike tako da ih u svakoj skupini bude jednak broj? Koliko će geoploča trebati nabaviti? Koliko će učenika biti u svakoj skupini?

Geoploča

Broj $24$ želimo napisati u obliku umnoška na sve načine.

$24 = 1 \cdot 24 = 2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 4 \cdot 6$

Prikažimo moguća rješenja tablično.

Broj skupina = broj geoploča	Broj učenika u skupini
$1$	$24$
$2$	$12$
$3$	$8$
$4$	$6$
$6$	$4$
$8$	$3$
$12$	$2$
$24$	$1$

Učiteljica može učenike iz razreda podijeliti u $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $8,$ $12$ ili $24$ skupina s jednakim brojem članova te nabaviti $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $8,$ $12$ ili $24$ geoploče. Broj učenika u pojedinoj skupini tada je redom $24,$ $12,$ $8,$ $6,$ $4,$ $3,$ $2$ ili $1 .$

Brojevi $1,$ $2,$ $3,$ $4$ , $6,$ $8,$ $12$ i $24$ dijele broj $24$ bez ostatka. Ti su brojevi djelitelji broja $24 .$

Također, kažemo da je broj $24$ djeljiv brojevima $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $8,$ $12$ i $24 .$

Djelitelj

Djelitelj nekoga prirodnog broja $n$ je broj koji dijeli broj $n$ bez ostatka.

Zadatak 5.

Poveži broj i njegove djelitelje.

djelitelji broja $12$	$1,$ $3,$ $5,$ $15$
djelitelji broja $18$	$1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $12$
djelitelji broja $15$	$1,$ $2,$ $3,$ $6,$ $9,$ $18$
djelitelji broja $4$	$1,$ $2,$ $4$

null

Zadatak 6.

Pečeni paprenjaci različitih oblika — Paprenjaci

Zadatak 7.

Katarina je diplomirala i organizira proslavu za svoju obitelj i prijatelje. Za tu je prigodu ispekla paprenjake. Ima ih više od $100,$ a manje od $120 .$ Izračunala je da se broj paprenjaka može podijeliti na sedam stolova tako da ih na svakom stolu bude jednak broj. Koliko je paprenjaka ispekla Katarina?

Broj paprenjaka je višekratnik broja $7 .$ Podijelimo li broj $100$ sa $7,$ dobit ćemo količnik $14$ i ostatak $2 .$ Prvi broj veći od $100$ koji je djeljiv brojem $7$ jednak je $100 - 2 + 7 = 105 .$ Sljedeći višekratnici broja $7,$ manji od $120,$ su brojevi $112$ i $119 .$ Dakle, Katarina je ispekla $105,$ $112$ ili $119$ paprenjaka.

Kolekcija zadataka #4

U jedan darovni paket Marija stavlja $15$ komada pralina. Ako je do sada upakirala više od $490,$ a manje od $500$ pralina, koliko je darovnih paketa složila?

Do sada je složila

poklon

paketa.

Pomoć:

Odredi višekratnik broja $15$ veći od $490,$ a manji od $500 .$

Postupak:

$500 : 15 = 33$ i ostatak $5 .$ Dakle, Marija je složila $33$ pakteta. Preostalo joj je $5$ pralina.

Neki simfonijski puhački orkestar broji više od $110,$ a manje od $120$ članova. Orkestar se postrojio u $13$ redova s jednakim brojem svirača. Koliko članova ima taj simfonijski puhački orkestar? Koliko je svirača u svakom od $13$ redova?

Simfonijski puhački orkestar ima

članova.

Pomoć:

Odredi višekratnik broja $13$ veći od $110$ a manji od $120$ .

Postupak:

$120 : 13 = 9$ i ostatak $3$ . Devet pomnoženo s $13$ je $117 .$ Puhački orkestar ima $117$ članova.

U svakom od

13

redova je

svirača.

Postupak:

120 : 13 = 9 i ostatak 3. Devet pomnoženo s 13 je 117. Puhački orkestar ima 117 članova. U svakom je redu 9 članova.

Neka je $A$ skup svih djelitelja broja $20,$ a $B$ skup svih djelitelja broja $25 .$ Upiši redom, od najmanjega do najvećega, članove presjeka i unije tih dvaju skupova.

A \cap B = {

}

Pomoć:

Presjek čine zajednički djelitelji dva zadana broja.

Postupak:

Članovi presjeka zadanih skupova su brojevi $1$ i $5 .$

A \cup B = {

}

Pomoć:

Uniju čine svi djelitelji broja 20 i svi djelitelji broja 25.

Postupak:

Članovi unije zadanih skupova su brojevi $1, 2, 4, 5, 10, 20 i 25 .$

Zadatak 8.

Može li presjek dvaju skupova djelitelja prirodnih brojeva biti prazan skup?

Ne. Broj $1$ je djelitelj svakog broja te je nužno član presjeka dvaju skupova djelitelja prirodnih brojeva. Iz toga zaključujemo da presjek ne može biti prazan skup.

...i na kraju

Ako želiš, istraži savršene brojeve i izradi plakat o njima.

Također, određivanje djelitelja i višekratnika možeš dodatno uvježbati s pomoću sljedećeg apleta.

Povećaj interaktivni prikaz

višekratnici broja $4$	$4,$ $8,$ $12,$ $16,$ $20,$ $24,$ $28,$ $32,$ $36,$ $40,$ $44,$ $48 ...$
višekratnici broja $9$	$7,$ $14,$ $21$ , $28,$ $35,$ $42,$ $49,$ $56,$ $63,$ $70 ...$
višekratnici broja $7$	$2,$ $4,$ $6,$ $8,$ $10,$ $12,$ $14,$ $16,$ $18,$ $20,$ $22,$ $24 ...$
višekratnici broja $2$	$9,$ $18,$ $27,$ $36,$ $45,$ $54,$ $63,$ $72,$ $81,$ $90 ...$

$B =$	$\{3, 4, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 20\}$
$A \cap B =$	$\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$
$A \cup B =$	$\{12\}$
$A =$	$\{4, 8, 12, 16, 20\}$

3.1 Višekratnik i djelitelj

Na početku...

Višekratnici

Višekratnik

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka #1

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka #2

Kutak za znatiželjne

Djelitelji

Primjer 1.