Udaljenost točke od pravca

Udaljenost točke $T (x_{0}, y_{0})$ od pravca $p . . . A x + B y + C = 0$ najkraća je udaljenost između te točke i pravca. Ona je jednaka udaljenosti točke $T (x_{0}, y_{0})$ od njezine ortogonalne projekcije $P (x_{p}, y_{p})$ na pravcu $p .$

Kako odrediti udaljenost točke od pravca, možeš vidjeti u danoj animaciji.

Ako je pravac dan u implicitnom obliku, udaljenost točke $T (x_{0}, y_{0})$ od pravca $p . . . A x + B y + C = 0$ dana je formulom:

$d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

Primjer 1.

Izračunaj udaljenost točke $T (1, 1)$ od pravca $2 x + 2 y - 3 = 0 .$

Udaljenost točke od pravca

Uoči da je $x_{0} = 1,$ $y_{0} = 1$ i $A = 2,$ $B = 2$ i $C = - 3 .$

U formulu za računanje udaljenosti točke od pravca $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ uvrsti: $x_{0},$ $y_{0},$ $A,$ $B$ i $C .$

Vrijedi: $d = \frac{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Udaljenost točke $T (1, 1)$ od pravca $2 x + 2 y - 3 = 0$ jest $d = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Riješi sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #1

Udaljenost točke $T (- 1, 3)$ od pravca $3 x + 4 y + 6 = 0$ iznosi:

d = 3

Bravo!

d = 4

Razmisli!

d = 5

Razmisli!

d = 6

Pomoć:

Pri računanju koristi formulu za računanje udaljenosti točke od pravca: $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

null

Udaljenost točke

T (- 1, - 1)

od pravca

5 x + 12 y + 4 = 0

iznosi:

d =

Razmisli!

Pomoć:

Pri računanju koristi formulu $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

null

Ako je pravac dan u eksplicitnom obliku, udaljenost točke $T (x_{0}, y_{0})$ od pravca $p . . . y = k x + l$ dana je formulom: $d = \frac{|k x_{0} + l - y_{0}|}{\sqrt{1 + k^{2}}} .$

Obzirom da se lako prijeđe iz implicitnog u eksplicitni oblik pravca i obrnuto, dovoljno je upamtiti jednu formulu za udaljenost točke od pravca.

Primjer 2.

Izračunaj udaljenost točke $T (2, 5)$ od pravca zadanog u eksplicitnom obliku $p . . . y = \frac{1}{2} x + 3 .$

Udaljenost točke od pravca

U formulu za računanje udaljenosti točke od pravca $d = \frac{|k x_{0} + l - y_{0}|}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ potrebno je uvrstiti: $x_{0} = 2,$ $y_{0} = 5,$ $k = \frac{1}{2}$ i $l = 3 .$

Vrijedi: $d = \frac{|\frac{1}{2} \cdot 2 + 3 - 5|}{\sqrt{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}}} = \frac{|- 1|}{\sqrt{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Udaljenost točke $T (2, 5)$ od pravca $p . . . y = \frac{1}{2} x + 3$ iznosi: $d = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Riješi sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #2

Udaljenost točke $T (2, 2)$ od pravca $y = 2 x + 5$ iznosi:

d = \frac{5 \sqrt{3}}{3}

Razmisli!

d = \frac{5 \sqrt{6}}{6}

Razmisli!

d = \frac{7 \sqrt{5}}{5}

Bravo!

d = \frac{8 \sqrt{7}}{7}

Razmisli!

Pomoć:

Pri rješavanju koristi formulu: $d = \frac{|k \cdot x_{0} + l - y_{0}|}{\sqrt{1 + k^{2}}} .$

null

Udaljenost točke

T (2, 3)

od pravca

y = 2 x + 3

iznosi:

d =

Rezultat zapiši u obliku decimalnog broja zaokruženog na dvije decimale.

.

Pomoć:

Pri računanju koristi formulu $d = \frac{|k \cdot x_{0} + l - y_{0}|}{\sqrt{1 + k^{2}}} .$ Kada dobiješ rezultat zapiši ga u obliku decimalnog broja.

null

Udaljenost paralelnih pravaca

Kutak za znatiželjne

Željezničku prugu čine kolosjeci. Kolosjek se sastoji od tračnica i pragova, pri čemu pragovi povezuju tračnice. Širina normalnog, najčešće korištenog kolosjeka iznosi $1 435 mm .$ No, nemaju kolosjeci svih država istu širinu. Primjerice, u nekim dijelovima Indonezije, širina kolosjeka iznosi $750 mm,$ u Švicarskoj $1 000 mm,$ a u Japanu $1 067 mm .$ Što misliš, na koji je način izmjerena širina kolosjeka?

Neka su dana dva paralelna pravca. Za računanje njihove udaljenosti, dovoljno je proizvoljno izabrati jednu točku koja leži na jednom pravcu i izračunati njezinu udaljenost do drugog pravca.

Zanimljivost

Starogrčki matematičar Euklid oko 300. g. pr. Kr. napisao je zbirku od 13 knjiga koja se naziva Elementi. Ta je zbirka sve do 19. stoljeća bila osnovni udžbenik iz matematike. Za nju se kaže kako je, nakon Biblije, najviše proučavano i prevođeno djelo. U njima su sustavno zapisana sva znanja iz matematike i dokazi matematičkih tvrdnji koje se smatraju temeljima matematike koju danas poznajemo.

Euklid je u Elementima uveo i matematičku tvrdnju: "Ako pravac siječe druga dva pravca tako da je zbroj unutrašnjih kutova s iste strane tog pravca manji od dva prava kuta, onda se ti pravci dovoljno produženi sijeku s one strane pravca gdje je zbroj kutova manji od dva prava kuta."

Ta je tvrdnja tijekom prošlosti izazvala mnoge polemike matematičara. Danas se najčešće iskazuje na sljedeći način: "Kroz svaku točku izvan pravca može se povući točno jedna paralela s pravcem" i poznata je kao postulat o paralelama ili Playfairov aksiom (prema škotskom matematičaru Playfairu koji ga je iskazao kao alternativu Euklidovom postulatu) .

Izvor

Primjer 3.

Kolika je udaljenost pravaca $y = 2 x - 2$ i $y = 2 x + 8 ?$

Budući da su koeficijenti smjera $k_{1} = 2$ i $k_{2} = 2$ jednaki, pravci su paralelni.

Jedna od točaka pravca $y = 2 x - 2$ jest $T (0, - 2) .$

Potrebno je izračunati udaljenost točke $T (0, - 2)$ od pravca $y = 2 x + 8 .$

S obzirom na to da je pravac zadan eksplicitnom formulom, pri računanju udaljenosti točke od pravca upotrijebi formulu: $d = \frac{|k x_{0} + l - y_{0}|}{\sqrt{1 + k^{2}}} .$

Vrijedi:

$d = \frac{|2 \cdot 0 + 8 + 2|}{\sqrt{1 + 2^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2 \sqrt{5} .$

Riješi sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #3

Udaljenost između pravaca

y = - 4 x + 4

i

y = - 4 x + 20

iznosi: d=

Razmisli! Rješenje zapiši u obliku decimalnog broja zaokruženog na dvije decimale!

.

Pomoć:

Uoči da je pravcima jednak koeficijent smjera: pravci su paralelni. Dovoljno je odabrati bilo koju točku na jednom pravcu i pronaći njezinu udaljenost od drugog pravca.

null

Udaljenost između pravaca

y = 2 x + 4

i

y = 2 x - 4

iznosi:

d =

Razmisli! Zapiši u obliku decimalnog broja!

Pomoć:

Primijeti da su pravci paralelni (jednaki su im koeficijenti smjera).

Odaberi točku na jednom pravcu i pronađi njezinu udaljenost do drugog pravca.

null

...i na kraju

Udaljenost točke $T (x_{0}, y_{0})$ od pravca $p . . . A x + B y + C = 0$ najkraća je udaljenost između te točke i pravca. Ona je jednaka udaljenosti točke $T (x_{0}, y_{0})$ od njezine ortogonalne projekcije $P (x_{p}, y_{p})$ na pravcu $p .$

Ako je pravac dan u implicitnom obliku, udaljenost točke $T (x_{0}, y_{0})$ od pravca $p . . . A x + B y + C = 0$ dana je formulom: $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

Ako je pravac dan u eksplicitnom obliku, udaljenost točke $T (x_{0}, y_{0})$ od pravca $p . . . y = k x + l$ dana je formulom: $d = \frac{|k x_{0} + l - y_{0}|}{\sqrt{1 + k^{2}}} .$

Procijenite svoje znanje

Udaljenost točke $T (x_{0}, y_{0})$ od pravca $p . . . A x + B y + C = 0$ jest

te točke i pravca. Ona je jednaka udaljenosti točke

T (x_{0}, y_{0})

od njezine

na pravcu

p .

najkraća udaljenost

ortogonalne projekcije

Postupak:

Pažljivo pročitaj tekst dan za ponavljanje na kraju cjeline. Povuci izraze za koje misliš da bi trebali stajati na za to predviđenim mjestima.

Točka $T (0, 0)$ od pravca $y = \frac{3}{4} x + 5$ udaljena je za

2

Razmisli!

3

Razmisli!

4

Bravo!

5

Razmisli!

Pomoć:

Koristi formulu: $d = \frac{|k x_{0} + l - y_{0}|}{\sqrt{1 + k^{2}}} .$

Udaljenost točke

(1, 1)

od pravca

- 8 x + 15 y + 10 = 0

iznosi:

d =

Razmisli!

.

Pomoć:

Koristi formulu: $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

Udaljenost točke

A (\frac{1}{5}, 1)

od pravca

5 x + 12 y = 0

iznosi:

Razmisli!

.

Pomoć:

Koristi formulu: $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} .$

Udaljenost između pravaca

y = \frac{4}{3} x + 7

i

y = \frac{4}{3} x - 3

iznosi:

d =

Razmisli!

.

Pomoć:

Koristi formulu: $d = \frac{|k x_{0} + l - y_{0}|}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ .

8.4 Udaljenost točke od pravca

Na početku...

Udaljenost točke od pravca

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #1

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #2

Udaljenost paralelnih pravaca

Kutak za znatiželjne

Zanimljivost

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #3

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: