Pojmovnik

Duljina vektora

Duljina vektora jednaka je duljini pripadajuće dužine. Ako su vektoru $\stackrel{\to }{AB}$ zadane početna točka $A\left(x_1,y_1\right)$ i krajnja točka $B\left(x_2,y_2\right)$, duljinu vektora računamo pomoću formule za udaljenost točaka.

$\left|\stackrel{\to }{AB}\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

Ako je vektor zadan kao $\stackrel{\to }{a}=a_x\stackrel{\to }{i}+a_y\stackrel{\to }{j}$, tada duljinu vektora računamo po formuli:

$\left|\stackrel{\to }{a}\right|=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2}$.

Jedinični vektor

Za vektor $\stackrel{\to }{a_0}$ kažemo da je jedinični vektor ako je njegova duljina $\left|\stackrel{\to }{a_0}\right|=1$.

Ako vektor $\stackrel{\to }{a}$, različit od nulvektora, podijelimo s njegovom duljinom, dobili smo jedinični vektor jednakog smjera i orijentacije kao vektor $\stackrel{\to }{a}$.

$\stackrel{\to }{a_0}=\frac{\stackrel{\to }{a}}{\left|\stackrel{\to }{a}\right|}$.

Jednaki i suprotni vektori

Vektori $\stackrel{\to }{a}=a_x\stackrel{\to }{i}+a_y\stackrel{\to }{j}$ i $\stackrel{\to }{b}=b_x\stackrel{\to }{i}+b_y\stackrel{\to }{j}$ jednaki su onda i samo onda ako su im odgovarajuće koordinate jednake.

$\stackrel{\to }{a}=\stackrel{\to }{b}\iff a_x=b_x,a_y=b_y$

Ako su koeficijenti vektora suprotni brojevi, vektori su jednake duljine i smjera, a suprotne orijentacije. 

Jednaki vektori

Vektori su jednaki ako su im duljina, smjer i orijentacija jednaki.

Linearna kombinacija vektora

Linearna kombinacija dvaju vektora jest svaki izraz oblika: $a\stackrel{\to }{u}+b\stackrel{\to }{v}$, pri čemu su $a$ i $b$ skalari i nazivamo ih koeficijentima, a $\stackrel{\to }{u}$ i $\stackrel{\to }{v}$ dva nekolinearna vektora.

Linearna kombinacija vektora jest novi vektor.

Linearno nezavisni vektor

Dva vektora koji nemaju isti smjer zovu se linearno nezavisni vektori ili nekolinearni vektori.

Linearno zavisni vektori

Za dva vektora $\stackrel{\to }{a}$ i $\stackrel{\to }{b}$ $\left(\stackrel{\to }{a},\stackrel{\to }{b}\ne 0\right)$ istog smjera kažemo da su linearno zavisni ili kolinearni vektori.

Množenje vektora realnim brojem

Množimo li vektor $\stackrel{\to }{a}$ realnim brojem $k\ne 0$, dobijemo vektor $k\stackrel{\to }{a}$ sa sljedećim svojstvima:

1. Duljina mu je jednaka umnošku apsolutne vrijednosti realnog broja i duljine vektora $\left|k\stackrel{\to }{a}\right|=\left|k\right|·\left|\stackrel{\to }{a}\right|$.

2. Smjer mu je jednak smjeru vektora $\stackrel{\to }{a}$.

3. Orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora $\stackrel{\to }{a}$ za $k>0$, a suprotna orijentaciji vektora $\stackrel{\to }{a}$ za $k<0$.

Nulvektor

Vektor koji ima duljinu jednaku nuli, odnosno počinje i završava u istoj točki, zovemo nulvektor.

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definira se kao zbrajanje sa suprotnim vektorom.

$\stackrel{\to }{a}-\stackrel{\to }{b}=\stackrel{\to }{a}+\left(-\stackrel{\to }{b}\right)$

$\stackrel{\to }{AB}-\stackrel{\to }{CD}=\stackrel{\to }{AB}+\stackrel{\to }{DC}$

Orijentacija vektora

Vektor je, osim duljinom i smjerom, određen i orijentacijom.

Sve vektore istog smjera možemo podijeliti u dvije vrste:  jednake i suprotne orijentacije.

Orijentaciju vektora pokazuje strelica na kraju vektora.

Pravilo paralelograma

Ako zadani vektori $\stackrel{\to }{OA}$ i $\stackrel{\to }{OB}$ imaju zajedničku početnu točku $O$, onda oni određuju tri vrha paralelograma. Zbroj vektora $\stackrel{\to }{OA}$ i $\stackrel{\to }{OB}$ jest vektor $\stackrel{\to }{OC}$, pri čemu je $\stackrel{\to }{OC}$ dijagonala paralelograma $OACB$. Pišemo $\stackrel{\to }{OC}=\stackrel{\to }{OA}+\stackrel{\to }{OB}$.

Pravilo trokuta

Vektori kojima se završetak prvog podudara s početkom drugog vektora, nazivaju se ulančani vektori. Zbroj ulančanih vektora $\stackrel{\to }{\mathrm{AB}}$ i $\stackrel{\to }{BC}$ jest vektor $\stackrel{\to }{AC}$ kojemu je početak jednak početku prvog vektora, a završetak jednak završetku drugog vektora. Pišemo $\stackrel{\to }{AB}+\stackrel{\to }{BC}=\stackrel{\to }{AC}$.

Skalarni umnožak

Skalarni umnožak dvaju vektora jednak je umnošku njihovih modula i kosinusa kuta između njih.

$\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{b}=\left|\stackrel{\to }{a}\right|\left|\stackrel{\to }{b}\right|\cos \phi$ 

Skalarni umnožak u koordinatnom sustavu

Skalarni umnožak dvaju vektora zadanih pomoću koordinata dobije se tako da se njihove istoimene koordinate pomnože i dobiveni umnošci zbroje.

  $\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y$ 

Smjer vektora

Smjer vektora određuje pravac na kojem vektor leži. Vektori koji leže na istim ili paralelnim pravcima istog su smjera.

Za sve vektore koji leže na paralelnim pravcima kažemo još i da su kolinearni.

Primjerice, vektori sila kojima konji vuku kočiju djeluju duž istog pravca ili duž paralenih pravaca te su kolinearni, tj. imaju isti smjer.

Primijetite da se pojam smjera vektora razlikuje od pojma smjera koji koristimo u svakodnevnoj komunikaciji.

Suprotni vektori

Vektori jednakog smjera i duljine, ali suprotne orijentacije jesu suprotni vektori.

Suprotne vektore zapisujemo na sljedeći način: $\stackrel{\to }{AB}=-\stackrel{\to }{BA}$ i $\stackrel{\to }{a}\ne -\stackrel{\to }{a}$.

To znači da vektori $\stackrel{\to }{a}$ i $-\stackrel{\to }{a}$ imaju istu duljinu i leže na istom pravcu ili na paralelnim pravcima. Orijentacija im je suprotna.

Svojstva množenja vektora realnim brojem

Za množenje vektora realnim brojem vrijede svojstva:

a) $1·\stackrel{\to }{a}=\stackrel{\to }{a}$

b) $\alpha \left(\beta ·\stackrel{\to }{a}\right)=\left(\alpha ·\beta \right)·\stackrel{\to }{a}$

c) $\left(\alpha +\beta \right)·\stackrel{\to }{a}=\alpha \stackrel{\to }{a}+\beta \stackrel{\to }{a}$

d) $\alpha ·\left(\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}\right)=\alpha \stackrel{\to }{a}+\alpha \stackrel{\to }{b}$

e) $\left|\alpha \stackrel{\to }{a}\right|=\left|\alpha \right|·\left|\stackrel{\to }{a}\right|$

Svojstva operacije zbrajanja vektora

Za zbrajanje vektora $\stackrel{\to }{a}$ i $\stackrel{\to }{b}$ vrijede ova svojstva:

1. Komutativnost: $\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}=\stackrel{\to }{b}+\stackrel{\to }{a}$.

2. Asocijativnost: $\left(\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}\right)+\stackrel{\to }{c}=\stackrel{\to }{a}+\left(\stackrel{\to }{b}+\stackrel{\to }{c}\right)$.

3. Svojstvo nulvektora: $\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{0}=\stackrel{\to }{a}$.

4. Svojstvo suprotnog vektora: $\stackrel{\to }{a}+\left(-\stackrel{\to }{a}\right)=\stackrel{\to }{0}$.

Vektor

Vektor je usmjerena dužina kod koje razlikujemo početnu i završnu točku. Vektor kod kojeg je točka $A$ početna, a $B$ krajnja (završna) točka zapisujemo kao $\stackrel{\to }{AB}$ i čitamo "vektor $AB$".

Vektore možemo označavati i malim slovima latinične abecede npr.: $\stackrel{\to }{a},\stackrel{\to }{b},\stackrel{\to }{c},\stackrel{\to }{u},...$

Vektori u koordinatnom sustavu

U Kartezijevom koordinatnom sustavu istaknimo dva nekolinerana jedinična vektora:

$\stackrel{\to }{i}$ - jedinični vektor na osi apscisa

$\stackrel{\to }{j}$ - jedinični vektor na osi ordinata.

Vektor $\stackrel{\to }{OT}$ (s početkom u ishodištu), nazivamo radijvektor točke $T(x,y)$ i prikazujemo ga kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora $\stackrel{\to }{i}$ i $\stackrel{\to }{j}$.

$\stackrel{\to }{OT}=x\stackrel{\to }{i}+y\stackrel{\to }{j}$ 

Realne brojeve $x$ i $y$ nazivamo koordinate vektora $\stackrel{\to }{OT}$.

Općenito možemo zapisati:

Vektor $\stackrel{\to }{AB}$ s početkom u točki $A\left(x_1, y_1\right)$ i završetkom u točki $B\left(x_{2,}{y}_2\right)$ ima prikaz:

$\stackrel{\to }{AB}=\left(x_2-x_1\right)\stackrel{\to }{i}+\left(y_2-y_1\right)\stackrel{\to }{j}$.

Zbrajanje vektora - koordinatna metoda

Neka su zadani vektori $\stackrel{\to }{a}=a_x\stackrel{\to }{i}+a_y\stackrel{\to }{j}$ i $\stackrel{\to }{b}=b_x\stackrel{\to }{i}+b_y\stackrel{\to }{j}$.

Zbroj tih vektora jest vektor čije su komponente jednake zbroju pripadnih komponenata, tj.

$\begin{array}{l}\stackrel{\to }{a}+\stackrel{\to }{b}=\left(a_x+b_x\right)\stackrel{\to }{i}+\left(a_y+b_y\right)\stackrel{\to }{j}\end{array}$.