4.6 Aktivnosti za samostalno učenje

Što ću naučiti?

izračunati najmanji zajednički višekratnik i primjeniti svojstva djeljivosti prirodnih brojeva
proširiti i skratit razlomke te primijeniti postupak svođenja na zajednički nazivnik
primijeniti različite zapise nenegativnih racionalnih brojeva
primijeniti uspoređivanje nenegativnih racionalnih brojeva

Samostalno učenje

Procjena znanja

Sadržaj jedinice

Na početku...
Riješi, provjeri, podijeli
D ( a , b ) i $V (a, b)$ - posebni slučajevi" title=" $D (a, b)$ i $V (a, b)$ - posebni slučajevi"> $D (a, b)$ i $V (a, b)$ - posebni slučajevi
V ( a , b ) i $D (a, b)$ uz pomoć Vennovih dijagrama" title=" $V (a, b)$ i $D (a, b)$ uz pomoć Vennovih dijagrama"> $V (a, b)$ i $D (a, b)$ uz pomoć Vennovih dijagrama
Projekt
...i na kraju

Na početku...

Tvoje poznavanje razlomaka sve je bogatije.

Sada već znaš:

skratiti razlomak zadanim brojem
skratiti razlomak do kraja (postupno i odjedanput)
proširiti razlomak na zadani nazivnik ili brojnik
svesti razlomke na jednake nazivnike
zapisati razlomak različitim zapisima (decimalni broj, mješoviti broj, postotak, promil)
usporediti razlomke
primijeniti u zadacima zadanima u određenom kontekstu

Uskoro ćeš naučiti i računati s razlomcima. No, prije računanja, ponovi naučeno i proširi svoje znanje.

Riješi, provjeri, podijeli

Rješavanjem zadataka utvrdi svoje znanje o razlomcima i, na taj način, pripremi se za računanje s razlomcima.

Svakako provjeri dobivena rješenja ili ih usporedi s rješenjima koja su dobili drugi učenici. Podijeli svoje znanje s njima ili zamoli za pomoć pri rješavanju onih zadataka koji su tebi bili zahtjevni.

Kolekcija zadataka #1

Koji od navedenih brojeva nema istu vrijednost kao $3 \frac{1}{5} ?$

\frac{16}{5}

32 %

3.2

Pomoć:

Zapiši broj u obliku razlomka pa proširi kako bi nazivnik bio dekadska jedinica.

Postupak:

$3 \frac{1}{5} = \frac{16^{\cdot 2}}{5_{\cdot 2}} = \frac{32^{\cdot 10}}{10_{\cdot 10}} = \frac{320}{100} = 3.2 = 320 %$

Razlomke $\frac{7}{12}$ i $\frac{5}{18}$ svedi na zajednički nazivnik pa usporedi.

Prije svega, potrebno je odrediti zajednički nazivnik. Ranije je dogovoreno da je najpraktičnije odrediti najmanji zajednički višekratnik. Možeš pritom koristiti bilo koji od postupaka koji su opisani u jedinici 4.3. Proširivanje razlomaka.

$V (12, 18) = 36$

$\frac{7^{\cdot 3}}{12_{\cdot 3}} = \frac{21}{36}$

$\frac{5^{\cdot 2}}{18_{\cdot 2}} = \frac{10}{36}$

$\frac{7}{12} > \frac{5}{18}$

Zadane razlomke skrati do kraja.

a) $\frac{18}{90}$

b) $\frac{42}{14}$

c) $7 \frac{5}{35}$

Razlomke možeš skratiti odjedanput ili postupno.

Skraćuješ li postupno, redoslijed odabira broja kojim skraćujemo ne mora biti onaj koji je predložen u rješenju, ali rješenje je jedinstveno.

a) Lako je uočiti da su i brojnik i nazivnik djeljivi s $9$ pa vrijedi $\frac{18^{2}}{90_{10}} .$ Sada i brojnik i nazivnik možemo još podijeliti brojem $5$ pa do kraja skraćeni razlomak glasi $\frac{1}{5} .$

b) I brojnik i nazivnik djeljivi su brojem $7 .$ Skratimo: $\frac{42^{6}}{14_{2}} = 3 .$ Rješenje je prirodni broj pa zaključujemo da je zadani razlomak prividni razlomak.

c) Mješoviti broj možeš zapisati u obliku razlomka, ali jednostavnije je skratiti samo pravi razlomak. $7 \frac{5^{1}}{35_{7}} = \frac{50}{7}$

Usporedi zadane brojeve. Obrazloži svoj način razmišljanja.

<

<

<

\frac{21}{4}

13 %

4.2

\frac{7}{8}

Pomoć:

Najprije uoči brojeve koji su manji od jednog cijelog. Usporedi ih tako da razmisliš koji je od njih bliže broju $1 .$

Koliko cijelih imaju preostali brojevi?

Dora je tijekom ljetovanja potrošila $60 %$ svog džeparca, a Karla je potrošila $\frac{2}{5}$ novca koji je ponijela. Koja je od njih dvije više potrošila?

Karla

Dora

Ne možemo biti sigurni

Pomoć:

Znamo li koliko je koja od njih imala novaca na početku ljetovanja?

Postupak:

Možemo usporediti brojeve $60 %$ i $\frac{2}{5},$ ali ne i potrošene iznose jer ne znamo koliki je iznos svaka od njih imala na početku. Uspoređivanje bi bilo moguće da je naglašeno da su imale isti iznos novca.

$D (a, b)$ i $V (a, b)$ - posebni slučajevi

Određivanje najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja imaju značajnu ulogu za računske radnje s razlomcima.

Postoji nekoliko posebnih situacija u kojima se $D (a, b)$ i $V (a, b)$ mogu odrediti vrlo jednostavno, napamet. Potrebno je samo uočiti međusoban odnos zadanih brojeva.

U sljedećim zadacima pažljivo prouči odnose među brojevima te dopuni rečenice.

Kolekcija zadataka #2

Zadani su brojevi $12$ i $6 .$

Broj $6$ je

broja

12 .

Broj

12

broja

6 .

Broj

je djeljiv brojem

.
Broj

6

zajednički djelitelj brojeva

6

12,

a broj

12

je njihov

zajednički višekratnik.

višekratnik

6

djelitelj

12

najveći

najmanji

null

Zadani su brojevi $24$ i $8 .$

Broj $24$ je

broja

8

pa je ujedno i

zajednički višekratnik, tj.

= 24 .

Broj

8

broja

24

pa je ujedno i

zajednički djelitelj zadanih brojeva tj.

= 8 .

Broj

djeljiv je brojem

D (24, 8)

najmanji

višekratnik

8

24

najveći

djelitelj

V (24, 8)

null

Ako za dva broja vrijedi odnos da je jedan od njih višekratnik drugome, tada je manji od zadanih brojeva njihov

zajednički

a veći od zadanih brojeva njihov je

zajednički

null

Dopuni jednakosti upisivanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika zadanih brojeva.

V (7, 4) =

V (5, 8) =

,

V (8, 9) =

,

V (7, 6) =

Pomoć:

Uoči da su svi parovi brojeva relativno prosti brojevi pa nemaju zajedničkih djelitelja.

null

Odaberi točan naziv za brojeve koji nemaju zajedničkih djelitelja osim broja $1 .$

prosti brojevi

složeni brojevi

relativno prosti brojevi

Pomoć:

Samo jedan od ova tri naziva govori o međusobnom odnosu dvaju brojeva (ili više njih).

Ako su zadana dva prosta broja, možemo reći da su to relativno prosti brojevi.

Tvrdnja vrijedi:

nikada

Ne. Npr. I broj

5

i broj

3

su prosti brojevi, a međusobno su relativno prosti (jer im je jedini zajednički djelitelj broj

1

uvijek

Ne. Npr. Broj

8

i broj

9

nisu prosti brojevi, ali namaju zajedničkih djelitelja osim broja

1

pa jesu relativno prosti.

ponekad.

Najmanji zajednički višekratnik relativno prostih brojeva njihov je

Pomoć:

Npr. $V (7, 4) = 28$

null

Za prirodne brojeve $a$ i $b,$ gdje je broj $a$ višekratnik broja $b$ , vrijedi $V (a, b) = a$ i $D (a, b) = b .$

Ako su $a$ i $b$ relativno prosti brojevi, vrijedi $V (a, b) = a \cdot b$ i $D (a, b) = 1 .$

$V (a, b)$ i $D (a, b)$ uz pomoć Vennovih dijagrama

Zanimljivost

Vennovi dijagrami koriste se u raznim područjima znanosti i filozofije. Ime su dobili prema britanskom matematičaru, logičaru i filozofu Johnu Vennu (1834.-1923.).

Prouči kako, pomoću rastavljanja brojeva na proste faktore i Vennovih dijagrama, možeš jednostavno odrediti najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva.

Odredimo $V (16, 20)$ i $D (8, 20) .$

1. korak

Rastavi zadane brojeve na proste faktore.

$16 = 4 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

$20 = 4 \cdot 5 = 2 \cdot 2 \cdot 5$

2. korak

Nacrtaj dva skupa koja se sijeku. Imenuj ih tako da oznake skupova odgovaraju zadanim brojevima.

Dva skupa koja se sijeku, imenovani kao 16 i 20.

3. korak

U presjek skupova upiši zajedničke djelitelje zadanih brojeva.

U presjeku skupova su dva broja 2, a brojevi 16 i 20 rastavljeni na proste faktore.

4. korak

Upiši preostale proste faktore u one dijelove skupova koji ne sadrže presjek, pazeći pritom koji faktori pripadaju kojem skupu/broju.

Vennovim dijagramima prikazan rastav brojeva 16 i 20 na proste faktore.

5. korak

Najveći zajednički djelitelj umnožak je elemenata unije skupova.

Najmanji zajednički djelitelj umnožak je elemenata presjeka skupova.

Određivanje V(16,20) i D(16,20) pomoću Vennovih dijagrama.

D (16, 20) =

V (16, 20) =

null

Zadatak 1.

Uz pomoć opisane metode riješi zadatke iz jedinica 4.2. i 4.3. pa usporedi dobivena rješenja.

Projekt

Prethodno opisanim postupkom, uz pomoć Vennovih dijagrama, istraži pa prikaži postupak određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika i najvećeg zajedničkog djelitelja za zadana tri broja. Rezultate svog rada prikaži na plakatu ili prezentiraj razrednim kolegama koristeći neki od digitalnih alata.

Istražimo

Beskonačni decimalni zapis

Otprije znaš da neki razlomci imaju beskonačan decimalni zapis. Riješi sljedeći zadatak i pokušaj objasniti zapis u desnom stupcu. Usporedi svoje mišljenje s mišljenjima razrednih kolega.

Zapiši zadane razlomke kao decimalne brojeve, a zatim im pridruži odgovarajući zapis.

$\frac{16}{13} =$	$2 . \dot{3}$
$\frac{7}{3} =$	$1 . \dot{2} 3076 \dot{9}$
$\frac{6}{7} =$	$0 . \dot{4} \dot{5}$
$\frac{5}{11} =$	$0 . \dot{8} 5714 \dot{2}$
$\frac{15}{37} =$	$0 . \dot{4} 0 \dot{5}$

Pomoć:

Pri dijeljenju brojnika nazivnikom, potrebno je izračunati dovoljan broj decimala kako bi se uočilo ponavljanje znamenki.

null

Kutak za znatiželjne

Potencije broja $10$ s negativnim cjelobrojnim eksponentom

Oni, koji su bili znatiželjni, u jedinici 3.4. Potencije baze 10 mogli su naučiti računati s potencijama baze $10$ kojima je eksponent negativan cijeli broj.

Uvježbajmo uspoređivanje takvih brojeva.

Usporedi brojeve koristeći znakove $<,$ $>$ ili $= .$

$0.01$

$10^{- 2}$
$10^{- 3}$

$\frac{1}{10}$
$10^{0}$

$10^{- 4}$
$10^{- 5}$

$0.001$
$\frac{1}{10^{3}}$

$10^{- 3}$
$10^{- 8}$

$10^{- 10}$

Pomoć:

Za uspješno rješavanje ovih zadataka, potrebno je proučiti Za znatiželjne iz modula Potencije baze 10.

null

...i na kraju

Ponovimo.

Najmanji zajednički višekratnik dva relativno prosta broja njihov je

null

Ako je broj $a$ djelitelj broja $b,$ tada je $V (a, b) =$

D (a, b) =

null

Prije nego se upustiš u računanje s razlomcima, potraži ikonu Procijeni svoje znanje i provjeri koliko je potpuno tvoje znanje o razlomcima.

Na početku...

Riješi, provjeri, podijeli

Kolekcija zadataka #1

D ( a , b ) i V a , b - posebni slučajevi

Kolekcija zadataka #2

V ( a , b ) i D a , b uz pomoć Vennovih dijagrama

Zanimljivost

Zadatak 1.

Projekt

Istražimo

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

$D (a, b)$ i $V (a, b)$ - posebni slučajevi

$V (a, b)$ i $D (a, b)$ uz pomoć Vennovih dijagrama