7.6 Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Jesu li i vama vektori oko srca?

Prisjetimo se što smo sve naučili o vektorima.

Primjer 1.

Odredimo kut koji zatvaraju vektori $\stackrel{\to }{AB}$ i $\stackrel{\to }{CD}$ sa slike.

Prikažimo vektore $\stackrel{\to }{AB}$ i $\stackrel{\to }{CD}$ pomoću vektora $\stackrel{\to }{i}$ i $\stackrel{\to }{j}.$

$\stackrel{\to }{AB}=\left(4-2\right)\stackrel{\to }{i}+\left(2-1\right)\stackrel{\to }{j}=2\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}$

$\stackrel{\to }{CD}=\left(1-2\right)\stackrel{\to }{i}+\left(4-2\right)\stackrel{\to }{j}=-\stackrel{\to }{i}+2\stackrel{\to }{j}$

Kut između dva vektora određujemo pomoću skalarnog umnoška.

$\cos \rho =\frac{2·\left(-1\right)+1·2}{\sqrt{2^2+1^2}·\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2}}$

$\cos \rho =0$

$\rho =90°$

---

---

Primjer 2.

Zadani su vektori $\stackrel{\to }{a}=2\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}$ i $\stackrel{\to }{b}=-\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}.$ Prikažimo vektor $\stackrel{\to }{c}=-4\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}$ kao linearnu kombinaciju vektora $\stackrel{\to }{a}$ i $\stackrel{\to }{b}$.

Želimo li računski riješiti ovaj problem, zapišimo vektor $\stackrel{\to }{c}$ kao linearnu kombinaciju od $\stackrel{\to }{a}$ i $\stackrel{\to }{b}.$

$\stackrel{\to }{c}=\alpha \stackrel{\to }{a}+\beta \stackrel{\to }{b}$  

$-4\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}=\alpha \left(2\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}\right)+\beta \left(-\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}\right)$

$-4\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}=2\alpha \stackrel{\to }{i}+\alpha \stackrel{\to }{j}-\beta \stackrel{\to }{i}+\beta \stackrel{\to }{j}$

Vektori su jednaki ako su im jednake komponente uz $\stackrel{\to }{i}$ i uz $\stackrel{\to }{j}.$

$-4=2\alpha -\beta$ 

$1=\alpha +\beta$

Rješenje ovog sustava jest sljedeće: $\alpha =-1$ i $\beta =2.$

Dakle, $\stackrel{\to }{c}=-\stackrel{\to }{a}+2\stackrel{\to }{b}$ .

---

Ortonormiranu bazu u prostoru čine vektori $\stackrel{\to }{i},$ $\stackrel{\to }{j}$ i $\stackrel{\to }{k}.$ To su  međusobno okomiti, jedinični vektori od kojih je  $\stackrel{\to }{i}$ jedinični vektor u smjeru osi $x,$ $\stackrel{\to }{j}$ je jedinični vektor u smjeru osi $y$ , a $\stackrel{\to }{k}$ je jedinični vektor u smjeru osi $z.$ Svaki vektor u prostoru može se prikazati kao linearna kombinacija tih triju vektora.

Primjer 3.

Zadane su točke prostora $A\left(1,2,3\right)$ i $B\left(2,3,4\right).$ Odredimo radijvektore tih točaka te vektor $\stackrel{\to }{AB}.$

$\stackrel{\to }{OA}=\stackrel{\to }{i}+2\stackrel{\to }{j}+3\stackrel{\to }{k}$

$\stackrel{\to }{OB}=2\stackrel{\to }{i}+3\stackrel{\to }{j}+4\stackrel{\to }{k}$

$\stackrel{\to }{AB}=\left(2-1\right)\stackrel{\to }{i}+\left(3-2\right)\stackrel{\to }{j}+\left(4-3\right)\stackrel{\to }{k}=\stackrel{\to }{i}+\stackrel{\to }{j}+\stackrel{\to }{k}$