Petar je za vožnju do škole odabrao taksi službu koja naplaćuje
10kn start i nakon toga po
4kn za svaki prijeđeni kilometar. Prikažimo ovisnost cijene vožnje taksijem s obzirom na prijeđene kilometre.
Prepišite zadatak na papir te ispunite tablicu s cijenama vožnje taksijem.
x (prijeđeno kilometara)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x) (cijena u kunama)
10
x (prijeđeno kilometara)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x) (cijena u kunama)
10
14
18
22
26
30
34
38
42
Pogledajmo to na grafičkom prikazu.
Graf linearne funkcije - taksi
Kolika je cijena vožnje duljine
6km?
.
null
null
Približno koliko kilometara možemo proći za
20kuna?
.
null
null
Kako glasi funkcija pomoću koje možemo odrediti cijenu vožnje ako nam je poznata udaljenost u kilometrima (za
x>0)?
null
null
U ovom primjeru pojavila se linearna funkcija: f(x)=4x+10. Graf te funkcije jest pravac čija jednadžba glasi: y=4x+10.
Eksplicitni oblik jednadžbe pravca
Mijenjajte koeficijente u jednadžbi pravca i prisjetite se kako utječu na izgled pravca.
Pravac koji nije paralelan s osi y ima jednadžbu
y=kx+l, pri čemu je
k koeficijent smjera ili nagib pravca, a
l odsječak na osi
y. Jednadžbu zapisanu u ovom obliku zovemo eksplicitni oblik jednadžbe pravca.
Zanimljivost
Riječ eksplicite dolazi od novolatinske riječi explicite, što znači izrijekom, izričito, jasno, razumljivo, eksplicitno. Izvor: link.
Primjer 1.
Nacrtajmo pravac koji je zadan jednadžbom:
y=2x+1.
Pravac je određen s dvije točke. Odaberimo dvije vrijednosti za
x i odredimo pripadne vrijednosti
y.
x
0
1
y
1
3
Jednadžba pravca y=2x+1
Zanimljivost
Oznake koeficijenata kod eksplicitnog oblika jedandžbe pravca različite su u pojedinim krajevima svijeta. Pogledajte kako se označavaju u nekim zemljama. Izvor: link.
Primjer 2.
Neka su zadane dvije točke:
(0,1) i
(1,3). Odredimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz te dvije točke.
Uvrstimo li
x i
y koordinate tih točaka u jednadžbu pravca
y=kx+l, dobivamo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.
1=0k+l
3=1k+l.
Rješenje je tog sustava sljedeće:
k=2 i
l=1.
Jednadžba pravca u eksplicitnom obliku glasi y=2x+1.
Odredimo kut koji pravac
y=2x+1 zatvara s pozitivnim dijelom osi
x.
Koeficijent smjera tog pravca jest
k=2.
Istaknimo li točke Ai Bna pravcu i nadopunimo do pravokutnog trokuta
ABC.
Duljina je katete
|AC|=1, što je promjena varijable
x, tj.
xB-xA, a duljina je katete
|BC|=2, što je promjena varijable
y, tj.
yB-yA. Za kut
α možemo primijeniti trigonometriju pravokutnog trokuta (tangens kuta jednak je omjeru nasuprotne katete i priležeće katete) pa vrijedi:
tgα=yB-yAxB-xA=k.
tgα=2⇒α≈63°26'6"
Nagib pravca y=2x+1
Za koeficijent smjera pravca vrijedi k=tgα, pri čemu je α kut koji pravac zatvara s pozitivnim dijelom osi apscisa.
Zadatak 1.
Odredite kut koji zatvara pravac s pozitivnim dijelom osi
x.
a)
y=-x+2
b)
y=12x
c)
y=2
a)
k=-1,tgα=-1⇒α=-45°=135°
b)
k=12,tgα=12⇒α≈26°33'54"
c)
k=0,tgα=0⇒α=0°
Pogledajte sljedeću ilustraciju pa odgovorite na pitanja.
Pravac x=1
Je li na ilustraciji nacrtan graf funkcije?
null
null
Može li se jednadžba ovog pravaca napisati u obliku y=kx+l?
null
null
Koliki kut zatvara ovaj pravac s pozitivnim dijelom osi x?
null
null
Koliki je tangens od
90°?
null
null
Kako glasi jednadžba ovog pravca?
null
null
Implicitni oblik jednadžbe pravca
Jednadžbu pravca paralelnog s osi y nije moguće zapisati u eksplicitnom obliku. Stoga postoji još jedan oblik jednadžbe pravca - implicitni.
Zanimljivost
Značenje riječi implicitno dolazi od latinske riječi implicite, što znači zapleteno, podrazumijevajući, prešutno. Riječ implicitno suprotna je od riječi eksplicitno. Izvor: link.
Jednadžbu pravca možemo zapisati i u obliku
Ax+By+C=0, pri čemu barem jedan od realnih brojeva
A ili
B mora biti različit od
0. Tu jednadžbu zovemo implicitni oblik jednadžbe pravca.
Primjer 4.
Pretvorimo implicitni oblik jednadžbe pravca
2x-y+1=0 u eksplicitni oblik.
-y=-2x-1
y=2x+1
Zadatak 2.
Za jednadžbe pravaca zadane implicitnim oblikom odredite eksplicitni oblik.
a)
x+2y-4=0
b)
3x+y=0
c)
y-3=0
d)
x+7=0
a)
y=-12x+2
b)
y=-3x
c)
y=3
d) Nema eksplicitni oblik jer je paralelan s
y osi.
Prebaciti jednadžbu iz ekspicitnog u implicitni oblik lagano je: prebacimo sve na lijevu stranu jednakosti.
Primjer 5.
Prebacimo jednadžbu pravca y=3x-2iz eksplicitnog oblika u implicitni.
-3x+y+2=0
Istražimo
Što mislite, kada je bolje upotrebljavati eksplicitni, a kada implicitni oblik jednadžbe pravca?
Segmentni oblik jednadžbe pravca
Primjer 6.
Odredimo presjek pravca
2x+y-2=0 s koordinatnim osima.
Sve točke na osi
x imaju vrijednost
y=0 pa uvrštavanjem u jednadžbu pravca dobivamo:
2x-2=0, tj.
x=1. Točka presjeka s
x osi iznosi
M(1,0).
Želimo li odrediti presjek s
y osi, uvrštavamo
x=0 i dobijemo:
y-2=0, tj.
y=2. Točka presjeka s
y osi jest
N(0,2).
Pravac y=-2x+2
Kolika je duljina odsječka koji pravac odsijeca na x osi?
null
null
Kolika je duljina odsječka koji pravac odsijeca na y osi?
null
null
Koja jednadžba predstavlja jednadžbu pravca sa slike? (Uputa: možete odabrati neke točke koje se nalaze na pravcu i uvrstiti ih u jednadžbe pravaca.)
Neka su točke
(m,0) i
(0,n),mn≠0 presjeci pravca s koordinatnim osima. Onda taj pravac ima jednadžbu
xm+yn=1. Takav oblik jednadžbe pravca nazivamo segmentni oblik.
Brojevi
m i
n jesu segmenti ili odsječci koje pravac odsijeca na koordinatnim osima.
Segmentni oblik jednadžbe pravca
Mijenjajte položaj točaka Mi Ni pratite kako se mijenja jednadžba pravca u segmentnom obliku.
Primjer 7.
Napišimo pravac y=2x+3 u segmentnom obliku.
Da bismo odredili segmentni oblik jednadžbe pravca, s desne strane znaka jednakosti trebamo dobiti broj 1.
Prebacimo nepoznanice na lijevu stranu i dobijemo: -2x+y=3.
Podijelimo s 3,-2x3+y3=1.
Segmente na koordinatnim osima dobit ćemo ako prvi razlomak napišemo kao dvojni: x-32+y3=1, pa je m=-32 i n=3.
Zadatak 3.
Zadane jednadžbe pravaca prebacite u segmentni oblik.
a)
2x-4y+8=0
b)
23x+y+1=0
c)
y=-3x+2
d)
y=5x
e)
y=2
f)
x=1
a) x-4+y2=1
b) x-32+y-1=1
c) x23+y2=1
d) nije moguće napisati u segmentnom obliku
e)
nije moguće napisati u segmentnom obliku
f)
nije moguće napisati u segmentnom obliku
Istražimo
Nacrtajte pravce y=5x,y=2 i x=1 te razmislite zašto nije moguće napisati segmentne oblike tih pravaca.
Segmentni oblik jednadžbe pravca prikladan je za prikaz u koordinatnom sustavu te za određivanje površine koju pravac zatvara s koordinatnim osima.
Primjer 8.
Odredimo površinu koju pravac x1+y2=1 zatvara s koordinatnim osima.
Odsječci na koordinatnim osima iznose 1 i 2, stoga površina pravokutnog trokuta iznosi P=1·22
P=1kv.jed.
Segmentni oblik jednadžbe pravca - površina trokuta
Površina trokuta koji zatvaraju pravac i koordinatne osi iznosi P=12|m·n|.
Kolekcija zadataka #2
1
2
3
Odredite površinu koju zatvara pravac y=12x+1 s koordinatnim osima.
P=12|-2·1|=1
Odredite duljinu odsječka koji zatvara pravac x-y+2=0 između koordinatnih osi.
Segmentni oblik jednadžbe pravca: x-2+y2=1.
Duljina odsječka: d=√(-2)2+22=√8=2√2.
Odredite realan broj a tako da je površina koju zatvara pravac 2x+ay+6=0 s koordinatnim osima jednaka 3.