Matematika 3 - 4.2 Definicije funkcija sinus i kosinus

Definicije funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Pogledajmo brojevnu kružnicu.

Uočite pravokutni trokut $O T T_{1} .$ Odgovorite na sljedeća pitanja.

$\sin α$ definiramo kao

točke

\cos α

definiramo kao

točke T.

null

Definicija sinusa i kosinusa pomoću kuta u stupnjevima

Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate $(\cos α, \sin α),$ pri čemu je $α$ kut određen tom točkom.

Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću stupnjeva

Sinus i kosinus možemo odrediti i za realne brojeve.

Definicija sinusa i kosinusa realnog broja

Neka je t po volji realan broj, a $T = E (t)$ njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je $T = (\cos t, \sin t) .$ Vrijednost funkcije kosinus jest apscisa, a vrijednost funkcije sinus jest ordinata točke $T = E (t) .$

Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana

Zanimljivost

Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens zovu se trigonometrijske funkcije. Trigonometrijske funkcije nazivaju se još kružne ili cirkularne funkcije.

Funkciju $\sin : R \to R$ koja broju $t \in R$ pridružuje broj $\sin t \in R$ nazivamo sinus, a funkciju $\cos : R \to R$ koja broju $t \in R$ pridružuje broj $\cos t \in R$ nazivamo kosinus.

Zadatak 1.

Za svaku je točku istaknuta vrijednost sinusa ili kosinusa broja. Pridruži vrijednosti istaknutim dužinama.

\sin \frac{π}{3}

\cos \frac{5}{4} π

\cos \frac{5}{6} π

\sin \frac{7}{4} π

null

Primjer 1.

Na brojevnoj kružnici odredimo točku $E (t)$ tako da je $\cos t = \frac{1}{3}$ i $\sin t > 0 .$

Kosinus je apscisa točke $E (t)$ . Na brojevnoj kružnici postoje dvije točke čiji je kosinus $\frac{1}{3},$ ali iz uvjeta da je $\sin t > 0$ odabrat ćemo onu koja se nalazi iznad osi $x .$

Kutovi za koje je kosinus 1/3

Zadatak 2.

Na brojevnoj kružnici odredite točku $E (t)$ tako da je $\sin t = - \frac{1}{4}$ i $\cos t < 0 .$

Pogledajmo koje vrijednosti poprimaju sinus i kosinus nekih istaknutih brojeva.

Primjer 2.

Odredimo na brojevnoj kružnici $E (t)$ za $t = \frac{π}{6} .$

Uočimo trokut $O T T_{1} .$ On čini pola jednakostraničnog trokuta pa je $|T T_{1}| = \frac{1}{2},$ tj. pola duljine stranice tog trokuta, a $|O T_{1}|$ je visina tog trokuta. Stoga je $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2},$ a $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Sinus i kosinus od Pi/6

Primjer 3.

Odredimo na brojevnoj kružnici $E (t)$ za $t = \frac{π}{3} .$

Uočimo trokut $O T T_{1} .$ On čini pola jednakostraničnog trokuta pa je $|T T_{1}|$ visina jednakostraničnog trokuta, a $|O T_{1}| = \frac{1}{2}$ polovica je duljine stranice jednakostraničnog trokuta. Stoga je $\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2},$ a $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} .$

Sinus i kosinus od Pi/3

Primjer 4.

Odredimo na brojevnoj kružnici $E (t)$ za $t = \frac{π}{4} .$

Uočimo trokut $O T T_{1} .$ To je jednakokračni pravokutni trokut - polovina kvadrata s dijagonalom duljine 1. Budući da su katete jednakih duljina, slijedi da su vrijednosti sinusa i kosinusa jednake. Dijagonala kvadrata određuje se kao $a \sqrt{2}$ pa je $a = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Stoga je $\sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Sinus i kosinus od Pi/4

Zadatak 3.

Prepišite zadatak na papir i riješite ga.

Popunite tablicu s vrijednostima sinusa i kosinusa za neke istaknute brojeve.

$t$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$\sin t$
$\cos t$

$t$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$\sin t$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos t$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$

Istražimo

Pomičite točku $T$ po kružnici i pogledajte kakve vrijednosti poprimaju sinus i kosinus.

Mogu li vrijednosti sinusa biti veće od $1 ?$

Da

Ne

null

null
Mogu li vrijednosti sinusa biti manje od $- 1 ?$

Da

Ne

null

null
Mogu li vrijednosti kosinusa biti veće od $1 ?$

Da

Ne

null

null
Mogu li vrijednosti kosinusa biti manje od $- 1 ?$

Da

Ne

null

null

Omeđenost sinusa i kosinusa

Za svaki realan broj $t$ vrijedi

$- 1 \leq \sin t \leq 1,$

$- 1 \leq \cos t \leq 1 .$

Razvrstajte jednakosti prema tome postoji li realan broj $t$ koji zadovoljava jednakost ili ne postoji.

\cos t = \frac{1}{\sqrt{3}}

\sin t = - 0.3

\cos t = \frac{π}{3}

\cos t = - \frac{π}{2}

\sin t = \frac{π}{4}

\sin t = - 3.3

Postoji realan broj $t$ koji zadovoljava jednakost.

Ne postoji realan broj $t$ koji zadovoljava jednakost.

null

Zanimljivost

U nekim zemljama osim sinusa i kosinusa u upotrebi su još dvije funkcije. To su sekans, koji se definira kao $\sec x = \frac{1}{\cos x},$ i kosekans, koji iznosi $\csc x = \frac{1}{\sin x} .$

Možemo li odrediti vrijednosti funkcija $f (x) = \sin x$ i $g (x) = \cos x$ za bilo koji $x ?$

Primjer 5.

Odredimo $\sin \frac{41}{6} π$ i $\cos \frac{41}{6} π .$

Svedemo li $\frac{41}{6} π$ na glavnu mjeru, dobijemo da je $E (\frac{41}{6} π) = E (\frac{5}{6} π) .$ Na brojevnoj kružnici ta se točka nalazi u 2. kvadrantu.

Pogledamo li vrijednosti sinusa i kosinusa, možemo uočiti da je sinus jednak sinusu broja $\frac{π}{6},$ dok je kosinus suprotnog predznaka, ali iste apsolutne vrijednosti.

$\sin \frac{41}{6} π = \sin \frac{5}{6} π = \frac{1}{2}$

$\cos \frac{41}{6} π = \cos \frac{5}{6} π = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Sinus i kosinus od 5Pi/6

Zadatak 4.

Odredite vrijednosti $\sin (- \frac{20}{3} π)$ i $\cos (- \frac{20}{3} π) .$

$\begin{array}{l} \sin (- \frac{20}{3} π) = \sin (- 8 π + \frac{4}{3} π) = \sin (\frac{4}{3} π) = - \sin \frac{π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} \cos (- \frac{20}{3} π) = \cos (- 8 π + \frac{4}{3} π) = \cos (\frac{4}{3} π) = - \cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2} \end{array}$

Domena funkcija sinus i kosinus

Domena obiju funkcija $f (x) = \sin x$ i $g (x) = \cos x$ jest cijeli skup $R,$ a slika interval $[- 1, 1] .$

Predznaci funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Poigrajte se ponovno s točkom $T$ na brojevnoj kružnici. Pratite kako se mijenjaju predznaci vrijednosti sinusa i kosinusa s obzirom na kvadrante.

Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

.
Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
.

null

null
Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

.
Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
.

null

null
Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

.
Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
.

null

null
Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

.
Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
.

null

null

Predznaci funkcija sinus i kosinus

Određivanje vrijednosti kuta

Primjer 6.

Odredimo kut čija je vrijednost sinusa $\frac{1}{2} .$

Potražite rješenje pomičući točku $T$ kružnice.

Možemo uočiti da na jediničnoj kružnici postoje 2 broja (2 kuta) čiji je sinus $\frac{1}{2} .$

To su $\frac{π}{6}$ i $π - \frac{π}{6} = \frac{5}{6} π .$ Prođemo li jedanput po kružnici, i brojevi $\frac{13}{6} π$ i $\frac{17}{6} π$ imaju isti sinus, krenemo li u suprotnom smjeru po kružnici, i brojevi $- \frac{7}{6} π,$ $- \frac{11}{6} π$ imaju sinus $\frac{1}{2} ...$

Sve moguće vrijednosti čiji je sinus $\frac{1}{2}$ čine skup $\{\frac{π}{6} + 2 k π, \frac{5}{6} π + 2 k π, k \in Z\} .$ Prikažemo li kutove u stupnjevima, rješenje čini skup $\{30 ° + 360 ° k, 150 ° + 360 ° k, k \in Z\} .$

Kutovi za koje je vrijednost sinusa 0.5

Primjer 7.

Odredimo kut čija je vrijednost kosinusa $\frac{1}{2} .$

Potražite rješenje pomičući točku $T$ kružnice.

Možemo uočiti da na jediničnoj kružnici postoje 2 broja (2 kuta) čiji je kosinus $\frac{1}{2} .$

To su $\frac{π}{3}$ i $\frac{5}{3} π .$ Prođemo li jedanput po kružnici, i brojevi $\frac{7}{3} π$ i $\frac{11}{3} π$ imaju isti kosinus, krenemo li u suprotnom smjeru po kružnici, i brojevi $- \frac{1}{3} π,$ $- \frac{5}{3} π$ imaju kosinus $\frac{1}{2}$ ...

Sve moguće vrijednosti čiji je kosinus $\frac{1}{2}$ čine skup $\{\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{5}{3} π + 2 k π, k \in Z\} .$ Ako kutove prikažemo u stupnjevima, rješenje čini skup $\{60 ° + 360 ° k, 300 ° + 360 ° k, k \in Z\} .$

Kutovi za koje je vrijednost kosinusa 0.5

Zadatak 5.

Odredite sve kutove čiji je sinus $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

$\{60 ° + 360 ° k, 120 ° + 360 ° k, k \in Z\}$

$\{\frac{π}{3} + 2 k π, \frac{2}{3} π + 2 k π, k \in Z\}$

Zadatak 6.

Odredite sve kutove čiji je kosinus $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

$\{\frac{π}{4} + 2 k π, \frac{7}{4} π + 2 k π, k \in Z\}$

$\{45 ° + 360 ° k, 315 ° + 360 ° k, k \in Z\} .$

Veza između sinusa i kosinusa

Istražimo

Pogledajmo ponovno brojevnu kružnicu.

Uočite pravokutni trokut $O T T_{1} .$ Odgovorite na sljedeća pitanja.

Koje su jednakosti točne?

\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1

\sin t + \cos t = 1

\sin t = \pm \sqrt{1 - \cos^{2} t}

\cos t = \pm \sqrt{1 - \sin t}

null

Temeljna veza između sinusa i kosinusa

Ako znamo vrijednost sinusa, možemo izračunati vrijednost kosinusa i obratno, iz poznate vrijednosti kosinusa možemo odrediti vrijednost sinusa pomoću formula:

$\sin t = \pm \sqrt{1 - \cos^{2} t}$

$\cos t = \pm \sqrt{1 - \sin^{2} t} .$

Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi točka $E (t) .$

Primjer 8.

Odredimo vrijednost $\sin t$ ako je $\cos t = - \frac{4}{5},$ a kut $t$ se nalazi u 3. kvadrantu.

$\begin{array}{l} \sin t = \pm \sqrt{1 - \cos^{2} t} = \pm \sqrt{1 - {(- \frac{4}{5})}^{2}} = \pm \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \end{array}$

Budući da se kut $t$ nalazi u 3. kvadrantu, a vrijednosti sinusa u cijelom su kvadrantu negativne, kao rješenje uzimamo $\sin t = - \frac{3}{5} .$

Zadatak 7.

Odredite vrijednost $\cos t$ ako je $\sin t = \frac{24}{25},$ a kut $t$ se nalazi u 2. kvadrantu.

$\begin{array}{l} \cos t = \pm \sqrt{1 - \sin^{2} t} = \pm \sqrt{1 - {(\frac{24}{25})}^{2}} = \pm \sqrt{1 - \frac{576}{625}} = \pm \sqrt{\frac{49}{625}} = \pm \frac{7}{25} \end{array}$

Budući da se kut $t$ nalazi u 2. kvadrantu, a vrijednosti kosinusa u cijelom su kvadrantu negativne, kao rješenje uzimamo $\cos t = - \frac{7}{25} .$

4.2 Definicije funkcija sinus i kosinus

Na početku...

Definicije funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Definicija sinusa i kosinusa pomoću kuta u stupnjevima

Definicija sinusa i kosinusa realnog broja

Zanimljivost

Zadatak 1.

Primjer 1.

Zadatak 2.

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Zadatak 3.

Istražimo

Omeđenost sinusa i kosinusa

Postoji realan broj $t$ koji zadovoljava jednakost.

Ne postoji realan broj $t$ koji zadovoljava jednakost.

Zanimljivost

Primjer 5.

Zadatak 4.

Domena funkcija sinus i kosinus

Predznaci funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Određivanje vrijednosti kuta

Primjer 6.

Primjer 7.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Veza između sinusa i kosinusa

Istražimo

Temeljna veza između sinusa i kosinusa

Primjer 8.

Zadatak 7.

...i na kraju

Na početku...

Definicije funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Definicija sinusa i kosinusa pomoću kuta u stupnjevima

Definicija sinusa i kosinusa realnog broja

Zanimljivost

Zadatak 1.

Primjer 1.

Zadatak 2.

Primjer 2.

Primjer 3.

Primjer 4.

Zadatak 3.

Istražimo

Omeđenost sinusa i kosinusa

Postoji realan broj t koji zadovoljava jednakost.

Ne postoji realan broj t koji zadovoljava jednakost.

Zanimljivost

Primjer 5.

Zadatak 4.

Domena funkcija sinus i kosinus

Predznaci funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Određivanje vrijednosti kuta

Primjer 6.

Primjer 7.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Veza između sinusa i kosinusa

Istražimo

Temeljna veza između sinusa i kosinusa

Primjer 8.

Zadatak 7.

...i na kraju

Postoji realan broj $t$ koji zadovoljava jednakost.

Ne postoji realan broj $t$ koji zadovoljava jednakost.