Postupno skraćivanje razlomka

Primjer 1.

Na temelju crteža iz uvodnog zadatka zaključili smo da razlomci $\frac{4}{8}$ i $\frac{1}{2}$ imaju istu vrijednost pa možemo pisati $\frac{4}{8} = \frac{1}{2} .$

Možeš li računskim postupkom, bez crtanja, od $\frac{4}{8}$ dobiti $\frac{1}{2} ?$

I brojnik i nazivnik možemo podijeliti brojem $4 .$

Pišemo $\frac{4 : 4}{8 : 4} = \frac{1}{2}$ .

Taj se postupak naziva skraćivanje.

Skraćivanje razlomka

Skratiti razlomak znači i brojnik i nazivnik podijeliti istim brojem. Dobiveni i dani razlomak imaju istu vrijednost.

Kolekcija zadataka #1

Kojim brojem treba skratiti razlomak $\frac{8}{24}$ da bismo dobili $\frac{2}{6}$ ?

$2$

$4$

$8$

null

Skraćivanjem razlomka njegova vrijednost

.

null

Označi sve razlomke koji imaju istu vrijednost kao $\frac{4}{12} .$

$\frac{1}{4}$

$\frac{2}{6}$

Dani razlomak skraćen je brojem

$2 .$

$\frac{1}{3}$

Dani razlomak skraćen je brojem

$4 .$

null

Želiš li obojiti $\frac{15}{30}$ pravokutnika, je li potrebno pravokutnik dijeliti na $30$ jednakih dijelova ili to možeš učiniti jednostavnije?

Ne postoji jednostavniji način.

Podijelit ću na

$10$ jednakih dijelova i obojiti

$3 .$

Podijelit ću na

$2$ jednaka dijela i obojiti

$1 .$

Pomoć:

Nacrtaj pravokutnik i podijeli ga na $30$ jednakih dijelova. Najjednostavnije ćeš to učiniti koristiš li aritmetičku bilježnicu (bilježnicu s kvadratićima) i nacrtaš pravokutnik kojemu su duljine stranica npr. $10$ i $3$ kvadratića ili $5$ i $6$ kvadratića.

null

Primjer 2.

Skrati razlomke:

a. $\frac{7}{9}$ i

b. $\frac{12}{18} .$

a. Razlomak $\frac{7}{9}$ nije moguće skratiti jer $7$ i $9$ nemaju zajedničkih djelitelja osim broja $1 .$ Takav razlomak naziva se neskrativ razlomak.

b. Razlomak $\frac{12}{18}$ može se skratiti na više načina jer $12$ i $18$ imaju više zajedničkih djelitelja (osim broja $1$ ), a to su $2,$ $3$ i $6 .$

$\begin{array}{l} \circ & \frac{12}{18} = \frac{12 : 2}{18 : 2} = \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3} \\ \circ & \frac{12}{18} = \frac{12 : 3}{18 : 3} = \frac{4 : 2}{6 : 2} = \frac{2}{3} \\ \circ & \frac{12}{18} = \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3} \end{array}$

Dobiveni razlomak $\frac{2}{3}$ ne može se dalje skratiti jer brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih djelitelja osim broja $1$ (s kojim nema smisla skraćivati). Za takav razlomak kažemo da je neskrativ ili da je skraćen dokraja.

Skrativ razlomak

Razlomak je skrativ ako se može skratiti, odnosno ako brojnik i nazivnik danog razlomka imaju barem jedan zajednički djelitelj osim broja $1 .$

Neskrativ razlomak

Razlomak je neskrativ ako je brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih djelitelja osim broja $1 .$ Za takav razlomak može se reći da je skraćen dokraja.

Kolekcija zadataka #2

Za brzo i lako skraćivanje razlomaka potrebno je poznavati pravila djeljivosti. Povlačenjem dijelova rečenica načini točne tvrdnje.

