Matematika 5 - 2.4 Zbrajanje i oduzimanje prirodnih brojeva

Na početku...

Čarobnjak Harry Potter u crnom ogrtaču i crveno-žutim šalom oko vrata. U desnoj ruci drži magični štapić. — Čarobnjak

Školska knjižničarka nabavlja knjige za knjižnicu. Ukupno ima $1 000$ kn i želi romane iz serijala o Harryju Potteru. Može li kupiti sve naslove?

Ako ne, koliko joj novca nedostaje?

Ako da, koliko će joj novca ostati?

Naziv romana	Cijena
Harry Potter i kamen mudraca	$99 kn$
Harry Potter i odaja tajni	$99 kn$
Harry Potter i zatočenik Azkabana	$109 kn$
Harry Potter i plameni pehar	$149 kn$
Harry Potter i Red feniksa	$149 kn$
Harry Potter i princ miješane krvi	$169 kn$
Harry Potter i darovi smrti	$189 kn$

Prethodni zadatak može se riješiti zbrajanjem cijena svih naslova i oduzimanjem od broja $1 000 .$

Ukupna cijena svih naslova iznosi $99 + 99 + 109 + 149 + 149 + 169 + 189 = 963 kn .$

Knjižničarka ima dovoljno novca za sve naslove te će joj ostati $1 000 - 963 = 37 kn .$

Prisjeti se što već znaš o zbrajanju i oduzimanju prirodnih brojeva.

Zadatak 1.

Na odgovarajuća mjesta postavi nazive brojeva u zbrajanju. (Pločice postavi preko brojeva.)

prvi pribrojnik

zbroj

drugi pribrojnik

null

Brojeve koje zbrajamo zovemo pribrojnici, a rezultat zbrajanja zovemo zbroj (suma).

Zadatak 2.

Na odgovarajuća mjesta na slici postavi nazive brojeva u oduzimanju. (Pločice postavi preko brojeva.)

umanjenik

umanjitelj

razlika

null

Broj koji umanjujemo nazivamo umanjenik. Broj kojim umanjujemo nazivamo umanjitelj. Rezultat oduzimanja nazivamo razlika (diferencija).

Zadatak 3.

Zbroj dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodni broj.

Da

Ne

null

null
Razlika dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodni broj.

Da

Ne

Pomoć:

Je li rješenje zadatka $5$ - $5$ prirodan broj?

A rješenje zadatka $5$ - $12 ?$

null
Ako je $a > b,$ onda je $a - b \in N .$

Da

Ne

Postupak:

Ako je umanjenik veći od umanjitelja, tada je razlika prirodan broj.
Ako je umanjenik jednak umanjitelju, razlika je jednaka broju $0 .$

Da

Ne

null

Zbroj dvaju prirodnih brojeva prirodni je broj.

Modeli zbrajanja

Primjer 1.

Izračunaj $1 348 + 973$ pomoću različitih modela.

a) tablice mjesnih vrijednosti

b) koristeći se brojevnim pravcem

c) koristeći se modelom novca

d) pisanim zbrajanjem

	T	S	D	J
	$1$	$3$	$4$	$8$
+		$9$	$7$	$3$
	$1$	$\leftarrow$ $12$	$\leftarrow$ $11$	$\leftarrow$ $11$
	$2$	$3$	$2$	$1$

$8$ J više $3$ J je $11$ J. To je $1$ D i $1$ J.

$4$ D i $7$ D je $11$ D. Njima pribrajamo $1$ D pa je zbroj $12$ D. $12$ D je $1$ S i $2$ D.

$3$ S i $9$ S je $12$ S. $12$ S više $1$ S je $13$ S. $13$ S je $1$ T i $3$ S.

$1$ T više $1$ T je $2$ T.

$1 348 + 973 = 2 321$

Pisano zbrajanje brojeva 1 348 i 973. — Pisano zbrajanje

Zadatak 4.

Koristeći se sljedećim apletom, uvježbaj pisano zbrajanje.

Primijenimo zbrajanje

Zadatak 5.

Tijekom prvih šest mjeseci od otvorenja muzej je prodao $993$ ulaznice za umirovljenike. Ulaznica za odrasle prodano je za $2 128$ više nego ulaznica za umirovljenike. Ulaznica za djecu prodano je za $2 703$ više nego ulaznica za odrasle.

a) Koliko je prodano ulaznica za odrasle, a koliko za djecu?

b) Koliko je ukupno ulaznica prodano u prvih šest mjeseci od otvaranja?

a) $993 + 2 128 = 3 121$

Prodana je $3 121$ ulaznica za odrasle.

$3 121 + 2 703 = 5 824$

Prodane su $5 824$ ulaznice za djecu.

b) $993 + 3 121 + 5 824 = 9 938$

Ukupno je prodano $9 938$ ulaznica.

