Matematika 1 - 10.5 Uspoređivanje i Interpretacija podataka

Uspoređivanje podataka pomoću mjera srednje vrijednosti

Andrei je u prvih dvadeset dana mjerenja trebalo prosječno minuta da stigne u školu, a kad je kretala

$10$ minuta ranije, trebalo joj je prosječno minuta.

null

Iz toga možemo zaključiti da se prosječno vrijeme putovanja skratilo za od $1$ minute.

null

Medijan vremena putovanja u školu na početku mjerenja iznosi minutu, a medijan vremena nakon što je ranije kretala u školu iznosi minutu.

null

Uspoređujući medijane, zaključujemo da je vrijeme putovanja .

null

U oba slučaja mod podataka iznosi .

null

Što biste odgovorili na pitanje je li se vrijeme putovanja skratilo ili nije?

Često smo u prilici podatke interpretirati ovisno o kontekstu problema ili ovisno kome ćemo ih prezentirati. Na ovome primjeru, ako nekome želimo pokazati da se isplati krenuti ranije, koristit ćemo srednju vrijednost. U suprotnome ćemo pomoću medijana ili moda dokazati da to nije točno.

Primjer 1.

Dva košarkaša Gordan i Filip u proteklih su $5$ utakmica postigli sljedeći broj koševa:

Broj utakmice
Gordan Filip

$1 .$ $13$ $11$

$2 .$ $0$ $14$

$3 .$ $15$ $10$

$4 .$ $27$ $9$

$5 .$ $0$ $11$

Koji je od ova dva košarkaša bolji strijelac?

Kako ćemo to odlučiti? Na temelju kojih podataka?

Izračunajmo aritmetičke sredine njihovih rezultata.

${\bar{x}}_{G} = \frac{13 + 0 + 15 + 27 + 0}{5} = 11$

${\bar{x}}_{F} = \frac{11 + 14 + 10 + 9 + 11}{5} = 11$

Vidimo da su iste. Prema tome su kriteriju oni jednako dobri strijelci.

Izračunajmo medijane podataka.

Nakon što smo podatke poredali

Gordanovi rezultati: $0,$ $0,$ $13,$ $15,$ $27$

Filipovi rezultati: $9,$ $10,$ $11,$ $11,$ $14$

uočimo da medijan za Gordana iznosi $13,$ a za Filipa $11 .$

Po tome je kriteriju Gordan bolji strijelac.

Gledajući pak mod, rezultat koji je najčešći, za Gordana on iznosi $0,$ a za Filipa $11,$ zaključujemo da je Filip bolji strijelac.

Dakle, na temelju triju različitih mjera srednje vrijednosti došli smo do triju različitih zaključaka.

Tko je bolji strijelac? Razmislite i opišite situaciju kada ćemo koristiti koju mjeru srednje vrijednosti kao argument.

Broj utakmice	Gordan	Filip
$1 .$	$13$	$11$
$2 .$	$0$	$14$
$3 .$	$15$	$10$
$4 .$	$27$	$9$
$5 .$	$0$	$11$

Ako želimo predvidjeti koliko će koji igrač dati koševa u sljedećoj utakmici, koristit ćemo se modom. Ako pogađamo broj najbliži broju koševa koje će igrači postići u sljedećoj utakmici, koristit ćemo se aritmetičkom sredinom. Ako gledamo koliko koševa trebamo dati u sljedećoj utakmici kako bi nam izgledi da budemo bolji bili veći od $50 %,$ taj broj je medijan, točnije medijan $+ 1 .$

U situaciji kada dva skupa istovrsnih podataka želimo prikazati dijagramom stablo - list, smjestit ćemo ih u obostrani dijagram stablo - list.

Pogledajmo u animaciji kako ćemo ga konstruirati.

Pogledajmo sljedeći primjer.

Zadatak 1.

Biolozi su istraživali populaciju kuna zlatica i kuna bjelica te su izmjerili duljine po 20 jedinki svake vrste. Sljedeći obostrani dijagram stablo - list prikazuje rezultate.

Ako duljine kuna uspoređujemo računajući aritmetičku sredinu podataka, zaključujemo da su kune dulje. Ako duljine kuna uspoređujemo računajući medijan, zaključujemo da su kune dulje.

null

Zadatak 2.

Paralelnim brkatim kutijama prikazana su mjesta koja su osvajale ekipe Hrvatske i Francuske na međunarodnim matematičkim olimpijadama od 1993. do 2017. godine.

Uspoređujući medijane podataka, vidimo da je Francuska općenito za mjesta uspješnija od Hrvatske. Najbolji rezultat Hrvatske bilo je . mjesto, a najbolji rezultat Francuske . mjesto.
Najboljih

$50 %$ plasmana Hrvatske bolje je od . mjesta, a

$50 %$ najboljih plasmana Francuske bolje je od . mjesta.

null

Uspoređivanje podataka s pomoću standardne devijacije

Primjer 2.

U tvornici žarulja testira se vijek trajanja dviju vrsta žarulja, A i B. Provedeno je mjerenje na uzorku od $50$ žarulja svake vrste i dobiveni su rezultati prikazani u tablici.

Vrijeme trajanja u satima Frekvencija žarulja vrste A Frekvencija žarulja vrste B

$50$ $1$ $2$

$150$ $1$ $6$

$200$ $8$ $9$

$300$ $14$ $8$

$450$ $14$ $9$

$500$ $10$ $7$

$650$ $1$ $6$

$750$ $1$ $3$

Koja je od ovih dviju vrsta žarulja pouzdanija?

Vrijeme trajanja u satima	Frekvencija žarulja vrste A	Frekvencija žarulja vrste B
$50$	$1$	$2$
$150$	$1$	$6$
$200$	$8$	$9$
$300$	$14$	$8$
$450$	$14$	$9$
$500$	$10$	$7$
$650$	$1$	$6$
$750$	$1$	$3$

Nacrtajmo poligone frekvencija za obje vrste žarulja.

Uočimo da su oba poligona približno simetrična pa će aritmetičke sredine biti negdje u sredini podataka. Izračunajmo ih.

$\begin{array}{l} {\bar{x}}_{A} = \frac{50 + 150 + 8 \cdot 200 + 14 \cdot 300 + 14 \cdot 450 + 10 \cdot 500 + 650 + 750}{50} \\ = 374 \end{array}$

$\begin{array}{l} {\bar{x}}_{B} = \frac{2 \cdot 50 + 6 \cdot 150 + 9 \cdot 200 + 8 \cdot 300 + 9 \cdot 450 + 7 \cdot 500 + 6 \cdot 650 + 3 \cdot 750}{50} \\ = 378 \end{array}$

Aritmetičke sredine i rasponi podataka gotovo su jednaki.

Izračunajmo standardne devijacije da vidimo koliko je srednje odstupanje podataka od aritmetičke sredine.

$s_{A} = 136.47,$ $s_{B} = 193.43$

Žarulje vrste A imaju značajno manju standardnu devijaciju od žarulja vrste B. To znači da više žarulja vrste A ima vijek trajanja bliži aritmetičkoj sredini i da će manje žarulja vrste A pregorjeti u kraćem vremenu nego žarulja vrste B.

Žarulje vrste A pouzdanije su.

To se može potvrditi i na poligonu frekvencija: jedna žarulja vrste A pregorjela je za manje od $150$ sati, a čak je šest žarulja vrste B pregorjelo za isto vrijeme.

Uspoređivanje podataka s pomoću srednje vrijednosti i standardne devijacije

U prošlome smo primjeru uspoređivali raspršenost podataka s pomoću standardne devijacije. Do istoga smo zaključka došli gledajući poligon frekvancija, dakle gledali smo očite razlike. Međutim, koristeći se srednjom vrijednosti u kombinaciji sa standardnom devijacijom možemo doći do detaljnije analize podataka.

Možemo odrediti koji se udio podataka nalazi u intervalu "aritmetička sredina $\pm$ jedna standardna devijacija". Tako ćemo vidjeti raspršenost podataka oko aritmetičke sredine.

Primjer 3.

Učenici 1.e razreda pisali su test u kojemu je bilo maksimalno $20$ bodova. Srednja vrijednost ostvarenih bodova u testu bila je $\bar{x} = 13.4$ bodova, a standardna devijacija $s = 3.6$ bodova. Najmanji broj ostvarenih bodova jest $5,$ a najveći $20 .$ Pregledom rezultata utvrđeno je da $64 %$ učenika ima bodove u intervalu od $10$ do $17,$ odnosno "aritmetička sredina $\pm$ jedna standardna devijacija".

Otprilike mjesec dana poslije učenici su pisali sličan test s istim brojem maksimalnih bodova. Ovaj je put srednja vrijednost bila $\bar{x} = 14.6$ bodova, raspon bodova od $5$ do $20,$ a standardna devijacija ista kao i prvi put, $s = 3.6$ bodova. U intervalu od $11$ do $18$ bodova (" $\bar{x} \pm 1 s$ ") našlo se $75 %$ učenika.

Što možemo zaključiti?

Srednja vrijednost postignutih bodova za $1.2$ boda veća je na ponovljenom testu. Taj podatak nije pouzdan pokazatelj, test je možda bio jednostavniji. Raspon je bodova isti. Ako gledamo udio učenika s bodovima u intervalu $\bar{x} \pm 1 s,$ vidimo da u ponovljenu testu više učenika ima bodove bliže aritmetičkoj sredini nego u prvome testu.

Ovakva vrsta usporedbe podataka mogla bi se koristiti pri istraživanju tržišta za prodaju obuće ili odjeće. Razumno je očekivati da su u različitim dijelovima svijeta različite prosječne veličine koju populacija nosi. Bilo bi smisleno odrediti aritmetičku sredinu i udio stanovništva unutar intervala "aritmetička sredina $\pm$ jedna standardna devijacija" za svako tržište.

U tvornici za proizvodnju organskih gnojiva testirali su novi proizvod. Na jednoj su gredici uzgajali rajčice koje nisu ničim tretirali, a na drugoj su upotrijebili novo organsko gnojivo. Nasumično je izabrano po $10$ biljaka i zabilježeno koliko je kilograma uroda bilo na svakoj od njih. Rezultati su prikazani u tablici.

kg rajčica bez gnojiva	$8$	$7$	$8$	$9$	$5$	$8$	$9$	$8$	$9$	$5$
kg rajčica s gnojivom	$11$	$10$	$6$	$6$	$7$	$10$	$7$	$8$	$6$	$9$

Što od navedenoga vrijedi za ove podatke?

Uspoređujući medijane, zaključujemo da se uporabom organskoga gnojiva povećao urod.

Uspoređujući medijane, zaključujemo da se urod nije promijenio.

Uspoređujući aritmetičke sredine, zaključujemo da se uporabom organskoga gnojiva povećao urod.

Uspoređujući aritmetičke sredine, zaključujemo da se urod nije promijenio.

null

Paralelne brkate kutije prikazuju rezultate (u minutama) dviju skupina učenika u utrci na

$1 500$ metara.

Najbržih

$25 %$ dječaka trči brže od

$%$ djevojaka. Najbržih

$50 %$ djevojaka trči brže od

$%$ dječaka.

null

U rodilištu su jedan dan izmjerene težine (u kg) desetero novorođenčadi: $2.3,$ $2.6,$ $3.8,$ $3.4,$ $4.2,$ $3.4,$ $3.1,$ $2.9,$ $3.1,$ $3.8 .$
Nakon $12$ mjeseci njihove su se težine utrostručile. Izračunajte aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju težina pri porodu i nakon godinu dana.
Aritmetička sredina težina novorođenčadi nakon $12$ mjeseci se u odnosu na dan rođenja , a standardna devijacija težina novorođenčadi nakon $12$ mjeseci se u odnosu na dan rođenja .

null

Na sjednici je analiziran broj izostanaka učenika 3. i 4. razreda. Podatci su prikazani histogramima.

Što možete zaključiti iz oblika dijagrama?

Učenici 3. razreda imaju veće prosječno odstupanje broja sati izostanaka od aritmetičke sredine.

Učenici 4. razreda imaju veće prosječno odstupanje broja sati izostanaka od aritmetičke sredine.

null

U dva su grada mjerene temperature u $° C$ tijekom $10$ dana.
Grad A: $19,$ $21,$ $22,$ $22,$ $23,$ $23,$ $24,$ $25,$ $25,$ $26$
Grad B: $20,$ $25,$ $26,$ $18,$ $23,$ $13,$ $16,$ $26,$ $18,$ $15 .$
Standardna devijacija temperatura u gradu A iznosi

$° C,$ a u gradu B iznosi

$° C .$
Temperature su stabilnije u gradu

nego u gradu

$.$

$4.52$

$2$

null

ZAVRŠITE PROCJENU

10.5 Uspoređivanje i Interpretacija podataka

Na početku...

Uspoređivanje podataka pomoću mjera srednje vrijednosti

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Uspoređivanje podataka s pomoću standardne devijacije

Uspoređivanje podataka s pomoću srednje vrijednosti i standardne devijacije

...i na kraju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

Vrijeme u minutama	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$	$43$	$44$
Frekvencija	$1$	$1$	$2$	$8$	$2$	$3$	$3$