10.2 Mjere srednje vrijednosti

Srednja vrijednost

U svakodnevnim situacijama, promatrajući skup podataka, često pokušavamo odrediti  podatak koji najbolje reprezentira taj skup. Obično tražimo srednju vrijednost oko koje se kreće najviše podataka u toj pojavi. Pritom, intuitivno koristimo termin „prosjek“ ili „prosječna vrijednost“. Primjerice, prosječan broj učenika u razrednom odjeljenju, prosječna plaća u graditeljstvu, prosječna visina itd. Pritom, većina ljudi misli na aritmetičku sredinu. No, kao što smo vidjeli u prethodnom primjeru, postoje srednje vrijednosti koje će nam u nekim slučajevima dati bolju informaciju o promatranom skupu podataka nego aritmetička sredina.

Brojčanu vrijednost koja opisuje sredinu uzorka, odnosno reprezentira skup podataka koji imaju tendenciju grupiranja oko neke vrijednosti, nazivamo mjera centralne tendencije ili mjera srednje vrijednosti.

Pogledajmo koje su mjere srednje vrijednosti i kako se određuju.

Mod

Primjer 1.

Sljedeća tablica prikazuje broj golova koje je hrvatska nogometna A-reprezentacija postigla na kvalifikacijskim utakmicama za svjetsko prvenstvo (SP) ili na utakmicama SP od 1996. do 2017. godine (uključujući obje godine).

Broj golova po utakmici	Broj utakmica na kojima je postignut
$0$	$15$
$1$	$28$
$2$	$15$
$3$	$11$
$4$	$8$
$5$	$0$
$6$	$1$

Odredite mod ili dominantnu vrijednost prikazanih podataka. Što nam govori taj podatak?

Primjer 2.

Promotrite sljedeće skupove brojeva i odredite njihov mod.

Skup podataka može imati više od jednog moda. Primjerice, prema istraživanju o cijeni kave s mlijekom u nekom gradu najčešća cijena takve kave je $10\mathrm{kn}$ ili $12\mathrm{kn}.$ U ovom se slučaju radi o dva podatka koji imaju istu frekvenciju, odnosno dva moda, pa još govorimo o bimodalnoj raspršenosti podataka.

Ako skup ima više od dva moda govorimo o multimodalnoj raspršenosti podataka.

Ne mora svaki skup podataka imati mod. Može se dogoditi da niti jedan podatak u skupu ne dominira, odnosno da se svi podatci pojavljuju isti broj puta.

Uočimo da se mod, ako postoji, uvijek nalazi unutar promatranog skupa podataka.

Aritmetička sredina

Pogledajmo sljedeću animaciju.

O pojmu aritmetičke sredine ili prosjeku konačnog skupa brojeva govorili smo već u Modulu 1 (1.6. Primjena).

U matematičkoj se statistici za aritmetičku sredinu koristi oznaka $\stackrel{-}{x}$ ili $\mu .$

Slično se računa i ako su podatci zadani pomoću frekvencija:

gdje je $n=f_1+f_2+...+f_k.$

Tada aritmetičku sredinu računamo $\stackrel{-}{x}=\frac{x_1{f}_1+x_2{f}_2+...+x_k{f}_k}{n}.$

Kažemo da aritmetička sredina predstavlja ravnotežno mjesto skupa podataka.

Potražite obrazloženje u sljedećoj interakciji.

Ukupno odstupanje podataka koji su iznad aritmetičke sredine uvijek je većejednakomanjeukupnom odstupanju podataka koji su ispod aritmetičke sredine. Na grafičkom je prikazu aritmetička sredina mjesto ravnoteže ili točka oko koje je zbroj svih pozitivnih i negativnih odstupanja jednak 11000.

null

null

Zadatak 1.

Odredite aritmetičku sredinu podataka o broju golova iz Primjera 1. Interpretirajte rezultat.

Uočite da aritmetička sredina ne mora biti jedan od podataka iz promatranog uzorka. Ako njezina vrijednost nije cijeli broj, zapisujemo je u decimalnom obliku, čak i u slučaju da se radi o podatcima koji mogu imati samo cjelobrojnu vrijednost.

Obično se zaokružuje na jednu decimalu više nego što je imaju originalni podatci.

Medijan

Primjer 3.

U tablici su 1. i 2. podatci o prosječnim mjesečnim neto plaćama zaposlenika u tvrtkama A i B. Koju biste tvrtku izabrali za zaposlenje? Koja mjera srednje vrijednosti najbolje opisuje dane podatke?

Sve su vrijednosti izražene u kunama.

Tablica 1. (Tvrtka A)

$15199$	$12310$	$5525$	$6830$	$9545$
$23105$	$4702$	$6830$	$7542$	$10235$
$18715$	$210110$	$8110$	$13420$	$12145$

Tablica 2. (Tvrtka B)

$14097$	$12235$	$5670$	$5670$	$15235$
$8755$	$9546$	$8354$	$19665$	$18450$
$18880$	$16450$	$7340$	$13905$	$9800$
$14550$	$8230$	$15875$	$15560$	$13552$

Mod za podatke o plaćama u tvrtki A je $\mathrm{kn},$ a mod za podatke tvrtke B je $\mathrm{kn}.$

null

null

Aritmetička sredina svih plaća u tvrtki A je

Točan iznos je $24288.2$

$\mathrm{kn}.$ Aritmetička sredina svih plaća u tvrtki B je

Točan iznos je $12590.95$

$\mathrm{kn}.$

null

null

Prema ovim bismo rezultatima trebali zaključiti da je isplativije biti zaposlenik tvrtke A.

No, je li to doista tako?

Uočimo da se u nizu podataka za tvrtku A pojavljuje ekstremna vrijednost, podatak koji znatno odstupa od ostalih. Taj podatak znatno utječe na aritmetičku sredinu. Stoga aritmetička sredina također nije dobra mjera srednje vrijednosti u slučaju tvrtke A.

Takve će podatke puno bolje opisati mjera srednje vrijednosti koju nazivamo medijan.

Primjer 4.

Niz se podataka sastoji od $9$ brojeva poredanih po veličini. Odredimo medijan.

Primjer 5.

Niz se podataka sastoji od $10$ brojeva poredanih po veličini. Odredimo medijan.

Zadatak 2.

Odredite medijan za podatke o plaćama u tvrtki A i tvrtki B iz Primjera 3.  Koju biste sad tvrtku odabrali za zaposlenje?

Zadatak 3.

Ako neki niz ima $n$ podataka, vrijednost izraza $\frac{n+1}{2}$ određuje središnju poziciju tog niza na kojoj se nalazi medijan (za neparan $n$) ili dvije središnje pozicije (za paran $n$) brojeva  čija je aritmetička sredina medijan.

Zadatak 4.

U nizu od $49$ mjerenja $19$ mjerenja ima vrijednost manju od $68,$ a $23$ mjerenja imaju vrijednost veću od $69.$ Preostala mjerenja su $68.1,$ $68.3,$ $68.3,$ $68.5,$ $68.5,$ $68.7,$ $68.8.$ Tada je medijan jednak broju .

null

null

Zadatak 5.

Sljedeći niz brojeva predstavlja redom mjesečne količine (u $\mathrm{mm}$) oborina u Puli za 2016. godinu: $133.5,$ $161.4,$ $105.5,$ $39.5,$ $82.5,$ $12.2,$ $7.7,$ $48.2,$ $108.2,$ $179.5,$ $155,$ $\mathrm{0.2.}$

Napišite podatke u redoslijedu pogodnom za određivanje medijana, a zatim odgovorite na pitanja koja slijede neposredno nakon toga.

• $155$
• $82.5$
• $12.2$
• $48.2$
• $7.7$
• $179.5$
• $0.2$
• $105.5$
• $39.5$
• $161.4$
• $133.5$
• $108.2$

null

null

 Koji broj određuje poziciju u nizu na kojoj se nalazi medijan?

$5$

$6$

$6.5$

$7$

Pomoć:

Poziciju određuje broj $\frac{n+1}{2}.$ ​

null

Medijan zadanog niza podataka je

$82.5$

$86.12$

$94$

$105.5$

 

null

U 2016. godini je $50\%$ vremena mjesečna količina oborina bila ispod $\mathrm{mm}.$

Pomoć:

Polovica svih podataka u nizu ima vrijednost ispod medijana.

null

Zadatak 6.

Na slučajnom uzorku od $50$ osoba izvršeno je istraživanje o broju pročitanih knjiga u siječnju. Dobiveni su sljedeći rezultati.

 Medijan se nalazi između 27. i 28.25. i 26. podatka26. i 27. podatkaMedijan je  11.502. Mod je 2301. Aritmetička sredina je  1.821.51.

Pomoć:

Ako je medijan artmetička sredina 25. i 26. podatka, a na početku niza je $11$ nula i $13$ jedinica, što je ukupno $24$ broja. Slijedi $10$ dvojki, što znači da je medijan jedan od tih brojeva.

null

Kako odabrati?

Kako bismo lakše odlučili koju od mjera srednje vrijednosti odabrati, dobro je znati  njihove prednosti i nedostatke.

Zadatak 7.

Kupac sa sjevera kontinenta želi kupiti kuću s bazenom u Rovinju. Među kućama oglašenima za prodaju pronašao je $12$ kuća koje odgovaraju njegovim zahtjevima. Cijene tih kuća, izražene u eurima, dane su u sljedećoj tablici.

Koja mjera srednje vrijednosti najviše odgovara kupcu, a koja agentu nekretninama?

Zadatak 8.

Broj koncerata (događanja) tijekom 2017. godine u velikoj dvorani KD "Vatroslav Lisinski",  dan je tablicom:

Uparite aritmetičku sredinu, medijan i mod s pripadajućim vrijednostima za dani skup podataka.

Aritmetička sredina	$8$ i $24$
Mod	$14.2$
Medijan	$16.5$

null

null

Prodiskutirajte svaku mjeru srednje vrijednosti iz prethodnog primjera.

Uz pomoć tehnologije

Statistička je obrada podataka prisutna u svim područjima ljudskog života i koristi veliku količinu različitih podataka. Prikazivanje, razni izračuni i analiza tih podataka bilo bi jako sporo i neprecizno, gotovo nemoguće bez korištenja tehnologije. Postoji mnoštvo alata s proračunskim tablicama koji se mogu koristiti putem računala, pametnih telefona, ali i džepnih računala. Dovoljno je upisati prikupljene podatke u tablicu, a zatim odabirom željenog prikaza, analize ili samo neke od funkcija računalo u nekoliko sekundi prikaže sve što nam treba na ekranu.

Pogledajmo kako to izgleda u GeoGebrinoj interakciji.

Koristeći dani applet (ili bilo koje proračunske tablice ili grafičko računalo), upišite sljedeće podatke o postignutom broju bodova na godišnjoj provjeri znanja u jednoj gimnaziji.

Zadatak 9.

Pomoću ponuđenih alata odredite mod, aritmetičku sredinu i medijan. Interpretirajte dobivene rezultate, kao da pišete izvještaj o rezultatima godišnjeg ispita.