Zadatak 6.

Za školski sajam Petar je ispekao $134$ kolačića, a Marita $89 .$

a) Procijeni koliko su ukupno kolačića ispekli zaokružujući svaki broj na najbližu deseticu.

b) Izračunaj ukupan broj kolačića koje su ispekli.

a) $134 \approx 130$

$89 \approx 90$

$130 + 90 = 220$

Ukupno su ispekli oko $220$ kolačića.

b) $134 + 89 = 223$

Ukupno su ispekli $223$ kolačića.

Kolekcija zadataka #1

Peti razredi neke škole prikupljali su čepove za humanitarnu akciju. Broj prikupljenih čepova po tjednima prikazan je grafički.

Grafički prikaz čepova po tjednima. Prvi stupac predstavlja tjedan 1 kada su skupljena 1345 čepa, drugi predstavlja tjedan 2 kada su skupljena 2209 čepa, treći predstavlja tjedan 3 kada su skupljena 1099 čepa i četvrti predstavlja tjedan 4 kada su skupljena 2386 čepa.

Ukupan broj prikupljenih čepova iznosi
.
Najviše je čepova prikupljeno
.
tjedan, a najmanje
.
tjedan

null

Chiara je kupila sok za $17 kn,$ majicu za $119 kn$ i kaput za $1 348 kn .$ Ostalo joj je još $209 kn .$

Chiara je na početku imala

kn .

(Upiši brojku bez razmaka.)

null

Svojstva zbrajanja

Zadatak 7.

Neka je slastičarnica u subotu prodala $678$ kolača. U nedjelju nije bila otvorena. Koliko se kolača prodalo u toj slastičarnici tijekom vikenda?

$678 + 0 = 678$

U slastičarnici se tijekom vikenda prodalo $678$ kolača.

Neutralni element za zbrajanje

Pribrojimo li nekom prirodnom broju nulu, broj se neće promijeniti.

Kažemo da je $0$ neutralni element za zbrajanje prirodnih brojeva.

Istražimo

Koristeći se apletom, istraži ovisnost zbroja o redoslijedu pribrojnika.

Što primjećuješ?

Komutativnost zbrajanja

Ako pribrojnici zamijene mjesta, zbroj se neće promijeniti. To se svojstvo naziva komutativnost zbrajanja.

Istražimo

Koristeći se apletom, istraži ovisnost zbroja o načinu grupiranja pribrojnika.

Asocijativnost zbrajanja

Grupiramo li pribrojnike na različite načine, zbroj će ostati isti. To svojstvo nazivamo asocijativnost zbrajanja.

Zadatak 8.

Izračunaj napamet. Objasni postupak rješavanja.

a) $30 + 120 + 80 + 370$

b) $374 + 135 + 26 + 265$

a) $(30 + 370) + (120 + 80) = 400 + 200 = 600$

b) $(374 + 26) + (135 + 265) = 400 + 400 = 800$

Primjenom svojstava komutativnosti i asocijativnosti združe se pribrojnici čiji je zbroj višekratnik dekadske jedinice, a zatim se međuzbrojevi zbroje.

Zadatak 9.

Učiteljica je zapisala broj sudionika škole u natjecanju Klokan bez granica po razredima.

Razred	Broj sudionika
Prvi	$64$
Drugi	$52$
Treći	$45$
Četvrti	$48$
Peti	$36$
Šesti	$55$
Sedmi	$27$
Osmi	$13$

Koliko je ukupno učenika sudjelovalo u tom natjecanju?

Možeš li zadatak izračunati napamet? Kako?

Pomoć:

Potraži parove brojeva koje je jednostavno zbrojiti.

Postupak:

$(64 + 36) + (52 + 48) + (45 + 55) + (27 + 13) = 100 + 100 + 100 + 40 = 340$

Modeli oduzimanja

Primjer 2.

Izračunaj $3 756 - 1 538$ pomoću različitih modela.

a) tablice mjesnih vrijednosti

b) koristeći se brojevnim pravcem

c) koristeći se modelom novca

d) pisanim oduzimanjem

	T	S	D	J
			$4$	$16$
	$3$	$7$	$5$	$6$
-	$1$	$5$	$3$	$8$
	$2$	$2$	$1$	$8$

$16$ J manje $8$ J je $8$ J.

U stupcu desetica ostale su $4$ D ( $5$ D $- 1$ D $= 4$ D).

$4$ D manje $3$ D je $1$ D.

$7$ S manje $5$ S je $2$ S.

$3$ T manje $1$ T je $2$ T.

$3 756 - 1 538 = 2 218$

Pisano oduzimanje brojeva 3 756 i 1 538. — Pisano oduzimanje

Zadatak 10.

Koristeći se sljedećim apletom, uvježbaj pisano oduzimanje.

