x
Učitavanje

6.3 Pravokutni koordinatni sustav u ravnini

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Samostalno učenje icon samostalno učenje
Procjena znanja icon procjeni znanje
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

GPS lokatori služe za pronalaženje izgubljenih osoba, životinja ili ukradenih stvari. Iza svih GPS uređaja stoje geografske koordinate, odnosno geografska širina i geografska dužina neke lokacije. Geografska širina i dužina su uređeni parovi brojeva koji odgovaraju točno jednoj točki u geografskoj mreži. U matematici uređeni par brojeva pripada točno jednoj točki u mreži koja se zove koordinatni sustav u ravnini.

GPS lokator
Svrha GPS lokatora (pronalazak automobila, životinja, starijih ljudi, aviona, skijaša, planinara, djece i osobnih stvari).

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini

Zanimljivost

Legenda kaže da je ideju za uvođenjem pravokutnog koordinatnog sustava dobio u 17. stoljeću francuski matematičar Rene Descartes kada je bio bolestan i iz kreveta gledao muhu kako hoda po kvadratnim pločicama. Rene Descartes je jedan od najvažnijih matematičara svog vremena.  Uvođenjem pravokutnog koordinatnog sustava prvi je povezao geometriju i aritmetiku u novu granu matematike, analitičku geometriju.

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini dobijemo ako nacrtamo dva okomita brojevna pravca koji se sijeku u ishodištu svakog od njih. U animaciji pogledaj kako se definira i crta pravokutni koordinatni sustav u ravnini.

Zadatak 1.

Slijedeći korake iz animacije nacrtaj u bilježnicu pravokutni koordinatni sustav u ravnini.

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini
Pravokutni koordinatni sustav s osima x i y.

Zanimljivost

Razni su nazivi za koordinatne osi, primjerice u projektu STRUNA (Hrvatsko strukovno nazivlje) Instituta za jezik i jezikoslovlje nalazimo os apscisa i os ordinata. Matematički rječnik profesora Ivice Gusića spominje i koordinatne osi os apscisa i os ordinata, te x-os i y-os, dok u Hrvatskoj enciklopediji Leksikografskog zavoda Miroslav Krleža stoji: "Koordinate se tada zovu apscisa (na osi x) i ordinata (na osi y)". U Rječniku znanstvenog nazivlja Bogoslava Šuleka, prvog rječnika te vrste u Hrvata, koji je tiskan 1874.-1875. godine, pod koordinate se spominju nuzrednice i surednice.

Razmisli i odgovori.

Koordinatnim osima x i y ravnina je podijeljena na

jednaka
dijela.

Pomoć:

Nacrtaj još jednom pravokutni koordinatni sustav u ravnini i razmisli na koliko dijelova dva okomita pravca mogu podijeliti ravninu.

Dijelove ravnine koje dobijemo kada nacrtamo koordinatne osi nazivamo kvadranti.

Četiri kvadranta pravokutnog koordinatnog sustava

Okreni
Četiri kvadranta u pravokutnom koordinatnom sustavu. Prvi kvadrant gore desno, drugi kvadrant gore lijevo, treći kvadrant dolje lijevo, četvrti kvadrant dolje desno.
Povratak

Uređeni parovi i koordinate točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Da bismo točku smjestili na brojevni pravac treba nam jedna koordinata. Pridruživanje racionalnog broja x točki T na brojevnom pravcu zapisujemo T x . Ako točku želimo smjestiti u ravninu u kojoj su dva brojevna pravca, trebamo dvije koordinate.

Par brojeva u kojem se

 
zna koji broj je na
 
, a koji na drugom mjestu je
 
.
točno
prvom mjestu
uređeni par

Pomoć:

Dopuni rečenicu tako da ima smisla.

null

Uređenim parovima pridružujemo točke pravokutnog koordinatnog sustava u ravnini. Pri tome prvi član uređenog para potražimo na vodoravnoj osi x , a drugi član na vertikalnoj osi y . Točka se u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini nalazi na sjecištu pravaca usporednih s koordinatnim osima.

Točka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
Uređenom paru (x, y) pridružena točka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini.

Kada nekom uređenom paru pridružimo točku T u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini to zapisujemo kao T x , y .

Primjer 1.

Uređenom paru 3 , 2 pridruži točku T u pravokutnom koordinatnom sustavu. Pokušaj u bilježnicu samostalno riješiti zadatak, zatim usporedi svoje rješenje s ponuđenim.

Nacrtamo pravokutni koordinatni sustav u ravnini. Označimo koordinatne osi x i y , ishodište i jedinične točke. Prvi član uređenog para je broj 3 , a drugi član je broj 2 . Na osi x pronađemo prvi član zadanog uređenog para (točku s koordinatom 3 ) i od te točke povučemo (crtkano) dio pravca usporedno s osi y . Na osi y pronađemo drugi član istog uređenog para (točku s koordinatom 2 ) i od nje povučemo dio pravca usporednog s osi x . U njihovom sjecištu se nalazi točka T 3 , 2 .

Točka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
Uređenom paru (3, 2) pridružena točka T u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini.

Koordinate točke u pravokutnom koordinatnom sustavu
Članove uređenog para kome je pridružena točka T x , y nazivamo koordinate točke T . Prvu koordinatu nazivamo apscisa, a drugu ordinata točke T .

Zadatak 2.

Zadana je točka T - 3 , 5 .

Apscisa točke T je
Ordinata točke T je

Pomoć:

Dobro pogledaj koordinate točke T i razmisli.

Postupak:

Prvi član uređenog para je apscisa točke, a drugi član je ordinata točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Ucrtati neku točku T x , y u pravokutni koordinatni sustav u ravnini znači zadanom uređenom paru pridružiti točku T .

Zadatak 3.

Ucrtaj u pravokutni koordinatni sustav točke A 3 , - 1 , B - 3 , - 2 , C - 2 , 3 i D 1 , 4 .

U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtane su točke koje treba pridružiti uređenim parovima.
D 1 , 4
C - 2 , 3
B - 3 , - 2
A 3 , - 1

Pomoć:

U ponuđenom pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini već su ucrtane točke pridružene uređenim parovima, treba razmisliti kojem uređenom paru je pridružena koja točka.

Postupak:

Prvu koordinatu uređenog para pronalazimo na osi x , a drugu na osi y .

Zadatak 4.

Ucrtaj u pravokutni koordinatni sustav točke A - 2 , - 2 , B 3 , 1 , C - 1 , 4 i D 1 , - 1 . Pokušaj u bilježnicu samostalno riješiti zadatak, zatim usporedi svoje rješenje s ponuđenim.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtane su točke koje su pridružene uređenim parovima.

Zadatak 5.

Ucrtaj u pravokutni koordinatni sustav točke A 3 , - 2 , B - 3 , 2 i C - 3 , - 2 . Spoji točke tako da dobiješ trokut A B C . Pokušaj u bilježnicu samostalno riješiti zadatak, zatim usporedi svoje rješenje s ponuđenim.

Trokut u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtane su točke pridružene uređenim parovima iz zadatka.

Nacrtani trokut A B C je

trokut.
Površina tog trokuta je
kvadratnih
jedinica.

Pomoć:

Prebroji koliko jediničnih duljina ima od točke C do točke B , to je duljina katete a . Zatim prebroji koliko jediničnih duljina ima od točke C do točke A , to je duljina katete b . Površinu izračunaj po formuli za površinu pravokutnog trokuta.

Postupak:

P = 4 · 6 2  

Zadatak 6.

Ucrtaj u pravokutni koordinatni sustav točke A 1 , 4 , B - 1 , - 3 i C 3 , - 3 . Spoji točke tako da dobiješ trokut A B C . Pokušaj u bilježnicu samostalno riješiti zadatak, zatim usporedi svoje rješenje s ponuđenim.

Trokut u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtane su točke pridružene uređenim parovima koje čine trokut ABC.

Nacrtani trokut je

trokut.
Površina tog trokuta je
kvadratnih
jedinica.

Pomoć:

Prebroji koliko jediničnih duljina ima od točke B do točke C , to je duljina osnovice a . Zatim prebroji koliko jediničnih duljina ima od polovišta dužine B C ¯ do točke A , to je duljina visine v a . Površinu izračunaj po formuli za površinu trokuta.

Postupak:

P = a · v a 2 = 4 · 7 2  

Zadatak 7.

Ucrtaj u pravokutni koordinatni sustav točke A 3 , - 3 , B 3 , 1 , C - 1 , 1 , D - 1 , - 3 i E 1 , 4 . Spoji točke redom A , B , C , D , B , E , C , A , D . Pokušaj u bilježnicu samostalno riješiti zadatak, zatim usporedi svoje rješenje s ponuđenim.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtane su i spojene točke A, B, C, D i E pridružene uređenim parovima.

Zadatak 8.

Odredi koordinate točaka A , B , C i D sa slike. Spoji parove.

U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtane su točke A, B, C i D.
C
1 , - 3
D
- 1 , 3
A
3 , 1
B
- 3 , - 4

Pomoć:

Dobro pogledaj položaj točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini i razmisli.

Postupak:

Apscisu točke čitamo sa osi x , a ordinatu čitamo sa osi y .

Točke na koordinatnim osima

Zadatak 9.

Ucrtaj točke A 0 , 3 , B 4 , 0 , C 0 , - 3 i D - 2 , 0 u pravokutni koordinatni sustav u ravnini.

Na koordinatnim osima ucrtane su točke koje treba pridružiti uređenim parovima.
A 0 , 3
B 4 , 0
C 0 , - 3
D - 2 , 0

Pomoć:

Na koordinatnim osima u ponuđenom pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini već su ucrtane točke pridružene uređenim parovima, treba razmisliti kojem uređenom paru je pridružena koja točka.

Postupak:

Prvu koordinatu uređenog para pronalazimo na osi x , a drugu na osi y . Ako je prva koordinata 0 , točka se nalazi na osi y , a ako je druga koordinata 0 točka se nalazi na osi x .

Zaključimo.

Točke na osi x imaju

 
jednaku 0 . Točke na osi x su oblika
 
. Točke na
 
imaju
 
jednaku 0 . Točke na osi y su oblika
 
. Točka kojoj su i apcsisa i ordinata jednake 0 pripada i osi x i osi y i zove se
 
. Ishodište je točka
 
.
apscisu
T 0 , y
ishodište
T x , 0
ordinatu
O 0 , 0
osi y

Pomoć:

Dopuni rečenice tako da imaju smisla.

Postupak:

Dobro pogledaj prethodni zadatak i razmisli.

Zadatak 10.

Ucrtaj u pravokutni koordinatni sustav točke A 0 , - 1 , B - 4 , - 2 , C 2 , 0 , D 2 , - 3 i E - 3 , 0 . Pokušaj u bilježnicu samostalno riješiti zadatak, zatim usporedi svoje rješenje s ponuđenim.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtane su točke A, B, C, D i E pridružene uređenim parovima.

Zadatak 11.

Razmisli i odgovori.

Točka A 0 , - 5 nalazi se

.
Točka B 4 , 0 nalazi se
.
Točka C - 6 , 0 nalazi se
.

Pomoć:

Ucrtaj točke u pravokutni koordinatni sustav u ravnini i odredi položaj zadane točke.

Postupak:

Ako je apscisa 0 , točka se nalazi na osi y , a ako je ordinata 0 točka se nalazi na osi x .

Zadatak 12.

Odredi koordinate točaka A , B , C i O sa slike. Spoji parove.

U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtane su točke A, B, C i O.
C
- 3 , 4
O
3 , 0
A
0 , 0  
B
2 , - 2

Pomoć:

Dobro pogledaj položaj točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini i razmisli.

Postupak:

Apscisu očitamo na osi x , a ordinatu na osi y .

Točke i kvadranti

Zanimljivost

Riječ kvadrant dolazi od latinske riječi quadrans što znači četvrtina.

Pravokutni koordinatni sustav dijeli ravninu na četiri kvadranta, kako smo već ranije zaključili. Kvadrante označavamo rednim brojevima. Gornji desni dio ravnine označen je kao prvi kvadrant. Ostali kvadranti su označeni u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

Kvadranti
Četiri kvadranta u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Zadatak 13.

Odredi kvadrant u kojem se nalaze točke A , B , C i D sa slike.
U pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini ucrtane su točke A, B, C i D sa svojim koordinatama.
Točka A - 4 , - 2 nalazi se u
Točka B 4 , 3 nalazi se u
Točka C - 3 , 1 nalazi se u
Točka D 2 , - 3 nalazi se u

Pomoć:

Dobro pogledaj položaj točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini i razmisli.

Zaključimo.

Ako su predznaci koordinata točke

 
točka se nalazi u I. kvadrantu . Točka s predznacima koordinata
 
nalazi se u II. kvadrantu. Ako su predznaci koordinata točke
 
točka je u III. kvadrantu , a ako su predznaci koordinata točke
 
ona se nalazi u IV. kvadrantu.
- , +
+ , +
- , -
+ , -

Pomoć:

Dopuni rečenice tako da imaju smisla.

Postupak:

Dobro pogledaj položaj točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini i razmisli.

Zadatak 14.

Razvrstaj točke po kvadrantima.

C - 4 , - 9

 I. kvadrant

II. kvadrant

III. kvadrant

IV. kvadrant

Pomoć:

Dobro pogledaj koordinate točaka i razmisli.

Postupak:

Nacrtaj u bilježnici točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini i odredi kojem kvadrantu pripada pojedina točka.

Zadatak 15.

Odredi bez crtanja pravokutnog koordinatnog sustava u ravnini kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripada pojedina točka.

Točka 0 , - 17 se nalazi
Točka - 345 , 11 se nalazi
Točka - 23 , - 54 nalazi se
Točka 15 , 0 nalazi se
Točka 72 , 567 nalazi se
Točka 14 , - 28 nalazi se

Pomoć:

Dobro pogledaj koordinate točaka i razmisli.

Postupak:

Točka oblika 0 , y nalazi se na osi y , točka oblika x , 0 nalazi se na osi x , točka oblika + , +  nalazi se u I. kvadrantu, točka oblika - , + nalazi se u II. kvadrantu, točka oblika - , -  nalazi se u III. kvadrantu, a točka oblika + , - nalazi se u IV. kvadrantu.

Simetrije u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Ponovimo.

Osna simetrija je

 
koje svakoj točki A neke ravnine
 
točku A ' te ravnine s obzirom na
 
koji je simetrala dužine A A ' ¯ . Pravac s je
 
tog preslikavanja.
pravac s
os simetrije
pridružuje
preslikavanje

Pomoć:

Prisjeti se osne simetrije iz petog razreda.

Postupak:

Točku A ' dobijemo tako da točkom A povučemo okomicu na zadani pravac s koji je os simetrije. Zatim zabodemo šestar u sjecište te okomice i pravca s , izmjerimo šestarom udaljenost do točke A i s druge strane pravca s presječemo okomicu kružnim lukom čiji je polumjer jednak izmjerenoj udaljenosti. U sjecištu nacrtane okomice i kružnog luka nalazi se točka A ' .

Centralna simetrija je

 
koje svakoj točki A neke ravnine
 
točku A ' te ravnine s obzirom na
 
koja je polovište dužine A A ' ¯ . Točka S je
 
centralne simetrije.
središte
točku S
preslikavanje
pridružuje

Pomoć:

Prisjeti se centralne simetrije iz petog razreda.

Postupak:

Točku A ' dobijemo tako da u točki A kao početnoj točki povučemo polupravac koji prolazi točkom S , središtem centralne simetrije. Zatim zabodemo šestar u središte S , izmjerimo šestarom udaljenost do točke A i s druge strane od točke S presječemo polupravac kružnim lukom čiji je polumjer jednak izmjerenoj udaljenosti. U sjecištu polupravca i kružnog luka nalazi se točka A ' .

Primjer 2.

Odredi koordinate točke A '  koja je osnosimetrična slika točke A - 2 , 3 s obzirom na os x . Nacrtaj sve u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini. Pokušaj u bilježnicu samostalno riješiti zadatak, zatim usporedi svoje rješenje s ponuđenim.

Koordinate točke A ' su - 2 , - 3 .
Osna simetrija u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
U pravokutnom koordinatnom sustavu ucrtane su osnosimetrične točke A i A' s obzirom na os x.

Primjer 3.

Odredi koordinate točke A '  koja je osnosimetrična slika točke A - 2 , 3 s obzirom na os y . Nacrtaj sve u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini. Pokušaj u bilježnicu samostalno riješiti zadatak, zatim usporedi svoje rješenje s ponuđenim.

Koordinate točke A ' su 2 , 3 .

Osna simetrija u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
U pravokutnom koordinatnom sustavu ucrtane su osnosimetrične točke A i A' s obzirom na os y.

Primjer 4.

Odredi koordinate točke A '  koja je centralnosimetrična slika točke A - 2 , 3 s obzirom na ishodište O 0 , 0 . Nacrtaj sve u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini. Pokušaj u bilježnicu samostalno riješiti zadatak, zatim usporedi svoje rješenje s ponuđenim.

Koordinate točke A' su 2 , - 3 .
Centralna simetrija u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini
U pravokutnom koordinatnom sustavu ucrtane su centralnosimetrične točke A i A' s obzirom ishodište.

Promotrimo i zaključimo što se događa s predznacima točke koju preslikavamo.

Pri osnoj simetriji s obzirom na os x apscisa točke

 
, a ordinati se promijeni predznak. Pri osnoj simetriji s obzirom na
 
apscisa
 
, a ordinata ostane ista. Pri centralnoj simetriji s obzirom na ishodište
 
točke promijene predznak.
obje koordinate
ostane ista
os y
promijeni predznak

Pomoć:

Dopuni rečenice tako da imaju smisla.

Postupak:

Dobro pogledaj prethodna tri primjera i nacrtane pravokutne koordinatne sustave u ravnini.

Praktična vježba

Podijelite se u razredu u grupe po troje ili četvero. Zadajte si neki lik s pomoću 10-tak istaknutih točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini i svaki od vas neka ga preslika po jednoj vrsti preslikavanja. Možete uzeti i druge pravce kao osi simetrije ili neku drugu točku kao centar simetrije. Svoje radove izložite na razrednom panou.

Kutak za znatiželjne

Polovište dužine u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Razmisli i riješi sljedeće zadatke.

Koordinate polovišta dužine A B ¯ sa slike su P 2 , - 1 .

Polovište dužine u pravokutnom koordinatnom sustavu

Pomoć:

Polovište dužine je točka na dužini koja je jednako udaljena od njenih rubnih točaka.

Postupak:

Prvu koordinatu čitamo na osi x , a drugu na osi y .

Odredi koordinate točaka A i B sa slike.

A
B

Pomoć:

Pažljivo pogledaj koordinate točaka na slici.

Postupak:

Prviu koordinatu čitamo na osi x , a drugu na osi y .

Rješenje izraza 1 + 3 2 je
.
Rješenje izraza 1 + - 3 2 je
.

Pomoć:

Prvo izračunaj izraz u brojniku, zatim rješenje podijeli s 2 .

Postupak:

1 + 3 2 = 2
1 + - 3 2 = - 1

Zaključimo.

Polovište dužine u pravokutnom koordinatnom sustavu

Polovište dužine je točka na dužini koja je jednako udaljena od rubnih točaka te dužine. Neka rubne točke dužine A B ¯ imaju koordinate A x A , y A i B x B , y B . Koordinatu polovišta P x P , y P dobijemo tako da izračunamo izraze x P = x A + x B 2 i y P = y A + y B 2 .

Zadatak 16.

Zadane su koordinate točaka A i B na brojevnom pravcu. Izračunaj koordinate polovišta P dužine A B ¯ . Spoji parove.

A 4 , 3 , B - 4 , - 3
P - 3 , 3
A 2 , - 3 , B - 2 , 5
P - 2 , - 3
A 4 , - 3 , B - 8 , - 3
P 0 , 0
A - 2 , - 1 , B - 4 , 7
P 0 , 1

Pomoć:

Nacrtaj u bilježnicu pravokutni koordinatni sustav u ravnini i zadane točke. Izračunaj koordinate polovišta po formuli. Provjeri dobiveno rješenje u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Postupak:

2 - 2 2 = 0 ,   - 3 + 5 2 = 1

4 - 8 2 = - 2 ,   - 3 - 3 2 = - 3

- 2 - 4 2 = - 3 ,   - 1 + 7 2 = 3

4 - 4 2 = 0 ,   3 - 3 2 = 0

...i na kraju

Za kraj se poigraj interakcijom u GeoGebri. Dobit ćeš zanimljive sličice u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Smisli i ti neki lik te ga nacrtaj u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini i očitaj njegove koordinate. Uradak možeš napraviti u bilježnici ili u GeoGebri.

Povratak na vrh