Processing math: 100%
x
Učitavanje

8.1 Jednadžba pravca

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica

Na početku...

00:00
00:00

Petar je za vožnju do škole odabrao taksi službu koja naplaćuje 10kn start i nakon toga po 4kn za svaki prijeđeni kilometar. Prikažimo ovisnost cijene vožnje taksijem s obzirom na prijeđene kilometre.

Prepišite zadatak na papir te ispunite tablicu s cijenama vožnje taksijem.

x (prijeđeno kilometara) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) (cijena u kunama) 10
x (prijeđeno kilometara) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) (cijena u kunama) 10 14 18 22 26 30 34 38 42

Pogledajmo to na grafičkom prikazu.

Graf linearne funkcije - taksi
Graf linearne funkcije - taksi
Kolika je cijena vožnje duljine 6km?
.
null
null
Približno koliko kilometara možemo proći za 20 kuna?
.
null
null

Kako glasi funkcija pomoću koje možemo odrediti cijenu vožnje ako nam je poznata udaljenost u kilometrima (za x>0)?

null
null

U ovom primjeru pojavila se linearna funkcija:  f(x)=4x+10. Graf te funkcije jest pravac čija jednadžba glasi:  y=4x+10.

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

Mijenjajte koeficijente u jednadžbi pravca i prisjetite se kako utječu na izgled pravca.

U jednadžbi pravca y=kx+l koeficijent k nazivamo

   
ili koeficijent
   
, a koeficijent l nazivamo
   
.
nagib
odsječak na osi y
smjera
null
null

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

Pravac koji nije paralelan s osi y ima jednadžbu y=kx+l, pri čemu je k koeficijent smjera ili nagib pravca, a l odsječak na osi y. Jednadžbu zapisanu u ovom obliku zovemo eksplicitni oblik jednadžbe pravca.

Zanimljivost

Riječ eksplicite dolazi od novolatinske riječi explicite, što znači izrijekom, izričito, jasno, razumljivo, eksplicitno. Izvor: link.

Primjer 1.

Nacrtajmo pravac koji je zadan jednadžbom: y=2x+1.

Pravac je određen s dvije točke. Odaberimo dvije vrijednosti za x i odredimo pripadne vrijednosti y.

x 0 1
y 1 3
Jednadžba pravca y=2x+1
Jednadžba pravca y=2x+1

Zanimljivost

Oznake koeficijenata kod eksplicitnog oblika jedandžbe pravca različite su u pojedinim krajevima svijeta. Pogledajte kako se označavaju u nekim zemljama. Izvor: link.

Primjer 2.

Neka su zadane dvije točke: (0,1) i (1,3). Odredimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz te dvije točke.

Uvrstimo li x i y koordinate tih točaka u jednadžbu pravca y=kx+l, dobivamo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

1=0k+l

3=1k+l.

Rješenje je tog sustava sljedeće: k=2 i l=1.

Jednadžba pravca u eksplicitnom obliku glasi y=2x+1.

Primjer 3.

Odredimo kut koji pravac y=2x+1 zatvara s pozitivnim dijelom osi x.

Koeficijent smjera tog pravca jest k=2.

Istaknimo li točke A i B na pravcu i nadopunimo do pravokutnog trokuta ABC.

Duljina je katete |AC|=1, što je promjena varijable x, tj. xB-xA, a duljina je katete |BC|=2, što je promjena varijable y, tj. yB-yA. Za kut α možemo primijeniti trigonometriju pravokutnog trokuta (tangens kuta jednak je omjeru nasuprotne katete i priležeće katete) pa vrijedi: tgα=yB-yAxB-xA=k.

tgα=2α63°26'6"

Nagib pravca y=2x+1
Nagib pravca y=2x+1

Za koeficijent smjera pravca vrijedi k=tgα, pri čemu je α kut koji pravac zatvara s pozitivnim dijelom osi apscisa.

Zadatak 1.

Odredite kut koji zatvara pravac s pozitivnim dijelom osi x.

a) y=-x+2

b) y=12x

c) y=2

a) k=-1, tgα=-1α=-45°=135°

b) k=12, tgα=12α26°33'54"

c) k=0, tgα=0α=0°


Pogledajte sljedeću ilustraciju pa odgovorite na pitanja.

Pravac x=1
Pravac x=1

Je li na ilustraciji nacrtan graf funkcije?

null
null

Može li se  jednadžba ovog pravaca napisati u obliku y=kx+l?

null
null

Koliki kut zatvara ovaj pravac s pozitivnim dijelom osi x?

null
null

Koliki je tangens od 90°?

null
null

Kako glasi jednadžba ovog pravca?

null
null

Implicitni oblik jednadžbe pravca

Jednadžbu pravca paralelnog s osi y nije moguće zapisati u eksplicitnom obliku. Stoga postoji još jedan oblik jednadžbe pravca - implicitni.

Zanimljivost

Značenje riječi implicitno dolazi od latinske riječi implicite, što znači zapleteno, podrazumijevajući, prešutno. Riječ implicitno suprotna je od riječi eksplicitno. Izvor: link.

Implicitni oblik jednadžbe pravca

Jednadžbu pravca možemo zapisati i u obliku Ax+By+C=0, pri čemu barem jedan od realnih brojeva A ili B mora biti različit od 0. Tu jednadžbu zovemo implicitni oblik jednadžbe pravca.

Primjer 4.

Pretvorimo implicitni oblik jednadžbe pravca 2x-y+1=0 u eksplicitni oblik.

-y=-2x-1

y=2x+1

Zadatak 2.

Za jednadžbe pravaca zadane implicitnim oblikom odredite eksplicitni oblik.

a) x+2y-4=0

b) 3x+y=0

c) y-3=0

d) x+7=0

a) y=-12x+2

b) y=-3x

c) y=3

d) Nema eksplicitni oblik jer je paralelan s y osi.


Prebaciti jednadžbu iz ekspicitnog u implicitni oblik lagano je: prebacimo sve na lijevu stranu jednakosti.

Primjer 5.

Prebacimo jednadžbu pravca y=3x-2 iz eksplicitnog oblika u implicitni.

-3x+y+2=0 

Istražimo

Što mislite, kada je bolje upotrebljavati eksplicitni, a kada implicitni oblik jednadžbe pravca?

Segmentni oblik jednadžbe pravca

Primjer 6.

Odredimo presjek pravca 2x+y-2=0 s koordinatnim osima.

Sve točke na osi x imaju vrijednost y=0 pa uvrštavanjem u jednadžbu pravca dobivamo: 2x-2=0, tj. x=1. Točka presjeka s x osi iznosi M(1,0).

Želimo li odrediti presjek s y osi, uvrštavamo x=0 i dobijemo: y-2=0, tj. y=2. Točka presjeka s y osi jest N(0,2).

Pravac y=-2x+2
Pravac y=-2x+2

Kolika je duljina odsječka koji pravac odsijeca na x osi?

Pravac y=-2x+2
null
null

Kolika je duljina odsječka koji pravac odsijeca na y osi?

Pravac y=-2x+2
null
null

Koja jednadžba predstavlja jednadžbu pravca sa slike? (Uputa: možete odabrati neke točke koje se nalaze na pravcu i uvrstiti ih u jednadžbe pravaca.) 

Pravac y=-2x+2
null
null

Segmentni oblik jednandžbe pravca

Neka su točke (m,0) i (0,n), m n0 presjeci pravca s koordinatnim osima. Onda taj pravac ima jednadžbu xm+yn=1. Takav oblik jednadžbe pravca nazivamo segmentni oblik.

Brojevi m i n jesu segmenti ili odsječci koje pravac odsijeca na koordinatnim osima.

Segmentni oblik jednadžbe pravca
Segmentni oblik jednadžbe pravca

Mijenjajte položaj točaka M i N i pratite kako se mijenja jednadžba pravca u segmentnom obliku.

Primjer 7.

Napišimo pravac y=2x+3 u segmentnom obliku.

Da bismo odredili segmentni oblik jednadžbe pravca, s desne strane znaka jednakosti trebamo dobiti broj 1.

Prebacimo nepoznanice na lijevu stranu i dobijemo: -2x+y=3.

Podijelimo s 3, -2x3+y3=1.

Segmente na koordinatnim osima dobit ćemo ako prvi razlomak napišemo kao dvojni: x-32+y3=1, pa je m=-32 i n=3.

Zadatak 3.

Zadane jednadžbe pravaca prebacite u segmentni oblik.

a) 2x-4y+8=0

b) 23x+y+1=0

c) y=-3x+2

d) y=5x

e) y=2

f) x=1

a) x-4+y2=1

b) x-32+y-1=1

c) x23+y2=1

d) nije moguće napisati u segmentnom obliku

e) nije moguće napisati u segmentnom obliku

f) nije moguće napisati u segmentnom obliku


Istražimo

Nacrtajte pravce y=5x, y=2 i x=1 te razmislite zašto nije moguće napisati segmentne oblike tih pravaca.

Segmentni oblik jednadžbe pravca prikladan je za prikaz u koordinatnom sustavu te za određivanje površine koju pravac zatvara s koordinatnim osima.

Primjer 8.

Odredimo površinu koju pravac x1+y2=1 zatvara s koordinatnim osima.

Odsječci na koordinatnim osima iznose 1 i 2, stoga površina pravokutnog trokuta iznosi P=1·22

P=1 kv. jed.

Segmentni oblik jednadžbe pravca - površina trokuta
Segmentni oblik jednadžbe pravca – površina trokuta

Površina trokuta koji zatvaraju pravac i koordinatne osi iznosi P=12|m·n|.

...i na kraju

Prepišite zadatak na papir pa u tablicu upišite po jedan primjer jednadžbe pravca.

Pripazite: neke jednadžbe pravaca nije moguće napisati u sva tri oblika.

bilo koji pravac pravac kroz ishodište pravac paralelan s x osi pravac paralelan s y osi
eksplicitni oblik
implicitni oblik
segmentni oblik

Primjer rješenja.

bilo koji pravac pravac kroz
ishodište
pravac paralelan s x osi pravac paralelan s y osi
eksplicitni oblik y=2x+1 y=2x y=2 -
implicitni oblik 2x+y-1 = 0 2x-y=0 y-2=0 x-1=0
segmentni oblik x2 + y1 =1 - - -

Povratak na vrh