U prethodnim jedinicama upoznali ste se sa svojstvima parnosti, neparnosti i periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Pri računanju vrijednosti trigonometrijski funkcija za različite argumente ova su svojstva vrlo korisna.
Praktična primjena trigonometrijskih svojstava
Za početak ponovimo svojstva kroz nekoliko pitanja.
Sinus je
funkcija, a kosinus je
funkcija.
Za svaki
t∈R vrijedi
sin(
)=-sint i
cos(-t)=cos
.
-t
t
parna
neparna
null
null
Tangens i kotangens
su
funkcije.
Za svaki realni broj
t za koji su definirane vrijedi tg(
)=-tgt i
ctg(
)=-ctgt.
null
null
Funkcije sinus i kosinus periodične su. Temeljni je period:
null
null
Tangens i kotangens periodične su funkcije s temeljnim periodom:
null
null
Primjena svojstva trigonometrijskih funkcija
Primjer 1.
Koristeći parnost i neparnost funkcija sinus i kosinus, riješimo sljedeće zadatke.
a) Zadano je
sin2π3=12. Odredimo
sin(-2π3).
sin(-2π3)=-sin2π3=-12
b) Zadano je
cos7π4=√22. Odredimo
cos(-7π4).
cos(-7π4)=cos7π4=√22
Pogledajte rješenja na brojevnoj kružnici.
Rješavanje trigonometrije
Primjer 2.
Koristeći neparnost funkcija tangens i kotangens, riješimo sljedeće zadatke.
a) Zadano je tg8=-6.7997. Odredimo tg(-8).
tg(-8)=-tg8=6.7997
b) Zadano je ctg14=0.1380. Odredimo ctg(-14).
ctg(-14)=-ctg14=-0.1380
Zadanu vrijednost i rješenja skicirajte na brojevnoj kružnici.
U sljedećem primjeru upotrijebit ćemo svojstvo periodičnosti.
Primjer 3.
Izračunajmo vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
a)
sin420°=sin(60°+360°)=sin60°=√32
b)
tg5π4=tg(π4+π)=tgπ4=1
c)
cos11π4=cos(3π4+2π)=cos3π4=-cosπ4=-√22
U primjeru c) možemo se poslužiti brojevnom kružnicom. Skicirajmo
π4 i
3π4.
Svođenje na prvi kvadrant
Što možemo zaključiti?
Kolekcija zadataka #1
1
2
3
4
Povežite funkcije s njihovim vrijednostima. Koristite svojstva periodičnosti, parnosti i neparnosti.
Neke od veza između trigonometrijskih funkcija već ste otkrili u prethodnim jedinicama. Prisjetimo se!
Povežite izraze s lijeve i desne strane kako biste dobili istinite jednakosti.
sin2t-1
1
sintcost
-cos2t
sin2t+cos2t
1tgt
ctgt
tgt
cos2t
1-sin2t
null
null
Sjetili smo se nekih veza između trigonometrijskih funkcija.
Izvedimo još dvije.
sin2t+cos2t=1/:cos2t
(sintcost)2+1=1cos2t
tg2t+1=1cos2t
Ako početni izraz podijelimo s
sin2t, dobit ćemo vezu između kotangensa i sinusa istog argumenta.
ctg2t+1=1sin2t
Trigonometrijske identitete upotrijebit ćemo u sljedećim primjerima.
Primjer 4.
Ako je zadano da je
sin30°=12, odredimo:
a)
cos230°
b)
tg30°
c)
ctg30°
a) Upotrijebimo identitet koji povezuje funkcije sinus i kosinus istog argumenta, pa tako i onog od
30°.
sin230°+cos230°=1
cos230°=1-sin230°
cos230°=1-14=34
b) Koji identitet možemo upotrijebiti? Najjednostavnije je izračunati nepoznatu veličinu pomoću drugog identiteta koji smo izveli i koji povezuje kosinus i tangens kuta od
30°.
tg230°+1=1cos230°
tg230°=134-1=43-1=13/√
tg30°=1√3·√3√3=√33
c) Za računanje funkcije kotangens dovoljno je povezati tangens i kotangens.
ctg30°=1tg30°=11√3=√3
Primjer 5.
Izračunajmo vrijednost sljedećih izraza bez uporabe kalkulatora.
a) 2(1-cos2t)+2cos2t=2sin2t+2cos2t=2(sin2t+cos2t)=2