Matematika 5 - Aktivnosti za učenje

Na početku...

Učenici neke škole sudjeluju u humanitarnoj tomboli. Ako je broj na tomboli djeljiv brojem $2,$ nagrada je čokolada. Ako je broj na tomboli djeljiv brojem $3,$ nagrada je plišana igračka. Neki su učenici imali sreće i uz čokoladu dobili i plišanu igračku.

Dvostruki dobitak donose

brojevi

kojima je

znamenaka

djeljiv brojem

null

Dvostruki dobitak donose brojevi koji su višekratnici brojeva

1,

2,

3

null

Brojevi koji su djeljivi i brojem $2$ i brojem $3$ djeljivi su i brojem $6 .$

Još neka pravila djeljivosti

Osim dosad naučenih (osnovnih) pravila djeljivosti brojevima $2,$ $3,$ $5$ i $9,$ postoje i (složena) pravila djeljivosti brojevima $6,$ $15,$ $18,$ $45 ...$

Riješi sljedeće zadatke i otkrij ta pravila.

Ako je prirodan broj djeljiv brojem $2$ i brojem $3,$ taj je broj djeljiv brojem $6 .$

Ako je prirodan broj djeljiv brojem $3$ i brojem $5,$ taj je broj djeljiv brojem $15 .$

Ako je prirodan broj djeljiv brojem $2$ i brojem $9,$ taj je broj djeljiv brojem $18 .$

Ako je prirodan broj djeljiv brojem $5$ i brojem $9,$ taj je broj djeljiv brojem $45 .$

Primjer 1.

Odredimo sve peteroznamenkaste brojeve u obliku $\bar{12 a 5 b}$ djeljive brojem $15 .$

Da bi broj bio djeljiv brojem $15,$ mora biti djeljiv brojevima $3$ i $5 .$

Da bi broj bio djeljiv brojem $5,$ njegova znamenka jedinica mora biti $0$ ili $5 .$

Da bi broj bio djeljiv brojem $3,$ zbroj njegovih znamenaka mora biti djeljiv brojem $3 .$

Ako je znamenka $b = 0,$ onda zbroj $1 + 2 + a + 5 + 0 = a + 8$ mora biti djeljiv brojem $3 .$ To će biti ako je $a \in {1, 4, 7} .$ Traženi su brojevi $12 150,$ $12 450$ i $12 750 .$

Ako je znamenka $b = 5,$ onda zbroj $1 + 2 + a + 5 + 5 = a + 13$ mora biti djeljiv brojem $3 .$ To će biti ako je $a \in {2, 5, 8} .$ Traženi su brojevi $12 255,$ $12 555$ i $12 855 .$

Djeljivost zbroja i razlike

Primjer 2.

U jednoj se zdjeli nalazi $35$ oraha, a u drugoj ih je $15 .$ Je li moguće podijeliti sve te orahe na $5$ osoba? Ako jest, kako? Koliko će oraha dobiti svaka od tih osoba?

Orasi se mogu pravedno podijeliti na $5$ osoba. Svaka osoba s prve hrpe dobiva $35 : 5 = 7$ oraha, a s druge $15 : 5 = 3$ oraha. Dakle, dobiva $10$ oraha.

Orahe možemo staviti na jednu hrpu i na toj će ih hrpi biti $35 + 15 = 50$ oraha. Njih je moguće pravedno podijeliti na $5$ osoba i svaka će osoba dobiti $50 : 5 = 10$ oraha.

Primjer 3.

Petorica prijatelja skupila su po $20 kn$ i odlučila su kupiti $10$ pereca i $5$ bočica vode. Sve su platili $65 kn .$ Mogu li kupljenu robu i preostali novac podijeliti na jednake dijelove?

Prijatelji mogu pravedno podijeliti kupljene perece i bočice vode, svaki će dobiti $2$ pereca i $1$ bočicu vode. Preostali iznos je $100 - 65 = 35$ kuna. Budući da je broj $35$ djeljiv brojem $5,$ pravedno mogu podijeliti i preostali novac. Svaki će dobiti $7 kn .$

Ako su oba pribrojnika djeljiva nekim brojem, onda je i njihov zbroj djeljiv tim brojem.

Ako su i umanjenik i umanjitelj djeljivi nekim brojem, onda je i njihova razlika djeljiva tim brojem.

Ana dijeli $10$ jednakih bombona na $3$ hrpe po $3$ bombona, jedan ostavlja sa strane. Zatim dijeli još $8$ bombona stavljajući na svaku hrpu još $2$ bombona, dva "viška" ostavlja pokraj bombona preostalog iz prve podjele. Konačno, ta tri bombona dodaje na svaku hrpu po $1 .$

Primjer 4.

Je li moguće pravedno podijeliti sve orahe na $5$ osoba ako je u prvoj zdjeli $136$ oraha, a u drugoj $124$ oraha? Ako jest, kako?

Orasi se mogu pravedno podijeliti na $5$ osoba ako se svi orasi stave na istu hrpu pa se podijele na $5$ jednakih dijelova. Budući da je $124 + 136 = 260,$ a taj je broj djeljiv brojem $5,$ zaključujemo da se orasi mogu pravedno podijeliti na $5$ osoba.

Primjer 5.

Petorica prijatelja su u zajedničkoj kasici imala $106 kn,$ a na voće su potrošila $61 kn .$ Mogu li oni pravedno podijeliti ostatak novca na $5$ jednakih dijelova?

Prijateljima je u zajedničkoj kasici ostalo $106 - 61 = 45$ kuna. Taj je iznos djeljiv brojem $5$ pa ga oni mogu podijeliti na $5$ jednakih dijelova.

Zbroj dvaju brojeva može biti djeljiv nekim brojem a da ni jedan od pribrojnika nije djeljiv tim brojem.

Razlika dvaju brojeva može biti djeljiva nekim brojem a da ni umanjenik ni umanjitelj nisu djeljivi tim brojem.

Djeljivost umnoška

Primjer 6.

U $6$ jednakih bombonijera je po $10$ bombona. Možemo li te bombone pravedno podijeliti na $3$ osobe? Kako?

Podjelu možemo napraviti na dva načina.

Broj bombonijera $(6)$ djeljiv je brojem osoba $(3) .$ Prvi način podjele je da svaka osoba dobije $6 : 3 = 2$ bombonijere, tj. $20$ bombona.

Budući da je broj bombona $(60)$ djeljiv brojem osoba $(3),$ drugi je način da izvadimo svih $60$ bombona i podijelimo ih na $3$ osobe.

Primjer 7.

U $6$ jednakih bombonijera je po $10$ bombona. Možemo li te bombone pravedno podijeliti na $4$ osobe? Kako?

Budući da ni broj bombonijera $(6)$ ni broj bombona u bombonijeri $(10)$ nisu djeljivi brojem osoba $(4),$ podjelu možemo izvesti jedino tako da iz bombonijera izvadimo svih $60$ bombona i podijelimo ih na $4$ jednaka dijela. Svaka će osoba dobiti $60 : 4 = 15$ bombona.

Ako je jedan od faktora u umnošku djeljiv nekim prirodnim brojem, onda je i umnožak djeljiv tim istim prirodnim brojem.

Nijedan od faktora ne mora biti djeljiv zadanim brojem a da umnožak ipak bude djeljiv tim prirodnim brojem.

Zadatak 1.

Količina od $300 kg$ oraha spakirana je u platnene vreće od $75 kg .$ U svakoj platnenoj vreći nalaze se papirnate vrećice od $3 kg .$

a) Koliko je potrošeno platnenih, a koliko papirnatih vrećica?

b) Možemo li sve orahe spakirati u vrećice od $2 kg ?$

c) Možemo li sadržaj jedne platnene vreće prepakirati u papirnate vrećice od $2 kg ?$

d) Možemo li sve orahe spakirati u $6$ platnenih vreća tako da u svakoj bude jednaka količina oraha? Ako možemo, koliko će kilograma oraha biti u svakoj vreći i kakva bi pakiranja papirnatih vrećica bila moguća?

a) Potrošeno je $300 : 75 = 4$ platnene i $300 : 3 = 100$ papirnatih vreća.

b) Orahe je moguće spakirati u $300 : 2 = 150$ vrećica po $2 kg .$

c) Sadržaj jedne platnene vreće ne možemo spakirati u vrećice po $2 kg .$

d) Sve orahe možemo spakirati u $6$ platnenih vreća. Tada bi u svakoj vreći bilo po $50 kg$ oraha. Za pakiranje $50 kg$ oraha iz jedne platnene vreće mogle bi se koristiti papirnate vrećice od $1 kg,$ $2 kg,$ $5 kg,$ $10 kg$ i $25 kg .$

Pogodi moj broj

Primjer 8.

Koji broj zadovoljava svojstva:

višekratnik je broja $9$

manji je od $50$

kvadrat je složenog broja.

Višekratnici broja $9$ su $9,$ $18,$ $27,$ $36,$ $45,$ $54,$ $63,$ $72,$ $81,$ $90,$ $99 ...$

Manji od $50$ su $9,$ $18,$ $27,$ $36$ i $45 .$

Kvadrat složenog broja je samo $36 .$

Dakle, traženi je broj $36 .$

Zadatak 2.

Koji broj zadovoljava uvjete:

Broj je troznamenkast.

Djeljiv je brojevima $3,$ $7$ i $8 .$

Zbroj znamenaka tajanstvenog broja iznosi $9 .$

To je broj $504 .$

Zadatak 3.

Istraži povezanost dvoznamenkastog završetka prirodnog broja i djeljivosti prirodnog broja brojem $4$ .

Dvoznamenkasti završetak svakog višekratnika broja $4$ djeljiv je brojem $4 .$

Ako je dvoznamenkasti završetak prirodnog broja djeljiv brojem $4,$ onda je i taj prirodni broj djeljiv brojem $4 .$

...i na kraju

Razvrstaj brojeve.

$24$

$318$

$1 364$

$57$

$46$

$126$

$13$

$789$

$300$

$60$

$72$

$1 202$

$219$

$433$

$10$

$4 235$

$530$

$108$

Djeljivi brojem $2,$ ali ne i brojem $4$

Djeljivi brojem $4$

nisu djeljivi ni brojem $2$ ni brojem $4$

null

null
Svaki paran broj djejiv je brojem $4 .$

Da

Ne

null

null
Ako je prirodan broj djeljv brojem $4,$ onda je djeljiv i brojem $2 .$

Da

Ne

null

null

$A$ $=$ ${$ $x$ $\in$ $S$ $:$ $x$ $je$ $djeljiv$ $brojem$ $2$ $}$	${$ $10,$ $20,$ $60,$ $90,$ $120$ $}$
$C$ $=$ ${$ $x$ $\in$ $S$ $:$ $x$ $je$ $djeljiv$ $brojem$ $5$ $}$	${$ $6,$ $9,$ $15,$ $18,$ $42,$ $45,$ $48,$ $54,$ $60,$ $72,$ $75,$ $90,$ $105,$ $120$ $}$
$D$ $=$ ${$ $x$ $\in$ $S$ $:$ $x$ $je$ $djeljiv$ $brojem$ $9$ $}$	${$ $2,$ $6,$ $10,$ $18,$ $20,$ $42,$ $48,$ $54,$ $60,$ $72,$ $92,$ $98,$ $120$ $}$
$E$ $=$ ${$ $x$ $\in$ $S$ $:$ $x$ $je$ $djeljiv$ $brojem$ $10$ $}$	${$ $5,$ $10,$ $15,$ $20,$ $25,$ $45,$ $60,$ $75,$ $90,$ $105,$ $120$ $}$
$B$ $=$ ${$ $x$ $\in$ $S$ $:$ $x$ $je$ $djeljiv$ $brojem$ $3$ $}$	${$ $9,$ $18,$ $45,$ $54,$ $72,$ $90$ $}$

$A \cap B =$
$A \cap C =$
$A \cap D =$
$B \cap C =$
$C \cap D =$

3.5 Aktivnosti za učenje

Na početku...

Još neka pravila djeljivosti

Kolekcija zadataka #1

Primjer 1.

Djeljivost zbroja i razlike

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Primjer 5.

Djeljivost umnoška

Primjer 6.

Primjer 7.

Zadatak 1.

Pogodi moj broj

Primjer 8.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

...i na kraju

Djeljivi brojem $2,$ ali ne i brojem $4$

Djeljivi brojem $4$

nisu djeljivi ni brojem $2$ ni brojem $4$

Na početku...

Još neka pravila djeljivosti

Kolekcija zadataka #1

Primjer 1.

Djeljivost zbroja i razlike

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Primjer 5.

Djeljivost umnoška

Primjer 6.

Primjer 7.

Zadatak 1.

Pogodi moj broj

Primjer 8.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

...i na kraju

Djeljivi brojem 2 , ali ne i brojem 4

Djeljivi brojem 4

nisu djeljivi ni brojem 2 ni brojem 4

Djeljivi brojem $2,$ ali ne i brojem $4$

Djeljivi brojem $4$

nisu djeljivi ni brojem $2$ ni brojem $4$