Potezanje konopa igra je koja okuplja zainteresirane za druženje, zabavu, ali i one natjecateljskog duha pri organiziranju raznih susreta. To je provjera snage između dva tima, pri čemu svaki tim povlači suparnike u suprotnom smjeru. Pobjeđuje onaj tim koji oznaku na sredini konopa uspije pomaknuti prema sebi za traženu duljinu. Na slici vidite zanimljiv izazov za ekipe. Tko izgubi, završava u blatu.
Potezanje konopa
Zanimljivost
Potezanje konopa bilo je olimpijska disciplina od 1900. do 1920. godine, kada je izbačen iz programa.
U razdoblju od 1978. do 1980. godine, pod nazivom "Jadranski susreti", Televizija Zagreb prenosila je natjecanja između dviju ekipa koja su se održavala u manjim mjestima po Jadranu. Jedna od nezaobilaznih igara bila je i potezanje konopa. Godine 2011. emisija se ponovno pokreće, pod nazivom "Jadranske igre". Sve u svrhu turističke promidžbe.
Primijetite da se u ovoj igri radi o napetosti konopca uzrokovanog zbrojevima sila kojima svaki sudionik povlači konopac. Zbrojimo li sve sile svakog tima, možemo promatrati dvije sile koje imaju suprotnu orijentaciju. Pogledajte sliku i odgovorite na sljedeća pitanja.
Smjer potezanja konopca (suprotne sile)
U trenutku napetosti konopca, dok rubac (oznaka na konopcu) miruje, sile →F1−→F1 i →F2−→F2 su
. Te sile imaju jednak
, ali im je
suprotna.
U trenutku kada se rubac počne pomicati ulijevo ili udesno, iznosi
nisu jednaki.
orijentacija
sila
smjer
suprotne
null
null
Pomakne li se rubac ulijevo, sila s većim iznosom bit će:
null
null
Praktična vježba
Silu →F1 čini vektorski zbroj jednako orijentiranih sila svih sudionika prvog tima. Pobjeđuje onaj tim čiji je ukupni zbroj jednako orijentiranih sila većeg iznosa.
Udružite se unutar razreda u timove i ispitajte tko djeluje većom silom prilikom potezanja konopca. Pokušajte izjednačiti timove s obzirom na iznos ukupne sile.
Primjena vektora u matematici
Pomoću vektora definiraju se neka preslikavanja u ravnini (prostoru), kao što su translacija i homotetija, pa samim time vektori imaju primjenu u računalnoj grafici, ali su i neizostavan alat za dokazivanje nekih matematičkih tvrdnji.
Zanimljivost
Vektorska metoda način je dokazivanja matematičkih tvrdnji pomoću vektora i primjene svojstava vektora i to najčešće u planimetrijskim i stereometrijskim zakonitostima.
Primjer 1.
Dokažimo Talesov poučak: obodni kut nad promjerom kružnice jest pravi kut.
Kružnica opisana pravokutnom trokutu
Dovoljno je dokazati da je skalarni umnožak vektora
→CA i
→CB jednak nuli (zbog svojstva skalarnog umnoška okomitih vektora). Primijenimo pravilo trokuta za te vektore, vrijedi:
Uočite u kojem su međusobnom položaju vektori
→OA i
→OB te odgovorite na sljedeća pitanja.
Vektori
→OA i
→OB su
vektori.
null
null
To znači da je vektor →OB jednak vektoru:
null
null
Odaberite vektore čiji je modul jednak polumjeru kružnice r.
null
null
Nakon uvrštavanja umjesto vektora
→OB, vektor
-→OA, imamo:
|→CO|2-→CO·→OA+→CO·→OA-|→OA|2.
Suprotni skalarni umnošci zbrojeni daju nulu, a duljine vektora
→OA i
→CO jednake su
r pa konačno vrijedi:
→CA·→CB=r2-r2=0⇒→CA⊥→CB.
Dokazali smo da je između tih dvaju vektora pravi kut. Time je dokazan Talesov poučak.
Zadatak 1.
Dokažite da su dijagonale romba ABCD međusobno okomite.
Dovoljno je dokazati da je →AC·→BD=0. Postupak ide analogno kao u primjeru, uočite suprotne vektore i vektore čiji su moduli jednaki duljini stranice a.
Kutak za znatiželjne
Dijeljenje dužine u zadanom omjeru
Pomoću vektora izvedimo formulu za koordinate točke koja dijeli danu dužinu u nekom omjeru
k.
Nacrtajmo dužinu
¯MN. Odredimo koordinate točke
P tako da vrijedi:
|MP|:|PN|=k.
Nakon što se izvede formula za koordinate djelišne točke, podijelite dužinu
¯MN,M(2,-1),N(8,5) točkom
P u omjeru
5:1.
Promotrite sliku.
Vektori →MP i →PNsu
smjera
i imaju
orijentaciju.
Vektori
kolinearni.
null
null
S obzirom na zadani omjer njihovih duljina, koja je linearna ovisnost točna?
null
null
Pomoću zadanih koordinata zapišimo vektor →MP
null
null
Analogno dobijemo vektor →PN=(xN-xP)→i+(yN-yP)→j.
Primjenjujući svojstvo jednakosti dvaju vektora, izjednači pripadajuće koordinate.
yP-yM
k(xN-xP)
xP-xM
k(yN-yP)
null
null
Sređivanjem jednadžbi dobiju se koordinate točke P(xP,yP).
null
null
P(7,4)
Zadatak 2.
Odredite vektor →b=bx→i+by→jokomit na radij vektora →a=-→i+→j duljine |→b|=3√2. Nacrtajte dobivene vektore tako da im početna točka bude u završnoj točki vektora →a.
Iz sustava jednadžbi:
bx2+by2=18 i
-bx+by=0⇒b1,2=±3→i±3→j.
Riješimo ovaj zadatak pomoću programa Geogebra. U nastavku je interaktivni prozor s potrebnim alatima kojima možemo nacrtati vektore i riješiti zadatak.
Kako primijeniti alate za crtanje u Geogebri, pogledajte u sljedećem videu.
00:00
00:00
Riješite sljedeće zadatke uz pomoć Geogebre.
Kolekcija zadataka #1
1
2
3
Odredite koordinate vektora
→PQ,P(-2,7),Q(4,-1) i prikažite ga kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora
→i i
→j. Izračunajte modul, pripadajući jedinični vektor te ga nacrtajte u koordinatnom sustavu.
→PQ=6→i-8→j,|→PQ|=10,→PQ0=35→i-45→j
Zadane su točke:
A(-1,2),B(2,0),C(3,4). Izračunajte:
→AB·(→AB+→BC). Nacrtajte zadane vektore!
8
Ako je →u=5→i-2→j,→v=-→i-3→j, odredite kut između vektora →u+→vi2→v.
Organizirate veliku rođendansku zabavu prijatelju koji puni 18 godina. Odlučili ste se na malo iznenađenje. Dogovorili ste piknik na livadi, gdje će helikopter u dogovoreno vrijeme izbaciti poklone za vašeg punoljetnog prijatelja.
Pogledajte sljedeću animaciju i odgovorite na pitanje koliko je metara prije mjesta pada paketa helikopter ispustio pošiljku, ako znamo da je letio na visini od h=180mbrzinom od vh=50ms-1. Uzmimo da je gravitacija g=10ms-2.
00:00
00:00
Uočimo dva vektora: vektor brzine helikoptera u smjeru horizontalne osi,
→vh i vektor Zemljina privlačnog djelovanja,
→vg. Trenutačna je brzina jednaka zbroju vektora
→vh+→vg, što je dijagonala pravokutnika. Prisjetite se kako se zove krivulja putanje izbačenog paketa!
Da bismo izračunali horizontalnu udaljenost između trenutka izbacivanja i trenutka pada paketa,
x=vh·t, uz pomoć formule
h=12gt2 trebamo izračunati vrijeme slobodnog pada paketa:
t=√2hg=6s.
x=50·6=300m prije odredišta helikopter će izbaciti pošiljku.
Praćka
Zadatak 3.
Izbacujete praćkom kuglicu na visini od 1.8mod tla. Ako je domet pada kuglice 60m, kojom ste brzinom ispucali kuglicu? Prikažite problem pomoću vektora.
t=35=0.6s
v0=100ms-1
Korelacija
Iz fizike znate koje sile djeluju na gibanje tijela niz kosinu. Ponovite neke pojmove i formule kako biste mogli riješiti sljedeće zadatke.
Formule iz fizike
Primjer 3.
Hoće li drveno tijelo kliziti niz gredu postavljenu pod kutom od 30° ako mu je masa 2kg?
Tijelo na kosini
Iz ortogonalne projekcije sile teže na komponentu u smjeru sile reakcije podloge, ali suprotne orijentacije, dobijemo: |→Fg2|=|→FN|=Fgcosφ=mgcosφ=20·√32=10√3N.
Ako je faktor trenja drvo-drvo
μ=0.3, sila trenja iznosi:
Ftr=μ
FN=0.3
FN=3√3N.
Iz ortogonalne projekcije sile teže u smjeru sile trenja, ali suprotne orijenacije, imamo komponentu sile trenja:
|→Fg1|=|→Fg|sinφ=20·12=10N.
Promotrite sliku još jedanput, uočite vezu između sila i odgovorite na sljedeća pitanja.
Koji od nabrojanih vektora ima isti smjer kao i vektor →Fg1?
null
null
Jesu li vektori →Ftr i →Fg1jednake orijentacije?
null
null
Imaju li vektori →Ftr i →Fg1uvijek jednake iznose?
null
null
Koja sila ima veći iznos, →Ftr ili →Fg1?
null
null
Giba li se ovo tijelo niz kosinu?
null
null
Kada će tijelo mirovati?
null
null
Prethodni primjer riješite pomoću sljedeće interakcije.
Nagib, duljinu i visinu kosine mijenjate pomoću dvije točke u obliku trokuta koje pokazuju smjer pomicanja.
Pomoću interakcije provjerite rješenja sljedećih zadataka.
Kolekcija zadataka #2
1
2
3
Neka je masa tijela
1kg, a faktor trenja
0.4 koje je na kosini duljine
30cm i visine
10cm. Hoće li tijelo kliziti niz kosinu? Zašto? Koliki je nagib kosine?
Odredite minimalni potrebni nagib da bi tijelo klizilo niz kosinu.
Neće, jer je sila trenja većeg iznosa od komponente gravitacije istog smjera kao trenje.
tgφ=13⇒φ=18°26'6'
Izračunajmo granični kut.
|→Fg1|=|→Ftr|⇒10sinφ=10μcosφ⇒tgφ=0.4⇒φ>21°48'5''
Tijelo mase 1.5kgna kosini je nagiba 45°. Odredite faktor trenja kod kojeg će tijelo mirovati na kosini.
Tijelo nikada neće mirovati na takvoj kosini zbog tg45°=1>μ.
Na gredi nagnutoj
15° ostavljena je drvena kutija mase
2kg. Hoće li otkliziti? Zašto?
Ako je duljina ortogonalne projekcije grede na tlo
l=50cm, koliko gredu treba podignuti od tla da tijelo može kliziti niz gredu?
Neće, jer je iznos sile trenja,
|→Ftr|=5.8N, veći od komponente sile teže,
|→Fg1|=5.18N.
Vratimo se potezanju konopca. Dva tima koja su ušla u finale natjecanja u potezanju konopa dobila su nagradno putovanje u sklopu kojeg su posjetili jedan zabavni sajam. Ovdje su naišli na novi izazov - kako svladati "najjačeg čovjeka na svijetu".
Timovi su raspoređeni kao na slici. Jedan tim povlači silom od 200N, a drugi silom od 150N. Njihovi su konopci u odnosu na izazivača pod kutom od 45°. Koliku silu treba upotrijebiti "najjači čovjek na svijetu" da ostane na mjestu?
Najjači čovjek na svijetu
Zbog okomitosti sila, primjenom Pitagorinog poučka dobije se: |→Fr|=250N.
Najjači čovjek na svijetu treba upotrijebiti silu od 250Nkako bi ostao na mjestu.
Kutak za znatiželjne
Pokušajte isprogramirati robota koji je zalutao u labirintu, da pronađe put do vas i pomogne vam u rješavanju zadataka iz matematike.
