4.6 Primjena svojstava pri računanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Primjena svojstva trigonometrijskih funkcija

Primjer 1.

Koristeći parnost i neparnost funkcija sinus i kosinus, riješimo sljedeće zadatke.

a) Zadano je $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{1}{2}.$ Odredimo $\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right).$

$\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

b) Zadano je $\cos \frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Odredimo $\cos \left(-\frac{7\pi }{4}\right).$

$\cos \left(-\frac{7\pi }{4}\right)=\cos \frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Primjer 2.

Koristeći neparnost funkcija tangens i kotangens, riješimo sljedeće zadatke.  

a) Zadano je $\mathrm{tg}8=-6.7997.$ Odredimo $\mathrm{tg}\left(-8\right).$

$\mathrm{tg}\left(-8\right)=-\mathrm{tg}8=6.7997$

b) Zadano je $\mathrm{ctg}14=0.1380.$ Odredimo $\mathrm{ctg}\left(-14\right).$

$\mathrm{ctg}\left(-14\right)=-\mathrm{ctg}14=-0.1380$

Zadanu vrijednost i rješenja skicirajte na brojevnoj kružnici.

Primjer 3.

Izračunajmo vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

a) $\sin 420°=\sin \left(60°+360°\right)=\sin 60°= \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}=\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$

c) $\cos \frac{11\pi }{4}=\cos \left(\frac{3\pi }{4}+2\pi \right)=\cos \frac{3\pi }{4}=-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

U primjeru c) možemo se poslužiti brojevnom kružnicom. Skicirajmo $\frac{\pi }{4}$ i $\frac{3\pi }{4}.$

Kolekcija zadataka #1

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Povežite funkcije s njihovim vrijednostima. Koristite svojstva periodičnosti, parnosti i neparnosti.

$\cos \left(-765°\right)$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\mathrm{ctg}\left(\mathrm{-}\frac{\mathrm{14}\mathrm{\pi }}{\mathrm{3}}\right)$	$1$
$\sin 450°$	$-1$
$\sin \left(-\frac{9\pi }{4}\right)$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\mathrm{tg}\left(-\frac{37\pi }{4}\right)$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

null

null

Izračunajte $\sin \left(-\frac{55\pi }{6}\right)·\cos \left(-\frac{95\pi }{6.}\right)$

$-\frac{\sqrt{3}}{4}$

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

null

null

Izračunajte $\cos \left(-\frac{14\pi }{3}\right)·\mathrm{ctg}\left(\mathrm{-}\frac{\mathrm{3}\mathrm{\pi }}{\mathrm{4.}}\right)$

$\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

null

null

Izračunajte $2\sin \left(-\frac{23\pi }{6}\right)·\cos \left(-\frac{95\pi }{6}\right)+\cos \left(-\frac{77\pi }{3}\right)·\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4.}$

$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$

$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$

$\frac{-1+\sqrt{2}}{2}$

$\frac{-1-\sqrt{2}}{2}$

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Veza između trigonometrijskih funkcija

Povežite izraze s lijeve i desne strane kako biste dobili istinite jednakosti.

${\cos }^{2}t$	$1$
$\frac{\sin t}{\cos t}$	$-{\cos }^{2}t$
${\sin }^{2}t-1$	$\frac{1}{\mathrm{tg}t}$
$\mathrm{ctg}t$	$\mathrm{tg}t$
${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t$	$1-{\sin }^{2}t$

null

null

Sjetili smo se nekih veza između trigonometrijskih funkcija.

Izvedimo još dvije.

${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1/:{\cos }^{2}t$

${\left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)}^2+1=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$

${\mathrm{tg}}^{2}t+1=\frac{1}{{\cos }^{2}t}$

Ako početni izraz podijelimo s ${\sin }^{2}t,$ dobit ćemo vezu između kotangensa i sinusa istog argumenta.

${\mathrm{ctg}}^{\mathrm{2}}\mathrm{t+}\mathrm{1}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{{\sin }^{\mathrm{2}}\mathrm{t}}$

Primjer 4.

Ako je zadano da je $\sin 30°=\frac{1}{2},$ odredimo:

a) ${\cos }^{2}30°$

b) $\mathrm{tg}30°$

c) $\mathrm{ctg}30°$

a) Upotrijebimo identitet koji povezuje funkcije sinus i kosinus istog argumenta, pa tako i onog od $30°.$

${\sin }^{2}30°+{\cos }^{2}30°=1$

${\cos }^{2}30°=1-{\sin }^{2}30°$

${\cos }^{2}30°=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

b) Koji identitet možemo upotrijebiti? Najjednostavnije je izračunati nepoznatu veličinu pomoću drugog identiteta koji smo izveli i koji povezuje kosinus i tangens kuta od $30°.$

${\mathrm{tg}}^{2}30°+1=\frac{1}{{\cos }^{2}30°}$

${\mathrm{tg}}^{2}30°=\frac{1}{\frac{3}{4}}-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}/\sqrt{}$

$\mathrm{tg}30°=\frac{1}{\sqrt{3}}·\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

c) Za računanje funkcije kotangens dovoljno je povezati tangens i kotangens.

$\mathrm{ctg}30°=\frac{1}{\mathrm{tg}30°}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$

Primjer 5.

Izračunajmo vrijednost sljedećih izraza bez uporabe kalkulatora.

a) $2\left(1-{\cos }^{2}t\right)+2{\cos }^{2}t=2{\sin }^{2}t+2{\cos }^{2}t=2\left({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t\right)=2$

b) $\mathrm{tg}t-\frac{\sin t}{\cos t}=\mathrm{tg}t-\mathrm{tg}t=0$ 

Kolekcija zadataka #2

1. 1
2. 2
3. 3

Ako je $\mathrm{tg}\phi =\frac{1}{2},$ koliko je $\mathrm{ctg}\phi ?$

$\frac{1}{2}$

$\sqrt{2}$

$2$

null

null

Ako je ${\sin }^2\phi =\frac{1}{4},$ koliko je $\mathrm{tg}\phi ?$ $\phi \in ⟨0,\pi ⟩$ 

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

null

null

Vrijednost izraza ${\sin }^2\frac{\pi }{12}+{\left(\frac{1}{{\cos }^2\frac{\pi }{12}}\right)}^{-1}$jednaka je

$0$

$1$

nema dovoljno podataka

null

null

Prethodni zadatak Sljedeći zadatak

Ispitivanje svojstva trigonometrijskih funkcija

Neka su $t,$ $b,$ $c\in \mathbf{R},$ $b\ne 0.$

Ako trigonometrijska funkcija sinus ili kosinus ima oblik $\cos \left(bt+c\right)$ ili $\sin \left(bt+c\right),$ njezin je temeljni period:

$\frac{\pi }{\left|b\right|}$

$\frac{b\pi }{\left|c\right|}$

$\frac{2\pi }{\left|b\right|}$

null

null

Neka su $t,b,c\in \mathbf{R},$ $b\ne 0.$

Ako trigonometrijska funkcija tangens ili kotangens ima oblik $\mathrm{tg}\left(bt+c\right)$ ili $\mathrm{ctg}\left(bt+c\right)$, njezin je temeljni period:

$\pi$

$\frac{2\pi }{\left|b\right|}$

$\frac{\pi }{\left|b\right|}$

null

null

Funkcija $f$ je parna ako je za svaki $x$ iz domene i $-x$ u domeni funkcije $f$ i ako vrijedi $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ za svaki $x\in D\left(f\right).$

Da

Ne

null

null

Funkcija $f$ je neparna ako je za svaki $x$ iz domene i $-x$ u domeni funkcije $f$ i ako vrijedi $f\left(x\right)=f\left(-x\right)$ za svaki $x\in D\left(f\right).$

Da

Ne

null

null

Funkcija $f\left(x\right)=\mathrm{tg}x+\mathrm{ctg}x$ je parna.

Da

Ne

null

null

Temeljni je period funkcije $f\left(x\right)=\mathrm{tg}\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{2}\right):$

$3\pi$

$6\pi$

$\frac{\pi }{3}$

null

null