x
Učitavanje

2.6 Svojstva množenja

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica

Na početku...

Djedova škrinja otvara se pomoću šifre koja ima četiri različite znamenke od kojih su sve veće od 0.0.

Poznato je:

Djed je star i zaboravio je šifru. Možeš li mu pomoći da otvori svoju škrinju?

Djedova škrinja
Stara djedova škrinja sa velikim zlatnim lokotom koji se otključava brojevnom kombinacijom. Iznad škrinje u oblačiću pišu brojevi 3651.

Množenje s brojevima 1 i 0

Zadatak 1.

Na polici trgovine u ponudi su dvije vrste čokoladica u promotivnim pakiranjima. Čokoladice Čoko prodaju se po cijeni od 12 kn, a čokoladice Lada po cijeni od 13 kn. Petra je kupila jedno pakiranje čokoladica Čoko, ali nije kupila ni jedno pakiranje čokoladica Lada.

Čokoladice Čoko platila je
·12 kn=
kn, a čokoladice Lada
·13 kn=
kn.
null
null

Pomnožimo li neki prirodni broj s brojem jedan, broj se neće promijeniti.

Kažemo da je broj 1 neutralni element za množenje prirodnih brojeva.

Pomnožimo li neki prirodni broj s brojem nula, umnožak će biti jednak 0.

Što je jednostavnije?

Primjer 1.

Učiteljica je zadala učenicima izračunati umnožak 3·782 . Ivoni se nije svidio poredak brojeva pa je zadatak napisala u obliku 782·3. Hoće li dobiti točan rezultat?

Komutativnost množenja
Školska ploča na kojoj piše jednadžba 3x782. Ispred ploče nalazi se školska klupa na kojoj su olovka i bilježnica u kojoj je prepisana jednadžba sa ploče.

Budući da je 3·782=2 346 i 782·3=2 346,  Ivona će dobiti isti, točan rezultat.


Istražimo

Koristeći se apletom, istraži ovisnost umnoška o redoslijedu faktora.

Što primjećuješ?

Komutativnost množenja

Umnožak prirodnih brojeva ne ovisi o redoslijedu faktora. Za prirodne brojeve a i b vrijedi a·b=b·a.

Ako faktori zamijene mjesta, umnožak se neće promijeniti.

To svojstvo zovemo komutativnost množenja.

Primjer 2.

Učiteljica je zadala učenicima izračunati umnožak 237·25·4 . Sandro je vrlo brzo riješio zadatak i gledao Patrika kako se muči u rješavanju. Kad mu je to dojadilo, predložio mu je da prvo pomnoži 25 i 4, a zatim da taj umnožak pomnoži s 237. Ima li Sandro pravo? Hoće li rezultat biti jednak?

Asocijativnost množenja
Školska ploča na kojoj je napisana jednadžba 237x25x4. Ispred ploče nalazi se školska klupa na kojoj je olovka i bilježnica u kojoj je zapisano:
25x4x237=
100X237=
23 700

Računamo li zadanim redoslijedom, dobit ćemo:

237·25·4=5 925·4=23 700.

Poslušamo li Sandrov prijedlog promjene redoslijeda množenja, dobit ćemo:

237·25·4=237·100=23 700. Dakle, mnogo jednostavniji račun dovodi do točnog rješenja.

Računamo li na prvi način, budući da se radi o množenju, brojeve množimo redom kojim su napisani. U drugom načinu računamo kao da u brojevnom izrazu postoje zagrade, tj. određujemo vrijednost izraza 237·(25·4). U konačnici, neovisno o redoslijedu množenja, dobili smo jednake rezultate!


Istražimo

Koristeći se apletom, istraži ovisnost umnoška o načinu grupiranja faktora.

Što primjećuješ?

Asocijativnost množenja

Grupiramo li faktore na različite načine, umnožak se neće promijeniti. Za prirodne brojeve a, b i c vrijedi:

a·(b·c)=(a·b)·c=a·b·c.

Ako faktore združimo na različite načine, umnožak se neće promijeniti.

To svojstvo zovemo asocijativnost množenja.

Zadatak 2.

  1. Izračunaj na najjednostavniji način.

    6·137=

    ·
    =
    .
    null
    null
  2. Koji brojevni izrazi imaju jednaku vrijednost kao umnožak (789·25)·(4·10)?

    null
    null

Raspodijeli!

Primjer 3.

Bakin vrt pravokutnog oblika dug je 25 metara, a širok 8 metara. Na dijelu vrta dugom 18 metara baka je posadila krumpir, a na ostatku vrta salatu.

Kolika je ukupna površina vrta?

Na kolikoj je površini vrta zasađen krumpir, a na kolikoj salata?

Površinu vrta moguće je izračunati na dva načina.

1. način: računamo površinu cijelog vrta množeći njegovu duljinu i širinu.

p=25·8=200

Površina vrta je 200 m2.

Bakin vrt - 1
Bakin vrt u kojem raste razno povrće. Iznad vrta piše 25 metara, a lijevo od vrta piše 8 metara.

2. način: računamo površine dijelova vrta na kojoj je zasađen krumpir, odnosno salata pa zbrojimo dobivene rezultate.

pk=18·8=144

Površina dijela vrta na kojoj zasađen krumpir iznosi 144 m2.

ps=7·8=56

Površina dijela vrta na kojoj je zasađena salata iznosi 56 m2.

Ukupna površina vrta iznosi (144+56) m2=200 m2.

Zaključujemo da vrijedi 18·8+7·8=(18+7)·8.

Bakin vrt - 2
Bakin vrt koji je podijeljen na veći i manji vrt. Lijevo od većeg vrta piše 8 metara, ispod istog vrta piše 18 metara. Ispod manjeg vrta piše 7 metara.

Istražimo

Koristeći se apletom, istraži postupak množenja zbroja s prirodnim brojem.

Distributivnost množenja prema zbrajanju

Zbroj množimo s brojem tako da svaki pribrojnik pomnožimo sa zadanim brojem pa nakon toga zbrojimo dobivene umnoške.

To svojstvo zovemo distributivnost množenja prema zbrajanju.

Istražimo

Koristeći se apletom, istraži postupak množenja razlike s prirodnim brojem.

Distributivnost množenja prema oduzimanju

Razliku množimo s brojem tako da umanjenik i umanjitelj pomnožimo sa zadanim brojem pa nakon toga oduzmemo dobivene umnoške.

To svojstvo zovemo distributivnost množenja prema oduzimanju.

Primjer 4.

Kako najjednostavnije izračunati umnožak brojeva 1 234 i 999?

Budući da je 999=1000-1, traženi umnožak 1 234·999 možemo napisati u obliku

1 234·999=1 234·(1000-1)=1 234·1000-1 234·1=1 234 000-1 234=1 232 766.


Izlučivanje zajedničkog faktora

Primjer 5.

U jednom razredu su 24 učenika. Oni su skupljali novac za jednodnevni izlet: 110 kuna za prijevoz, 20 kuna za ulaznicu u muzej i 45 kuna za ručak. Koliko su novca skupili? Na koliko se načina može riješiti taj zadatak?

I. način

Za prijevoz su skupili 24·110=2640 kn.

Za ulaznice su skupili 24·20=480 kn.

Za ručak su skupili 24·45=1 080 kn.

Ukupno su skupili 2 640+480+1 080=4 200 kn.

II. način

Ukupna cijena izleta za jednog učenika je 110+20+45=175 kn.

Svi učenici skupili su 24·175=4 200 kn.


Zaključujemo da vrijedi:

24·110+24·20+24·45=24·(110+20+45)=24·175=4 200.

Zanimljivost

Pojmovi komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti uvedeni su tek u prvoj polovini 19. stoljeća. Pojmove komutativnosti i distributivnosti uveo je francuski matematičar Francois-Joseph Servois (1815. godine), dok je pojam asocijativnosti uveo irski matematičar William Rowan Hamilton (1843. godine).

Primjer 6.

Izračunajmo na što jednostavniji način 126·597+126·403.

Uočimo da se u oba pribrojnika javlja isti faktor, broj 126.

Taj broj možemo izlučiti ispred (ili iza) zagrade, a u zagradu upisati preostale brojeve i znak računske operacije (zbrajanja).

126·597+126·406=126·(597+403)=126·1 000=126 000 ili

126·597+126·406=(597+403)·126=1 000·126=126 000


Zadatak 3.

Uvježbaj izlučivanje zajedničkog faktora.

Pojednostavni!

Primjer 7.

Pojednostavnimo izraze.

a) 2·a+3·a+7·a

b) 5·x+4·x-6·x

c) 7·b-3·b-b

d) 6·a+5·b-2·a+b

a) Uočimo i izlučimo zajednički faktor a u svim članovima izraza pa zbrojimo brojeve u zagradi.

2·a+3·a+7·a=a·(2+3+7)=a·12=12·a

b) Uočimo i izlučimo zajednički faktor x u svim članovima izraza pa zbrojimo i oduzmimo brojeve u zagradi.

5·x+4·x-6·x=x·(5+4-6)=3·x

c) Uočimo i izlučimo zajednički faktor b u svim članovima izraza pa oduzmimo brojeve u zagradi. (U zadnjem članu izraza ne piše, ali podrazumijeva se da se broj b množi s brojem 1.)

7·b-3·b-b=(7-3-1)·b=3·b

d) Uočimo i izlučimo zajednički faktor a u prvom i trećem, odnosno b u drugom i četvrtom članu izraza pa oduzmimo i zbrojimo brojeve u zagradama. (U zadnjem članu izraza ne piše, ali podrazumijeva se da se broj b množi s brojem 1.)

6·a+5·b-2·a+b=a·(6-2)+b·(5+1)=4·a+6·b 


Zadatak 4.

3·a+2·a+a=

null
null

5·a+4·b-2·a=

null
null

4·x+5·y-y-3·x=

null
null

Kutak za znatiželjne

Bakin vrt - 3
Bakin vrt s krumpirom, salatom, mrkvom i rajčicom. Desno od mrkvi piše 3 metra, a ispod zelene salate piše 7 metara.

Zadatak 5.

Bakin vrt pravokutnog oblika dug je 25 metara, a širok 8 metara. Vrt je podijeljen na četiri gredice, kao što je prikazano na slici.

Kolika je ukupna površina vrta?

Na kolikoj površini vrta je zasađen krumpir, na kolikoj salata, na kolikoj mrkva, a na kolikoj rajčica?

Krumpir je zasađen na 18·5=90 m2 vrta, salata na 7·5=35 m2, mrkva na 7·3=21 m2, a rajčica na 18·3=54 m2.

Ukupna površina vrta jednaka je 90+35+21+54=200 m2.

Zaključujemo da vrijedi:

18·5+7·5+18·3+7·3=(18+7)·5+(18+7)·3=(18+7)·(5+3).


Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh