Na što te podsjeća trasa po kojoj vozi autobus?
Brojevni pravac je
Pomoć:
Zamisli da je cesta pravac, a stanice uzastopni cijeli brojevi.
Točku s brojem 0 označimo slovom O, a točku s brojem 1 označimo slovom E, kao na slici.
Pridruživanje brojeva točkama pravca zapisujemo kao O(0) i E(1). U tom zapisu broj 0 nazivamo koordinata točke O, a broj 1 nazivamo koordinata točke E.
Riječ koordinata dolazi od latinske riječi coordinare što znači uskladiti.
Točka O(0) je
Pomoć:
Razmisli i pogledaj slike brojevnih pravaca.
Točku
O(0) zovemo ishodište, a točku
E(1) jedinična točka brojevnog pravca.
Duljina dužine ¯OE
Pomoć:
Razmisli i pogledaj slike brojevnih pravaca.
Dužinu
¯OE nazivamo jediničnom dužinom. Duljinu jedinične dužine označavamo
|OE|. Duljina jedinične dužine označava udaljenost uzastopnih cijelih brojeva na zadanom brojevnom pravcu.
Odabirom ishodišta i jedinične dužine kažemo da smo organizirali brojevni pravac ili koordinatni sustav na pravcu.
Na brojevnom pravcu zadane jedinične dužine
¯OE upiši točku
A tako da bude pridružena broju
2, točku
B da bude pridružena broju
4 i točku
C tako da bude pridružena broju
7.
Pomoć:
Broj zapiši ispod označene točke na pravcu, a slovo iznad točke na pravcu.
Postupak:
Pazi da ostaviš prazna mjesta za neoznačene cijele brojeve.
Pridruživanje brojeva točkama pravca zapisujemo kao A(
Pomoć:
U zagradu zapiši broj koji je pridružen točkama pravca kako je zadano u tekstu zadatka.
Koordinata točke
Ako je nekom broju x pridružena točka T na brojevnom pravcu, to zapisujemo kao T(x). Broj x je koordinata točke T.
Osim cijelih brojeva, točkama brojevnog pravca možemo pridružiti i razlomke.
Pridruži razlomke točkama pravca.
Pomoć:
Pogledaj brojevni pravac i razmisli na koliko je dijelova podijeljena jedinična dužina.
Odredi najbliže cijele brojeve između kojih se nalaze zadani razlomci. Spoji parove.
213
|
Između 0 i 1 |
103
|
Između 1 i 2 |
53
|
Između 2 i 3 |
23
|
Između 3 i 4 |
Pomoć:
Svaki nepravi razlomak zapiši u obliku mješovitog broja, dobro ga pročitaj i razmisli. Pravi razlomak nalazi se između
0 i
1.
Postupak:
103=313
53=123
Ucrtaj na brojevni pravac točke
A(213),
B(103),
C(23) i
D(53).
Pomoć:
Ispod točke na brojevnom pravcu upiši koordinatu (broj), iznad upiši ime točke (slovo).
Postupak:
Razlomak zapiši u obliku mješovitog broja.
Ako razlomci nemaju jednake nazivnike, svedemo ih na najmanji zajednički nazivnik.
Primjer 1.
Ucrtaj na brojevni pravac točke A(32), B(212), C(23) i D(116). Zadatak pokušaj riješiti samostalno u bilježnicu, zatim provjeri svoje rješenje.
Najmanji zajednički nazivnik je
V(2,3,6)=6. Razlomke, koje treba, zapišemo u obliku mješovitog broja da bismo mogli lakše odrediti između kojih se najbližih cijelih brojeva nalaze. Nakon toga ih svedemo na najmanji zajednički nazivnik.
32=112=136,
212=236,
23=46,
116=156.
Zatim te brojeve ucrtamo na brojevni pravac. Jediničnu dužinu podijelimo na šest jednakih dijelova, odnosno na šestine. Točku A ucrtamo između 1 i 2 na trećoj šestini brojeći od 1, točku B ucrtamo između 2 i 3 na trećoj šestini brojeći od 2, točku C ucrtamo između 0 i 1 na četvrtoj šestini brojeći od 0 i točku D ucrtamo između 1 i 2 na petoj šestini brojeći od 1. Na brojevni pravac zapišemo koordinate koje su zadane u zadatku.
Ucrtaj na brojevni pravac točke
A(118),
B(12),
C(78) i
D(74).
Točka A nalazi se između
Pomoć:
Koordinate točaka zapiši u obliku mješovitog broja.
Postupak:
118=138
74=134
Najmanji zajednički nazivnik razlomaka u zadatku je:
Pomoć:
Izračunaj najmanji zajednički višekratnik svih nazivnika u zadatku.
Postupak:
V(2,4,8)=8
Jediničnu dužinu podijelimo na
Pomoć:
Jediničnu dužinu poodijelimo na onoliko dijelova koliki je najmanji zajednički nazivnik svih razlomaka u zadatku.
Postupak:
V(2,4,8)=8
Pomoć:
Iznad brojevnog pravca stavi ime točke (slovo), a ispod brojevnog pravca stavi njenu koordinatu (broj).
Postupak:
A(118) smjesti između
1 i
2 na treću osminu od
1,
B(12) smjesti između
0 i
1 na četvrtu osminu od
0,
C(78) smjesti između
0 i
1 na sedmu osminu od
0 i
D(74) smjesti između
1 i
2 na šestu osminu od
1.
Ucrtaj točke
A(32),
B(83),
C(216) i
D(54) na brojevni pravac.
Zadatak pokušaj riješiti samostalno u bilježnicu, a zatim provjeri svoje rješenje.
L
|
(173) |
A
|
(296) |
N
|
(133) |
P
|
(112) |
Pomoć:
Uočit ćeš da je jedinična dužina podijeljena na šestine i da su svi brojevi između
4 i
6. Ucrtane koordinate zapiši u obliku mješovitog broja s nazivnikom
6 , zatim skrati do kraja i zapiši u obliku nepravog razlomka.
Postupak:
426=413=133
456=296
536=512=112
546=523=173
Primjer 2.
Ucrtaj na brojevni pravac točke A(5.6), B(0.4), C(6.7), D(8.2) i F(3.5). Zadatak pokušaj riješiti samostalno u bilježnicu, a zatim provjeri svoje rješenje.
U bilježnici je najlakše uzeti
10mm za jediničnu dužinu, tada je desetina jedinične dužine
1mm. Točka
A je udaljena
6mm (
6 desetina) od broja
5, točka
B je udaljena
4mm (
4 desetine) od nule, točka
C je udaljena
7mm (
7 desetina) od broja
6, točka
D je udaljena
2mm (
2 desetine) od broja
8 i točka
F je udaljena
5mm (
5 desetina) od broja
3.
Ako decimalni brojevi imaju više decimala, možemo ih zaokružiti na jednu decimalu. Ako su brojevi jako blizu i brojevni pravac s jediničnom dužinom duljine
10mm je nepregledan, za duljinu jedinične dužine možemo uzeti
10cm , a decimalne brojeve zaokružiti na dvije decimale.
Pomoć:
Razmisli između kojih se najbližih cijelih brojeva nalazi zadani decimalni broj.
T
|
(3.31) |
R
|
(2.7) |
G
|
(4.85) |
I
|
(4.5) |
A
|
(3.5) |
Pomoć:
Odredi između kojih se najbližih cijelih brojeva nalazi zadani decimalni broj. Za brojeve, koji se nalaze između istih cijelih brojeva, odredi koji je broj manji.
Postupak:
2.7 je između
2 i
3,
3.5 i
3.31 su oba između
3 i
4, ali je
3.31<3.5,
4.5 i
4.85 su oba između
4 i
5, ali je
4.5<4.85.
Ako razlomci, koje želimo smjestiti na brojevni pravac, imaju preveliki zajednički nazivnik, zapišemo ih u obliku decimalnih brojeva, zaokružimo na jednu ili dvije decimale i tako smjestimo na brojevni pravac.
Podijelite se u razredu u grupe po troje ili četvero. Svatko neka zapiše na papirić (da drugi ne vide) jedan ili dva pozitivna racionalna broja. Otkrijte papiriće i ucrtajte brojeve na brojevni pravac. Odigrajte nekoliko krugova i napravite izložbu tako dobivenih brojevnih pravaca na razrednom panou.
Pokušaj samostalno riješiti sljedeće zadatke i zaključiti kako bi izračunali koordinatu polovišta dužine na brojevnom pravcu.
Koordinata točke A na brojevnom pravcu koja je jednako udaljena od točaka P(3) i S(4) je A(
Pomoć:
Nacrtaj u bilježnicu brojevni pravac i na njemu označi točke
P(3) i
S(4) te razmisli gdje se nalazi točka koja je jednako udaljena od točaka
P i
S.
Pomoć:
Zadatak riješi poštujući redoslijed računskih radnji.
Koordinata točke R na brojevnom pravcu koja je jednako udaljena od točaka B(2.8) i K(3.6) je R(
Pomoć:
Nacrtaj u bilježnicu brojevni pravac i na njemu označi točke B(2.8) i K(3.6) te razmisli gdje se nalazi točka koja je jednako udaljena od točaka B i K.
Pomoć:
Zadatak riješi poštujući redoslijed računskih radnji.
Koordinata točke I na brojevnom pravcu koja je jednako udaljena od točaka K(234) i T(314) je I(
Pomoć:
Nacrtaj u bilježnicu brojevni pravac i na njemu označi točke K(234) i T(314) te razmisli gdje se nalazi točka koja je jednako udaljena od točaka K i T.
Pomoć:
Zadatak riješi poštujući redoslijed računskih radnji.
Zaključimo.
Polovište dužine na brojevnom pravcu
Polovište dužine je točka na dužini koja je jednako udaljena od rubnih točaka te dužine. Neka rubne točke dužine ¯AB imaju koordinate A(xA) i B(xB). Koordinatu polovišta P(xP) dobijemo tako da izračunamo izraz xP=(xA+xB):2 što možemo zapisati i u obliku razlomka xP=xA+xB2.
Zadane su koordinate točaka
A i
B na brojevnom pravcu. Izračunaj koordinate polovišta
P dužine
¯AB. Spoji parove.
A(356),
B(294)
|
P(4516) |
A(158),
B(634)
|
P(41920) |
A(3.8),
B(285)
|
P(51324) |
A(312),
B(6.4)
|
P(4.7) |
Pomoć:
Nacrtaj u bilježnicu brojevne pravce i zadane točke. Izračunaj koordinate polovišta po formuli. Provjeri dobiveno rješenje na brojevnom pravcu.
Postupak:
Koordinate točaka
A i
B zapiši u obliku razlomka. Zbroji ih i dobiveno rješenje podijeli s
2. Ili drugi način: uvrsti koordinate točaka
A i
B u formulu kao dvojni razlomak i riješi ga. Konačno rješenje zapiši u obliku mješovitog ili decimalnog broja.
Ponovimo brojevni pravac kratkom procjenom znanja.