Prirodni broj je djeljiv s $2$	ako je zbroj njegovih znamenaka djeljiv s $9 .$
Prirodni broj djeljiv je brojem $10$	ako je zbroj njegovih znamenaka djeljiv s $3 .$
Prirodni broj djeljiv je brojem $5$	ako je posljednja njegova znamenka $0$ ili $5 .$
Prirodni broj je djeljiv s $3$	ako je posljednja njegova znamenka $0 .$
Prirodni broj djeljiv je brojem $9$	ako je posljednja njegova znamenka $0,$ $2,$ $4,$ $6$ ili $8 .$

null

Razvrstaj dane razlomke.

$\frac{5}{13}$

skrativ razlomak

neskrativ razlomak

Pomoć:

Za svaki razlomak provjeri jesu li brojnik i nazivnik djeljivi istim brojemrazličitim od $1$ . Ako jesu, razlomak je skrativ.

null

Zadane elemente dovuci na mjesto nepoznatog broja kako bi jednakosti bile točne.

$9$

$4$

$1$

$3$

Pomoć:

Razlomci su skraćeni redom brojevima: $2,$ $12,$ $7$ i $6 .$

null

Skrati razlomak $\frac{40}{60} .$

$\frac{40}{60} = \frac{40 : 10}{60 : 10} = \frac{4 : 2}{6 : 2} = \frac{2}{3}$

Skraćivanje razlomka možemo naznačiti i na drukčiji način.

Uočimo zajednički djelitelj brojnika i nazivnika, ali ga ne zapisujemo.
Prekrižimo brojnik i nazivnik, a pored svakoga od njih zapišemo rezultat dijeljenja.
Nastavljamo skraćivati dokraja, odnosno do neskrativog razlomka

npr.

$\frac{40^{4^{2}}}{60_{6_{3}}} = \frac{2}{3} .$

U prvom su stupcu dani skrativi razlomci. Skrati svaki od njih i pridruži ih odgovarajućem neskrativom razlomku iz drugog stupca.

$\frac{35}{30} =$	$\frac{1}{15}$
$\frac{42}{49} =$	$\frac{3}{5}$
$\frac{36}{60} =$	$\frac{7}{6}$
$\frac{3}{45} =$	$\frac{6}{7}$

null

Brojnik i nazivnik neskrativog razlomka relativno su prosti brojevi.

Skraćivanje razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem

Želimo li izbjeći postupno skraćivanje, posebice kod razlomaka koji imaju dvoznamenkaste (ili višeznamenkaste) nazivnike i brojnike, možemo prvo odrediti najveći mogući broj koji je djelitelj i brojnika i nazivnika pa izvršiti skraćivanje odjednom.

Taj je broj najveći zajednički djelitelj zadanih brojeva.

Najveći zajednički djelitelj

Najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$ je najveći broj s kojim su djeljivi i broj $a$ i broj $b$ .

Najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$ označavamo s $D (a, b) .$

Primjer 3.

Skrati razlomak $\frac{72}{90}$ najvećim zajedničkim djeliteljem brojnika i nazivnika.

Uputa:

1. Odredi $D (72, 90)$ (pomoć, prema potrebi, potraži u rješenju primjera).

2. Skrati razlomak dobivenim brojem.

S obzirom na to da su brojnik i nazivnik veći dvoznamenkasti brojevi, nije svima jednostavno napamet odrediti da je najveći mogući broj s kojim su oba djeljivi broj $18 .$

Postupak određivanja $D (72, 90)$ možeš proučiti uz animaciju koja slijedi.

$\frac{72^{4}}{90_{5}} = \frac{4}{5}$

00:00

D(a,b) rastavljanjem na faktore

U animaciji je prikazan postupak nalaženja najvećega zajedničkog djelitelja primjenom tablice množenja, odnosno rastavljanjem brojeva na faktore (ne nužno proste), ali to nije i jedini mogući način.

Najveći zajednički djelitelj neka dva broja možeš odrediti na više načina. Najčešće se primjenjuju postupci:

1. napamet

2. rastavljanjem na faktore (primjena tablice množenja) te

3. primjena postupka s crtom.

Primjer 4.

Skrati odjednom razlomak $\frac{2 400}{3 600} .$

$\frac{2400^{: 1200}}{3600_{: 1200}} = \frac{2}{3}$

Najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika je $1200$ pa je trebalo i brojnik i nazivnik podijeliti tim brojem.

Je li ti bilo teško odrediti najveći zajednički djelitelj? Ako je, sljedeća animacija ti može pomoći.

Animacija koja slijedi prikazuje postupak s crtom koji ti može olakšati nalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojnika i nazivnika zadanog razlomka.

00:00

Uvježbajmo

Skrati dokraja zadane razlomke, a na poleđini kartice provjeri točnost dobivenog rješenja.

$\frac{105}{120} =$

Raspisan je postupak nalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva 105 i 120.

$\frac{36}{54} =$

Raspisan je postupak nalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva 36 i 54.

$\frac{490}{630} =$

Brojevi 490 i 630 prikazani kao umnošci s brojem 70

$\frac{48}{32} =$

Raspisan je postupak nalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva 48 i 32.

Primjena

Primijeni naučeno u sljedećim problemskim zadatcima.

Kolekcija zadataka #3

U kartografiji omjer duljina na karti prema odgovarajućim duljinama u prirodi nazivamo mjerilom. Odredi mjerilo geografske karte ako $5 cm$ na karti predstavlja $1250 km$ u prirodi i prikaži ga razlomkom skraćenim dokraja.

Nakon što postaviš omjer, ne zaboravi uskladiti mjerne jedinice.

$5 cm : 1 250 km = 5 cm : 125 000 000 cm = \frac{5 cm}{125 000 000 cm}$

Sada razlomak možeš skratiti.

$\frac{{5 cm}^{1}}{{125000000 cm}_{25000000}} = \frac{1}{25 000 000}$

Koliko je puta $20 lp$ manje od $30 kn ?$

Zanima li nas koliko je puta jedna veličina manja od druge, to možemo odrediti s pomoću omjera.

$20 lp : 30 kn = 20 lp : 3000 lp = 20 : 3000 = \frac{20^{2}}{3000_{300}} = \frac{2^{1}}{300_{150}} = \frac{1}{150}$

Iz konačnog zapisa očitavamo da je $20 lp$ manja $150$ puta od $30 kn .$

Kamera sa senzorom postavljena na ulaz na parkiralište očitala je da je od prvih $200$ vozila koja su ušla na parkiralište, njih $160$ bilo crvene boje. Iskaži postotkom udio crvenih vozila na parkiralištu.

$40 %$

$75 %$

$80 %$

Pomoć:

Zapiši omjer kao razlomak, a potom ga skrati tako da nazivnik bude broj $100$ .

null

Projekt

Geografske karte mogu biti tiskane u različitim veličinama. Istraži mjerila koja se koriste na zidnim geografskim kartama, kartama koje su uvezane u atlas ili kartama koje su presavijene u knjižicu. Osmisli nekoliko zadataka koji su vezani uz tvoje istraživanje i podijeli ih s razrednim kolegama.

...i na kraju

procijeni svoje znanje prije prelaska na sljedeću jedinicu!

4.2 Skraćivanje razlomaka

Na početku...

Postupno skraćivanje razlomka

Primjer 1.

Skraćivanje razlomka

Kolekcija zadataka #1

Primjer 2.

Skrativ razlomak

Neskrativ razlomak

Kolekcija zadataka #2

skrativ razlomak

neskrativ razlomak

Skraćivanje razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem

Najveći zajednički djelitelj

Primjer 3.

Primjer 4.

Uvježbajmo

Primjena

Kolekcija zadataka #3

Projekt

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

$D (48, 60) =$	$12$
$D (18, 24) =$	$4$
$D (64, 44) =$	$6$
$D (35, 18) =$	$1$