Matematika 5 - 2.6 Svojstva množenja

Množenje s brojevima 1 i 0

Zadatak 1.

Na polici trgovine u ponudi su dvije vrste čokoladica u promotivnim pakiranjima. Čokoladice Čoko prodaju se po cijeni od $12 kn,$ a čokoladice Lada po cijeni od $13 kn .$ Petra je kupila jedno pakiranje čokoladica Čoko, ali nije kupila ni jedno pakiranje čokoladica Lada.

Čokoladice Čoko platila je

$\cdot 12 kn=$

$kn,$ a čokoladice Lada

$\cdot 13 kn =$

$kn .$

null

Pomnožimo li neki prirodni broj s brojem jedan, broj se neće promijeniti.

Kažemo da je broj $1$ neutralni element za množenje prirodnih brojeva.

Pomnožimo li neki prirodni broj s brojem nula, umnožak će biti jednak $0 .$

Što je jednostavnije?

Primjer 1.

Učiteljica je zadala učenicima izračunati umnožak $3 \cdot 782$ . Ivoni se nije svidio poredak brojeva pa je zadatak napisala u obliku $782 \cdot 3 .$ Hoće li dobiti točan rezultat?

Komutativnost množenja

Budući da je $3 \cdot 782 = 2 346$ i $782 \cdot 3 = 2 346,$ Ivona će dobiti isti, točan rezultat.

Istražimo

Koristeći se apletom, istraži ovisnost umnoška o redoslijedu faktora.

Što primjećuješ?

Komutativnost množenja

Umnožak prirodnih brojeva ne ovisi o redoslijedu faktora. Za prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi $a \cdot b = b \cdot a .$

Ako faktori zamijene mjesta, umnožak se neće promijeniti.

To svojstvo zovemo komutativnost množenja.

Primjer 2.

Učiteljica je zadala učenicima izračunati umnožak $237 \cdot 25 \cdot 4$ . Sandro je vrlo brzo riješio zadatak i gledao Patrika kako se muči u rješavanju. Kad mu je to dojadilo, predložio mu je da prvo pomnoži $25$ i $4,$ a zatim da taj umnožak pomnoži s $237 .$ Ima li Sandro pravo? Hoće li rezultat biti jednak?

Asocijativnost množenja

Računamo li zadanim redoslijedom, dobit ćemo:

$237 \cdot 25 \cdot 4 = 5 925 \cdot 4 = 23 700 .$

Poslušamo li Sandrov prijedlog promjene redoslijeda množenja, dobit ćemo:

$237 \cdot 25 \cdot 4 = 237 \cdot 100 = 23 700.$ Dakle, mnogo jednostavniji račun dovodi do točnog rješenja.

Računamo li na prvi način, budući da se radi o množenju, brojeve množimo redom kojim su napisani. U drugom načinu računamo kao da u brojevnom izrazu postoje zagrade, tj. određujemo vrijednost izraza $237 \cdot (25 \cdot 4) .$ U konačnici, neovisno o redoslijedu množenja, dobili smo jednake rezultate!

Istražimo

Koristeći se apletom, istraži ovisnost umnoška o načinu grupiranja faktora.

Što primjećuješ?

Asocijativnost množenja

Grupiramo li faktore na različite načine, umnožak se neće promijeniti. Za prirodne brojeve $a,$ $b$ i $c$ vrijedi:

$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c .$

Ako faktore združimo na različite načine, umnožak se neće promijeniti.

To svojstvo zovemo asocijativnost množenja.

Zadatak 2.

Izračunaj na najjednostavniji način.

$6 \cdot 137 =$

$\cdot$

$=$
.

null

null
Koji brojevni izrazi imaju jednaku vrijednost kao umnožak $(789 \cdot 25) \cdot (4 \cdot 10) ?$

$789 + (25 \cdot 4) \cdot 10$

$(789 \cdot 10) \cdot (25 \cdot 4)$

$(25 \cdot 4 \cdot 10) \cdot 789$

$789 \cdot (25 \cdot 4) \cdot 10$

$(789 + 25 \cdot 4) \cdot 10$

null

null

Raspodijeli!

Primjer 3.

Bakin vrt pravokutnog oblika dug je $25$ metara, a širok $8$ metara. Na dijelu vrta dugom $18$ metara baka je posadila krumpir, a na ostatku vrta salatu.

Kolika je ukupna površina vrta?

Na kolikoj je površini vrta zasađen krumpir, a na kolikoj salata?

Površinu vrta moguće je izračunati na dva načina.

1. način: računamo površinu cijelog vrta množeći njegovu duljinu i širinu.

$p = 25 \cdot 8 = 200$

Površina vrta je $200 m^{2} .$

Bakin vrt u kojem raste razno povrće. Iznad vrta piše 25 metara, a lijevo od vrta piše 8 metara. — Bakin vrt - 1

2. način: računamo površine dijelova vrta na kojoj je zasađen krumpir, odnosno salata pa zbrojimo dobivene rezultate.

$p_{k} = 18 \cdot 8 = 144$

Površina dijela vrta na kojoj zasađen krumpir iznosi $144 m^{2} .$

$p_{s} = 7 \cdot 8 = 56$

Površina dijela vrta na kojoj je zasađena salata iznosi $56 m^{2} .$

Ukupna površina vrta iznosi $(144 + 56) m^{2} = 200 m^{2} .$

Zaključujemo da vrijedi $18 \cdot 8 + 7 \cdot 8 = (18 + 7) \cdot 8 .$

Bakin vrt koji je podijeljen na veći i manji vrt. Lijevo od većeg vrta piše 8 metara, ispod istog vrta piše 18 metara. Ispod manjeg vrta piše 7 metara. — Bakin vrt - 2

Istražimo

Koristeći se apletom, istraži postupak množenja zbroja s prirodnim brojem.

Distributivnost množenja prema zbrajanju

Zbroj množimo s brojem tako da svaki pribrojnik pomnožimo sa zadanim brojem pa nakon toga zbrojimo dobivene umnoške.

To svojstvo zovemo distributivnost množenja prema zbrajanju.

Istražimo

Koristeći se apletom, istraži postupak množenja razlike s prirodnim brojem.

Distributivnost množenja prema oduzimanju

Razliku množimo s brojem tako da umanjenik i umanjitelj pomnožimo sa zadanim brojem pa nakon toga oduzmemo dobivene umnoške.

To svojstvo zovemo distributivnost množenja prema oduzimanju.

Primjer 4.

Kako najjednostavnije izračunati umnožak brojeva $1 234$ i $999 ?$

Budući da je $999 = 1000 - 1,$ traženi umnožak $1 234 \cdot 999$ možemo napisati u obliku

$1 234 \cdot 999 = 1 234 \cdot (1000 - 1) = 1 234 \cdot 1000 - 1 234 \cdot 1 = 1 234 000 - 1 234 = 1 232 766 .$

Pojednostavni!

Primjer 7.

Pojednostavnimo izraze.

a) $2 \cdot a + 3 \cdot a + 7 \cdot a$

b) $5 \cdot x + 4 \cdot x - 6 \cdot x$

c) $7 \cdot b - 3 \cdot b - b$

d) $6 \cdot a + 5 \cdot b - 2 \cdot a + b$

a) Uočimo i izlučimo zajednički faktor $a$ u svim članovima izraza pa zbrojimo brojeve u zagradi.

$2 \cdot a + 3 \cdot a + 7 \cdot a = a \cdot (2 + 3 + 7) = a \cdot 12 = 12 \cdot a$

b) Uočimo i izlučimo zajednički faktor $x$ u svim članovima izraza pa zbrojimo i oduzmimo brojeve u zagradi.

$5 \cdot x + 4 \cdot x - 6 \cdot x = x \cdot (5 + 4 - 6) = 3 \cdot x$

c) Uočimo i izlučimo zajednički faktor $b$ u svim članovima izraza pa oduzmimo brojeve u zagradi. (U zadnjem članu izraza ne piše, ali podrazumijeva se da se broj $b$ množi s brojem $1 .$ )

$7 \cdot b - 3 \cdot b - b = (7 - 3 - 1) \cdot b = 3 \cdot b$

d) Uočimo i izlučimo zajednički faktor $a$ u prvom i trećem, odnosno $b$ u drugom i četvrtom članu izraza pa oduzmimo i zbrojimo brojeve u zagradama. (U zadnjem članu izraza ne piše, ali podrazumijeva se da se broj $b$ množi s brojem $1 .$ )

$6 \cdot a + 5 \cdot b - 2 \cdot a + b = a \cdot (6 - 2) + b \cdot (5 + 1) = 4 \cdot a + 6 \cdot b$

Zadatak 4.

$3 \cdot a + 2 \cdot a + a =$

null

$5 \cdot a + 4 \cdot b - 2 \cdot a =$

null

$4 \cdot x + 5 \cdot y - y - 3 \cdot x =$

null

Kutak za znatiželjne

Bakin vrt s krumpirom, salatom, mrkvom i rajčicom. Desno od mrkvi piše 3 metra, a ispod zelene salate piše 7 metara. — Bakin vrt - 3

Zadatak 5.

Bakin vrt pravokutnog oblika dug je $25$ metara, a širok $8$ metara. Vrt je podijeljen na četiri gredice, kao što je prikazano na slici.

Kolika je ukupna površina vrta?

Na kolikoj površini vrta je zasađen krumpir, na kolikoj salata, na kolikoj mrkva, a na kolikoj rajčica?

Krumpir je zasađen na $18 \cdot 5 = 90 m^{2}$ vrta, salata na $7 \cdot 5 = 35 m^{2},$ mrkva na $7 \cdot 3 = 21 m^{2},$ a rajčica na $18 \cdot 3 = 54 m^{2} .$

Ukupna površina vrta jednaka je $90 + 35 + 21 + 54 = 200 m^{2} .$

Zaključujemo da vrijedi:

$18 \cdot 5 + 7 \cdot 5 + 18 \cdot 3 + 7 \cdot 3 = (18 + 7) \cdot 5 + (18 + 7) \cdot 3 = (18 + 7) \cdot (5 + 3) .$

$355 \cdot 613 + 287 \cdot 355$	$(345 + 355) \cdot 613$
$355 \cdot 613 - 287 \cdot 355$	$355 \cdot (613 + 287)$
$613 \cdot 355 - 613 \cdot 345$	$613 \cdot (355 - 345)$
$345 \cdot 613 + 355 \cdot 613$	$(613 - 287) \cdot 355$

$9^{2}$	$1$
$6^{2}$	$25$
$1^{2}$	$36$
$0^{2}$	$0$
$5^{2}$	$81$
$7^{2}$	$49$

2.6 Svojstva množenja

Na početku...

Množenje s brojevima 1 i 0

Zadatak 1.

Što je jednostavnije?

Primjer 1.

Istražimo

Komutativnost množenja

Primjer 2.

Istražimo

Asocijativnost množenja

Zadatak 2.

Raspodijeli!

Primjer 3.

Istražimo

Distributivnost množenja prema zbrajanju

Istražimo

Distributivnost množenja prema oduzimanju

Primjer 4.

Izlučivanje zajedničkog faktora

Primjer 5.

Zanimljivost

Primjer 6.

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka #1

Pojednostavni!

Primjer 7.

Zadatak 4.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 5.

Procijenite svoje znanje

Komutativnost množenja

Asocijativnost množenja

Distributivnost množenja prema zbrajanju i oduzimanju

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: