Matematika 3 - 4.1 Brojevna kružnica

Na početku...

Pogledajte sljedeće fotografije.

Uočavate li poveznicu između ovih fotografija?

Slike u nizu: Trokut kao instrument za mjerenje kuta, nogometni teren – korner, moderna arhitektura - pogled iz jednog kuta, teren za bejzbol, maketa kosog tornja u Pisi, mjesečeva sjena zbog kuta upada sunčevih zraka, crno-bijela arhitektura – zgrada od stakla, Euklidov poučak – skica trokuta, kutomjer — Različite vrste kutova oko nas

Riječ koja povezuje sve fotografije jest

Pomoć:

Mjerimo ga kutomjerom.

null

Ponovimo što je to kut i koja je jedinica za mjeru kuta.

Kut i mjera kuta

Kut

Kut je dio ravnine određen s dva polupravca, $p$ i $q,$ sa zajedničkim vrhom $V$ . Oznaka: $∢ p V q .$

Ponovimo osnovne pojmove o kutu. Posložite zadane pojmove na pravo mjesto u tekstu.

Polupravac $p$ nazivamo

kuta, a polupravac $q$ je

kuta.
Mjera kuta

∢ A V B

, dok je mjera kuta

∢ B V A

.
Kutovi za koje vrijedi

α + β = 180 °

kažemo da su

, a za kutove čiji zbroj iznosi

90 °

kažemo da su

. Za točku $V$ kažemo da je

kuta.

α

vrh

završni krak

početni krak

360 ° - α

suplementarni

komplementarni

null

Pozitivan smjer za označavanje kuta jest u smjeru kazaljke na satu.

Pozitivan smjer jest smjer suprotan kazaljci na satu.

null

Zanimljivost

Osim stupnjeva i radijana postoji još jedna mjera kuta - gradijani.

U skladu s definicijom 1 stupnja, 1 grad (čitamo: jedan gradijan) jest $1 / 400$ punog kuta ili $100 grad = 90 ° = \frac{π}{2} rad .$ Jedinica je nastala u sklopu formiranja metričkog sustava 1793. godine u Francuskoj. U izradi metričkog sustava sudjelovao je i Jean-Charles de Borda (1733. - 1799.), francuski matematičar i fizičar. Imao je velik utjecaj na razvoj francuske flote. Izradio je logaritamsku tablicu trigonometrijskih funkcija u gradijanima u navigacijske svrhe. Ova mjerna jedinica nije uspjela opstati u odnosu na stupnjeve koji su bili dobro uspostavljeni i standardno korišteni već od kraja 18. stoljeća. Radijani su se koristili u teorijskoj matematici i znanosti.

Mjerne jedinice kuta

Mjerne jedinice kuta mogu biti radijan i stupanj.

STUPNJEVI

Ako se početna i završna zraka preklapaju, kažemo da zatvaraju kut od $0 °$ ili $360 °$ .

$1 °$ (čitamo: jedan stupanj) možemo definirati kao $1 / 360$ punog kuta.

RADIJANI

Radijan je veličina određena omjerom duljine luka kružnice $(l)$ sa središtem u vrhu kuta i polumjera $(r)$ te kružnice $(α rad = \frac{l}{r}) .$ $1 rad$ (čitamo: jedan radijan) jest kut kojemu je duljina luka jednaka polumjeru kružnog isječka kojim je kut definiran.

Definicija radijana prikazana grafički — Radijan

Pronađimo poveznicu između radijana i stupnjeva.

Nacrtajmo kružnicu polumjera $1 .$ Označimo s $α$ mjeru kuta i s $l$ duljinu pripadajućeg luka kružnice sa središtem u vrhu kuta.

Primjer 1.

Odredimo mjeru kuta $α = 125 °$ u radijanima.

Odredimo mjeru kuta $α = \frac{5 π}{12} rad$ u stupnjevima.

Riješimo zadatak uvrštavanjem u prethodno dobivene formule za prijelaz iz stupnjeva u radijane množenjem stupnjeva s $\frac{π}{180 °},$ odnosno za prijelaz iz radijana u stupnjeve množenjem radijana sa $\frac{180 °}{π} .$

$α = 125 ° = 125 ° \cdot \frac{π}{180 °} = \frac{25 π}{36} rad \approx 2.18 rad$

$α = \frac{5 π}{12} rad= \frac{5 π}{12} \cdot \frac{180 °}{π} = 75 °$

Obično rezultat ostavljamo u obliku razlomka i s brojem $π,$ ako postoji u rješenju. Rezultat u decimalnom obliku množimo s $π$ .

Zadatak 1.

Odredite mjeru kuta $α = 100 °$ u radijanima.
Odredite mjeru kuta $α = 80 ° 32' 10''$ u radijanima.
Odredite mjeru kuta $α = \frac{π}{10} rad$ u stupnjevima.
Odredite mjeru kuta $α = 2 rad$ u stupnjevima.

$α = \frac{5 π}{9} rad$
$α = 80 ° 32' 10'' = 80.536111 ° \approx 1.4 rad$
$α = 18 °$
$α \approx 114 ° 35' 30''$

Brojevna kružnica

Neka je zadana kružnica polumjera $1$ (jedinična kružnica) čije je središte u ishodištu koordinatnog sustava.

Smjestimo brojevni pravac okomito na os apscisu tako da ishodište bude u točki $I (1, 0) .$ Pravac je tangenta kružnice.

Jedinična kružnica s realnim pravcem. — Jedinična kružnica s realnim pravcem

Namatajte pravac oko kružnice pomoću sljedeće interakcije. Razmislite što se događa s realnim brojevima na pravcu (prikazanim pomoću broja $π$ ). Možete li povezati točke na pravcu s točkama na kružnici (u ravnini)? U kakvoj su vezi mjera kuta u stupnjevima i realni broj s pravca?

Povećaj interaktivni prikaz

Svaki realni broj s pravca pridružujemo nekoj točki na kružnici. Na taj smo način definirali novo preslikavanje s pravca na kružnicu.

Povežite mjeru kuta u stupnjevima s pripadajućom duljinom luka. Što je s mjerama kuta kada pravac namatamo u negativnom smjeru ili nakon prvoga punog kruga?

Eksponencijalno preslikavanje točaka

Preslikavanje koje realne brojeve $(t \in R)$ pridružuje točkama jedinične kružnice $(T \in R^{2})$ nazivamo eksponencijalno preslikavanje: $t \to E (t) = T .$

Praktična vježba

Pokušajte napraviti sličnu simulaciju namatanja pravca oko kružnice. Budite kreativni, ali i strpljivi.

Potreban alat:

izrezana kružnica od kartona polumjera $1$ jedinice (sami odredite veličinu jedinice)
tanki konopac ili konac (ili nešto savitljivo) × $2$ (za pozitivne i negativne brojeve)
mali post it papirići na kojima ćete ispisati brojeve $(. . ., - 3, - 2, - 1.5, - 1, 0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 3, 4,.. .)$ i zalijepiti ih na konopac tako da čine brojevni pravac (s točno zadanom jediničnom dužinom).

Pogledajte sljedeći video. Možda dobijete ideju kako izraditi kružnicu i pravac koji se namata oko kružnice.

Promatrajte što se događa s točkama nakon što jedanput prođemo cijelu kružnicu.

Pripremite sada brojevni pravac s realnim brojevima prikazanim pomoću broja $π$ $(npr. 0, \pm \frac{π}{6}, \pm \frac{π}{4}, \pm \frac{π}{3}, \pm \frac{π}{2}, \pm \frac{2 π}{3}, \pm \frac{3 π}{4}, \pm \frac{5 π}{6}, \pm π, \pm \frac{7 π}{6}, . . .)$ i namatajte ga oko kružnice.

Namatanje pravca na kružnicu na kojemu su označeni realni brojevi prikazani pomoću pi. — Pravac sa zapisima realnih brojeva pomoću pi

Kojim ćete točkama na kružnici pridružiti ovako zapisane realne brojeve?

Brojevna kružnica

Brojevna kružnica je jedinična kružnica čijim točkama eksponencijalnim preslikavanjem pridružujemo realne brojeve.

Primjer 2.

Kada bismo nastavili namatati pravac nakon punog kruga (dio pravca duljine $2 π$ ), točki kojoj smo u prvom krugu eksponencijalnim preslikavanjem pridružili broj $\frac{π}{6}$ sada bismo pridružili broj $2 π + \frac{π}{6} = \frac{13 π}{6} .$ Dakle, vrijedi $E (\frac{π}{6}) = E (\frac{13 π}{6}) .$
Jednako tako, ako bismo namatali dio pravca s negativnim brojevima u smjeru kazaljke na satu, realan broj $- \frac{π}{2}$ pridružili bismo istoj točki kojoj je pridružen broj $\frac{3 π}{2}$ , odnosno vrijedi $E (- \frac{π}{2}) = E (\frac{3 π}{2}) .$

Zadatak 2.

Odredite realne brojeve manje od $2 π$ koji su pridruženi istoj točki kružnice kao i realni brojevi: $5 π, \frac{7 π}{2}, \frac{16 π}{3}, \frac{13 π}{4}, \frac{25 π}{6}, - \frac{π}{6}, - \frac{4 π}{3}, - π .$ Prikažite ih na brojevnoj kružnici.

$\begin{array}{ll} E (5 π) & = E (π), E (\frac{7 π}{2}) = E (\frac{3 π}{2}), E (\frac{16 π}{3}) = E (\frac{4 π}{3}), E (\frac{13 π}{4}) = E (\frac{5 π}{4}), E (\frac{25 π}{6}) = \\ = E (\frac{π}{6}), E (- \frac{π}{6}) = E (\frac{11 π}{6}), E (- \frac{4 π}{3}) = E (\frac{2 π}{3}), E (- π) = E (π) \end{array} .$

Brojevna kružnica čijim točkama su pridruženi realni brojevi iz zadatka. — Grafički prikaz rješenja zadatka

Dakle, radijanska mjera kuta $t$ jest duljina luka kružnice od početne točke $I (1, 0)$ do točke $E (t)$ na kružnici koja se dobije eksponencijalnim preslikavanjem $t \to E (t) .$ Naučili smo kako mjeri kuta pridružiti točku na kružnici.

Prisjetite se veze između radijanske mjere kuta i stupnjeva pa pokušajte pripadajuće vrijednosti u stupnjevima pridružiti točkama na kružnici.

Znamo da vrijedi $2 π = 360 ° .$

Glavna mjera kuta

Primjer 3.

Koliko puta trebamo obići puni krug $(2 π)$ da bismo točki brojevne kružnice pridružili broj $\frac{37 π}{4} ?$

Zadatak ćemo riješiti tako da izračunamo koliko puta ide $2 π$ u zadani broj. Pokušajmo s mješovitim brojem danog razlomka. Dijeljenjem $37 π$ s $4$ dobijemo $9 π$ s ostatkom. Budući da s $9 π$ nismo završili puni krug, rastavit ćemo razlomak na $8 π$ i ostatak.

$\frac{37 π}{4} = 8 π + \frac{5 π}{4} = 4 \cdot 2 π + \frac{5 π}{4}$

Ovim smo računom dobili dvije informacije o broju.

Namatali smo pravac 4 puna kruga dok nismo našli točku kojoj smo pridružili zadani broj.

Vrijedi $E (\frac{37 π}{4}) = E (\frac{5 π}{4}) .$

Koliko puta trebamo obići puni krug $(360 °)$ da bismo točki brojevne kružnice pridružili broj $810 ° ?$

$810 ° = 2 \cdot 360 ° + 90 °$

Dakle, $810 °$ na kružnici je u točki gdje i pravi kut nakon $2$ prolaska po cijeloj kružnici, tj. $E (810 °) = E (90 °) .$

Razvrstajte ponuđene brojeve ovisno koliko puta treba obići puni krug (pozitivan smjer kretanja), tj koliko puta treba dodati $2 π$ broju iz intervala $[0, 2 π⟩$ kojoj pripada ista točka na kružnici.

- 366 °

\frac{16 π}{3}

- \frac{π}{6}

\frac{171 π}{3}

\frac{50 π}{6}

500 °

- \frac{11 π}{4}

5 π

\frac{25 π}{6}

1 500 °

\frac{7 π}{2}

\frac{13 π}{4}

- 45 °

290 °

1 090 °

\frac{99 π}{4}

1 000 °

730 °

- π

- \frac{4 π}{3}

$0$ punih krugova

$1$ puni krug

$2$ puna kruga

$3$ i više punih krugova

null

Zadatak 3.

U kojem su kvadrantu točke $E (\frac{50 π}{6})$ i $E (1 500 °) ?$ Koliko punih krugova sadrže ove mjere i koja je pripadajuća mjera iz intervala $[0, 2 π⟩,$ odnosno $[0, 360 °⟩ ?$

$\frac{50 π}{6} = 4 \cdot 2 π + \frac{2 π}{6} \Rightarrow \frac{π}{3}$

$1 500 ° = 4 \cdot 360 ° + 60 ° \Rightarrow 60 °$

Što primjećujete?

Glavna mjera kuta

Mjera kuta $t$ za koju vrijedi $0 \leq t < 2 π$ ili $0 \leq t < 360 °$ naziva se glavna mjera kuta.

Glavnu mjeru kuta $t$ dobijemo tako da mjeru kuta $t_{1}$ podijelimo s $2 π$ ili $360 °,$ zatim najmanji cijeli broj rezultata toga dijeljenja označimo s $k$ i izračunamo:

$t = t_{1} - k \cdot 2 π$ ako se radi o radijanskoj mjeri kuta odnosno

$t = t_{1} - k \cdot 360 °$ ako se radi o mjeri kuta u stupnjevima.

Zadatak 4.

Odredite glavne mjere kuta.

$\frac{119 π}{8} rad$
$- 20 rad$
$625 °$
$- 100 °$

$t = \frac{119 π}{8} - 7 \cdot 2 π = \frac{7 π}{8} rad$
$t = - 20 + 4 \cdot 2 π = 5.13 rad$
$t = 625 ° - 1 \cdot 360 ° = 265 °$
$t = - 100 ° + 360 ° = 260 °$

...i na kraju

Dosadašnje znanje o kutovima u ravnini (od $0 °$ do $360 °$ ) proširili smo na kutove proizvoljne mjere, i pozitivne i negativne. Sada, kada znamo da mjera kuta može biti bilo koji realan broj koji lako pretvorimo u glavnu mjeru kuta, možemo definirati trigonometrijske funkcije na skupu realnih brojeva.

Budući da će vam za definiciju trigonometrijskih funkcija biti potrebno poznavanje brojevne kružnice te svođenje na glavnu mjeru kuta, provjerite jeste li te ishode dobro usvojili.

U sljedećoj interakciji za zadane realne brojeve najprije odredite pripadajuće glavne mjere kuta te ih potom smjestite na pravo mjesto na brojevnoj kružnici pomičući točke.

$\frac{π}{2} rad$	$180 °$
$π rad$	$\frac{180 °}{π}$
$1 rad$	$1 °$
$\frac{π}{180} rad$	$90 °$

$α rad =$	$\frac{π}{180 °} \cdot α °$
$α ° =$	$\frac{180 °}{π} \cdot α$

Na početku...

Kut i mjera kuta

Kut

Zanimljivost

Mjerne jedinice kuta

Kolekcija zadataka #1

Primjer 1.

Zadatak 1.

Brojevna kružnica

Eksponencijalno preslikavanje točaka

Praktična vježba

Brojevna kružnica

Primjer 2.

Zadatak 2.

Glavna mjera kuta

Primjer 3.

0 punih krugova

1 puni krug

2 puna kruga

3 i više punih krugova

Zadatak 3.

Glavna mjera kuta

Zadatak 4.

...i na kraju

$0$ punih krugova

$1$ puni krug

$2$ puna kruga

$3$ i više punih krugova