x
Učitavanje

8.2 Posebni položaji pravca u koordinatnom sustavu

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Samostalno učenje icon samostalno učenje
Procjena znanja icon procjeni znanje
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Marija istražuje ponude teleoperatera i želi pronaći ponudu koja će joj najbolje odgovarati.

Nakon prikupljanja podatka, izdvojila je dva modela koji su joj najprihvatljiviji:

  1. plaćanje fiksnog dijela svakog mjeseca u iznosu od 30 kuna i cijena svake minute razgovora 0,2 kune
  2. plaćanje bez fiksnog dijela uz cijenu od 0,5 kuna za svaku minutu razgovora.

Kod prvog modela ne sviđa joj se to što mora plaćati 30 kuna bez obzira na to je li telefonirala ili nije. Kod drugog modela veća je cijena po minuti.

Marija je modele ucrtala u koordinatni sustav koristeći linearnu funkciju.

Modele je zapisala ovako:

a) f x = 0.2 x + 30

b) g x = 0.5 x .

Djevojčica s mobitelom
Kako odabrati model pretplate teleoperatera?

Pomoću grafičkog prikaza dvaju modela odgovorite na sljedeća pitanja.

Grafički prikaz dva modela
Grafički prikaz dva modela

Koji od modela ima veći nagib tj. veći rast?

null
null

Pravci se sijeku u točki s koordinatama 100 , 50 .

null
null

Ako Marija razgovara do 100 minuta tijekom mjeseca, odgovara li joj bolje model f ( x ) = 0.2 x + 30 ?

null
null

Odnosi dvaju pravaca

Primjer 1.

U uvodnom smo primjeru vidjeli da pravci mogu imati jednu zajedničku točku tj. točku u kojoj se sijeku.

Koordinate te točke očitali smo s grafa. Odredimo točku presjeka tako da riješimo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

y = 0.5 x

y = 0.2 x + 30

Nepoznanica y izražena je pomoću x u prvoj jednadžbi, pa ćemo je uvrstiti u drugu jednadžbu.

0.5 x = 0.2 x + 30                           

0.5 x - 0.2 x = 30

0.3 x = 30 / : 0.3

x = 100

y = 0.5 x = 0.5 · 100 = 50

Rješenje je uređeni par:  100 , 50 .

To znači da će Marija za sto minuta razgovora u oba modela platiti 50 kuna.

Da se dva pravca mogu sjeći u jednoj točki, pokazali smo u prethodnom primjeru.

To je jedna od situacija.

Pomoću sljedeće interakcije, mijenjajući vrijednost koeficijenata k 1 , k 2 , l 1 i l 2 ,  proučite u kojim se sve odnosima mogu naći dva pravca.

Ako su koeficijenti smjera jednaki, pravci su paralelni/usporedni.

null
null

Ako su za dva pravca l 1 i l 2 jednaki, pravci se sijeku u točki s koordinatama:

null
null

Sjecište pravca s koordinatnim osima

Primjer 2.

Za pravac 2 x - y + 5 = 0 odredimo sjecišta s osi apscisa.

Za sve točke koje leže na x osi vrijedi da je y koordinata jednaka 0 . To vrijedi i za točku koja leži na pravcu i na osi apscisa tj. za sjecište pravca s osi apscisa.

Riješimo sustav jednadžbi:

y = 0 i 2 x - y + 5 = 0 .

Uvrstimo u drugu jednadžbu umjesto y nulu.

2 x - 0 + 5 = 0

2 x = - 5 / : 2

x = - 5 2

Točka u kojoj pravac siječe os apscisa ima koordinate - 5 2 , 0 .

Grafički prikaz rješenja
Grafički prikaz rješenja

Zadatak 1.

Odredite sjecište pravca - x + 3 y - 1 = 0 s osi ordinata.

Zapišite jednadžbu pravca u eksplicitnom obliku.

Je li sjecište s osi ordinata "vidljivo" iz jednadžbe pravca u eskplicitnom obliku?

x = 0 i - x + 3 y - 1 = 0

3 y - 1 = 0

y = 1 3

Točka sjecišta jest 0 , 1 3 .

Pravac u eksplicitnom obliku: y = x 3 + 1 3 .

Točka sjecišta pravca y = k x + l s osi ordinata jest 0 , l .

Rješenje
Rješenje

Zadatak 2.

Zadane su točke 2 , - 3 i 2 , 5 . Nacrtajte pravac koji prolazi ovim točkama.

Razmislite i odgovorite na sljedeća pitanja.

Pravac koji prolazi točkama 2 , - 3 i 2 , 5 siječe x osi u točki s koordinatama.

null
null

Jednadžba pravca koji prolazi kroz točke 2 , - 3 i 2 , 5 jest  y = 2 .

null
null

Što vrijedi za pravac koji prolazi kroz točke 2 , - 3 i 2 , 5 .

null
null

Primjer 3.

U prethodnom zadataku koeficijent B bio je jednak 0 . Kakav je pravac kod kojeg je koeficijent A = 0 ?

Nacrtajmo pravac - y + 5 = 0 .

Sve točke na pravcu imaju y koordinatu jednaku 5 .

Točke koje su na pravcu jesu npr. 0 , 5 , 3 , 5 .

Nacrtajmo pravac pomoću ovih dviju točaka.

Rješenje
Rješenje

Što sve vrijedi za pravac - y + 5 = 0 ?

null
null

Pravci paralelni s koordinatnim osima

Jednadžba pravca usporednog s osi​ x jest y = l , pri čemu je l odsječak na osi ordinata.

Jednadžba pravca usporednog s osi y jest x = a , pri čemu je a ∈ R .

Pogledajte kako se crtaju pravci paralelni s osi apscisa i osi ordinata.

Crtanje pravaca paralelnih s osi apscisa i osi ordinata

...i na kraju

Grafički prikaz linearne funkcije jest pravac. Pravac smo prikazali u koordinatnom sustavu u ravnini. Koordinatni sustav koji obično koristimo razvio je francuski matematičar René Descartes (1596. - 1650.).

Prema legendi, Deacartes, koji je često bio bolestan, ležao je u krevetu i na stropu ugledao muhu. Pitao se kako najbolje opisati mjesto gdje se muha nalazi i odlučio da kut stropa upotrijebi kao početnu točku  Zamislio je strop kao pravokutnik nacrtan na komadu papira: donji lijevi kut uzeo je kao početnu točku te u odnosu na nju odredio položaj muhe. Svaki par koordinata određuje jedinstvenu točku na stropu, a svaka točka na stropu ima jedinstveni par koordinata. Muha… Tko bi pomislio da bi obična muha mogla igrati glavnu ulogu u povijesti koordinatnog sustava?

Kretanja muhe u koordinatnom sustavu
Kretanje muhe u koordinatnom sustavu

Zadatak 3.

Zamislimo muhu na stropu. Svaki cijeli broj jedan je korak muhe. Muha je krenula iz ishodišta koordinatnog sustava do točke - 2 , 6 , pa se po pravcu koji je paralelan s osi apscisa nastavila kretati u smjeru istoka pet koraka, a zatim nastavila po pravcu paralelenom s osi ordinata na jug tri koraka. Prikažite kretanje muhe u koordinatnom sustavu.

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh