Pojmovnik

Brojevna kružnica

Brojevna kružnica je jedinična kružnica čijim točkama eksponencijalnim preslikavanjem pridružujemo realne brojeve.

Definicija sinusa i kosinusa pomoću kuta u stupnjevima

Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate $\left(\cos \alpha ,\sin \alpha \right)$, pri čemu je $\alpha$ kut određen tom točkom.

Definicija sinusa i kosinusa realnog broja

Neka je t po volji realan broj, a $T=E\left(t\right)$ njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je $T=\left(\cos t,\sin t\right)$. Vrijednost funkcije kosinus jest apscisa, a vrijednost funkcije sinus jest ordinata točke $T=E\left(t\right)$.

Domena funkcija sinus i kosinus

Domena obiju funkcija $f\left(x\right)=\sin x$ i $g\left(x\right)=\cos x$ jest cijeli skup $\mathbf{R}$, a slika interval $\left[-1,1\right]$.

Eksponencijalno preslikavanje točaka

Preslikavanje koje realne brojeve  $\left(t\in \mathbf{R}\right)$ pridružuje točkama jedinične kružnice $\left(T\in {\mathbf{R}}^{\mathbf{2}}\right)$ nazivamo eksponencijalno preslikavanje: $t\to E\left(t\right)=T$.

Funkcija kotangens

Funkciju koja broju $t\in R\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$ pridružuje broj $\mathrm{ctg}t\in \mathbf{R}$ nazivamo funkcija kotangens.

Funkcija tangens

Funkciju koja broju $t\in R\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$ pridružuje broj $\mathrm{tg}t\in \mathbf{R}$ nazivamo funkcija tangens.

Glavna mjera kuta

Mjera kuta $t$ za koju vrijedi $0\le t<2\pi$ ili $0\le t<360°$naziva se glavna mjera kuta.

Kotangens

Povucimo tangentu $p$ na brojevnu kružnicu u točki $\left(0,1\right)$. Taj je pravac paralelan s osi $x$ i dodiruje brojevnu kružnicu. Neka je $t\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}$ po volji realan broj i $T=E\left(t\right)$ njezina pridružena točka trigonometrijske kružnice. Pravac $OT$ siječe tangentu kružnice u točki $T_1=\left(\mathrm{ctg}t,1\right)$. Kotangens broja $t$ jest apscisa točke $T_1$.

Kut

Kut je dio ravnine određen s dva polupravca, $p$ i $q$, sa zajedničkim vrhom $V$. Oznaka: $\sphericalangle pVq$.

Mjerne jedinice kuta

Mjerne jedinice kuta mogu biti radijan i stupanj.

STUPNJEVI

Ako se početna i završna zraka preklapaju, kažemo da zatvaraju kut od $0°$ili $360°$ .

$\mathbf{1}\mathbf{°}$ (čitamo: jedan stupanj) možemo definirati kao $1/360$ punog kuta.

RADIJANI

Radijan je veličina određena omjerom duljine luka kružnice $\left(l\right)$ sa središtem u vrhu kuta i polumjera $\left(r\right)$ te kružnice $\left(\alpha \mathrm{rad}=\frac{l}{r}\right)$. $\mathbf{1}\mathbf{rad}$ (čitamo: jedan radijan) jest kut kojemu je duljina luka jednaka polumjeru kružnog isječka kojim je kut definiran.

Neparna funkcija

Funkcija $f$ je neparna ako je za svaki $x$ iz domene i $-x$ u domeni funkcije $f$ i ako vrijedi $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ za svaki $x\in D\left(f\right)$. Graf neparne funkcije simetričan je s obzirom na ishodište koordinatnog sustava.

Omeđenost sinusa i kosinusa

Za svaki realan broj $t$ vrijedi

$-1\le \sin t\le 1$,

$-1\le \cos t\le 1$.

Parna funkcija

Funkcija $f$ je parna ako je za svaki $x$ iz domene i $-x$ u domeni funkcije $f$ i ako vrijedi $f(-x)=f\left(x\right)$ za svaki $x\in D\left(f\right)$. Graf parne funkcije simetričan je s obzirom na $y$ os.

Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija

Sinus je neparna funkcija, a kosinus je parna funkcija. Za svaki $t\in \mathbf{R}$ vrijedi $\sin (-t)=-\sin t$ i $\cos (-t)=\cos t$.

Tangens i kotangens neparne su funkcije. Za svaki realan broj $t$ za koji su definirane vrijedi $\mathrm{tg}(-t)=-\mathrm{tg}t$ i $\mathrm{ctg}(-t)=-\mathrm{ctg}t$.

Periodičnost funkcije

Za funkciju $f$ kažemo da je periodična s periodom $T$, ako vrijedi

$f\left(x\right)=f\left(x+T\right)$, $T\in \mathbf{R}$, $x$, $x+T\in D_f$.

Najmanji takav pozitivan broj $T$ naziva se temeljni period.

Periodičnost sinusa i kosinusa

Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus periodične su s temeljnim periodom $2\pi$. Vrijedi:

$\sin \left(t+2\pi \right)=\sin t$.

$\cos \left(t+2\pi \right)=\cos t$, $\forall t\in \mathbf{R}$.

Općenito, $\forall t\in \mathbf{R}$, $\mathbf{\forall }k\in \mathbf{Z}$ vrijedi

$\sin \left(t+2k\pi \right)=\sin t$.

$\cos \left(t+2k\pi \right)=\cos t$.

Periodičnost tangensa i kotangensa

Za trigonometrijske funkcije tangens i kotangens $\mathbf{\forall }t\in \mathbf{R}$, $\mathbf{\forall }k\in \mathbf{Z}$ vrijedi:

$\mathrm{tg}\left(t+k\pi \right)=\mathrm{tg}t$,

$\mathrm{ctg}\left(t+k\pi \right)=\mathrm{ctg}t$.

Tangens i kotangens periodične su funkcije s temeljnim periodom $\pi$.

Tangens

Povucimo tangentu $p$ na brojevnu kružnicu u točki $\left(1,0\right)$. Taj je pravac okomit na os $x$ i dodiruje brojevnu kružnicu. Neka je $t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$ po volji realan broj i $T=E\left(t\right)$ njezina pridružena točka trigonometrijske kružnice. Pravac $OT$ siječe tangentu kružnice u točki $T_1=\left(1,\mathrm{tg}t\right)$ . Tangens broja $t$ jest ordinata točke $T_1$.

Temeljna veza između sinusa i kosinusa

Ako znamo vrijednost sinusa, možemo izračunati vrijednost kosinusa i obratno, iz poznate vrijednosti kosinusa možemo odrediti vrijednost sinusa pomoću formula:

$\sin t=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}t}$

$\cos t=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}t}$.

Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi točka $E\left(t\right)$.

Temeljni period trigonometrijskih funkcija

Upamtimo i ovo!

Neka su $t$, $b$, $c\in \mathbf{R}$, $b\ne 0$.

Ako trigonometrijska funkcija sinus ili kosinus ima oblik $\sin \left(bt+c\right)$ ili $\cos \left(bt+c\right)$, njezin je temeljni period $T=\frac{2\pi }{\left|b\right|}$.

Ako trigonometrijska funkcija tangens ili kotangens ima oblik $\mathrm{tg}\left(bt+c\right)$ ili $\mathrm{ctg}\left(bt+c\right)$, njezin je temeljni perod $T=\frac{\pi }{\left|b\right|}$.

Više o određivanju temeljnog perioda naučit ćete prilikom crtanja trgonometrijskih funkcija.