Primijenimo zbrajanje i oduzimanje

Primjer 3.

Tvoja škola za svoje učenike naručuje privjeske za ključeve s logom škole. Školu pohađa $1 132$ učenika. Ravnateljica je pri naručivanju zaokružila broj privjesaka na najbližu stoticu. Hoće li biti dovoljno privjesaka za sve učenike? Objasni svoj odgovor.

Broj $1 132$ zaokružen na najbližu stoticu je broj $1 100 .$

$1 132 \approx 1 100$

$1 132 - 1 100 = 32$

Neće biti dovoljno privjesaka za svakog učenika. Nedostajat će $32$ privjeska.

Stephen Hawking, Galileo i Einstein — Hawking, Galileo i Einstein

Zadatak 11.

Slavni teoretski fizičar Stephen Hawking rodio se 8. siječnja 1942. godine, a preminuo 14. ožujka 2019. godine.

Albert Einstein, jedan od najpoznatijih znanstvenika svih vremena, teorijski fizičar koji je formulirao teoriju relativnosti, rodio se 14. ožujka 1879. godine.

Galilelo Galilei, talijanski fizičar i astronom koji je izumio teleskop i prvi ga usmjerio prema nebu, preminuo je 8. siječnja 1642. godine.

Od trenutka kada je preminuo Galileo Galilei do trenutka kad se rodio Stephen Hawking proteklo je

godina.

null

Od trenutka rođenja Alberta Einsteina do smrti Stephena Hawkinga proteklo je

godina.

null

Zadatak 12.

Tablica prikazuje proizvodnju maslina u tonama u Republici Hrvatskoj.

2016.	2017.	2018.
$31 183$	$28 947$	$28 418$

(Podatci preuzeti s mrežnih stranica Državnog zavoda za statistiku.)

a) Kakav je trend proizvodnje maslina u Republici Hrvatskoj? (Raste li proizvodnja ili pada?)

b) Za koliko se razlikuje proizvodnja maslina u 2018. u odnosu na 2016. godinu?

c) Za koliko se razlikuje proizvodnja maslina u 2018. u odnosu na 2017. godinu?

a) Na temelju prikazanih podataka možemo zaključiti da proizvodnja maslina u Republici Hrvatskoj opada.

b) $31 183 - 28 418 = 2 765$

Proizvodnja maslina u 2018. godini u odnosu na 2016. smanjila se za $2 765$ tona.

c) $28 947 - 28 418 = 529$

Proizvodnja maslina u 2018. godini u odnosu na 2017. smanjila se za $529$ tona.

Kolekcija zadataka #2

Petra je kupila rabljeni automobil. Nakon što je s njime prešla $74 978 km,$ na brojaču kilometara pisalo je $123 075 km .$

U trenutku kad je Petra kupila svoj automobil na brojaču kilometara pisalo je

km .

(Upiši brojku bez razmaka.)

null

Ako prvi pribrojnik uvećamo za $27,$ a drugi povećamo za $56,$ za koliko će se povećati zbroj?

27

29

56

83

null

Postupak:

Ako je početni zbroj bio $a + b,$ nakon povećanja pribrojnika dobivamo $a + 27 + b + 56 .$

Primjenom svojstava komutativnosti i asocijativnosti možemo zapisati da je $a + 27 + b + 56 = (a + b) + (27 + 56) = (a + b) + 83 .$

Dakle, zbroj se povećao za $83 .$

Ako prvi pribrojnik povećamo za $162,$ a drugi smanjimo za $43,$ zbroj će se

null

Ako umanjenik uvećamo za $10,$ a umanjitelj umanjimo za $15,$ razlika će se

null

Ako duljinu stranice kvadrata uvećamo za

7 cm,

opseg kvadrata uvećat će se za

cm .

null

Postupak:

Opseg kvadrata sa stranicom a iznosi $4 \cdot a .$

Ako se stranica uveća za $7 cm,$ njezina će duljina biti $a + 7$ te će opseg biti $a + 7 + a + 7 + a + 7 + a + 7 = 4 \times a + 28$ $.$

Iz toga vidimo da će se opseg povećati za $28 cm .$

2.4 Zbrajanje i oduzimanje prirodnih brojeva

Na početku...

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Modeli zbrajanja

Primjer 1.

Zadatak 4.

Primijenimo zbrajanje

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka #1

Svojstva zbrajanja

Zadatak 7.

Neutralni element za zbrajanje

Istražimo

Komutativnost zbrajanja

Istražimo

Asocijativnost zbrajanja

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Modeli oduzimanja

Primjer 2.

Zadatak 10.

Primijenimo zbrajanje i oduzimanje

Primjer 3.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kolekcija zadataka #2

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

$20$

$30$

$40$

$50$

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: