množiti u skupu prirodnih brojeva s nulom te primijeniti svojstva računskih operacija (dekadsku jedinicu prikazati u obliku potencije broja 10, povezati umnožak dvaju jednakih prirodnih brojeva s kvadratom prirodnog broja)
Na polici trgovine u ponudi su dvije vrste čokoladica u promotivnim pakiranjima. Čokoladice Čoko prodaju se po cijeni od
12kn, a čokoladice Lada po cijeni od
13kn. Petra je kupila jedno pakiranje čokoladica Čoko, ali nije kupila ni jedno pakiranje čokoladica Lada.
Čokoladice Čoko platila je
·12kn=
kn, a čokoladice Lada
·13kn=
kn.
null
null
Pomnožimo li neki prirodni broj s brojem jedan, broj se neće promijeniti.
Kažemo da je broj 1neutralni element za množenje prirodnih brojeva.
Pomnožimo li neki prirodni broj s brojem nula, umnožak će biti jednak 0.
Što je jednostavnije?
Primjer 1.
Učiteljica je zadala učenicima izračunati umnožak
3·782. Ivoni se nije svidio poredak brojeva pa je zadatak napisala u obliku
782·3. Hoće li dobiti točan rezultat?
Komutativnost množenja
Budući da je
3·782=2346 i
782·3=2346,
Ivona će dobiti isti, točan rezultat.
Istražimo
Koristeći se apletom, istraži ovisnost umnoška o redoslijedu faktora.
Umnožak prirodnih brojeva ne ovisi o redoslijedu faktora. Za prirodne brojeve a i b vrijedi a·b=b·a.
Ako faktori zamijene mjesta, umnožak se neće promijeniti.
To svojstvo zovemo komutativnost množenja.
Primjer 2.
Učiteljica je zadala učenicima izračunati umnožak 237·25·4. Sandro je vrlo brzo riješio zadatak i gledao Patrika kako se muči u rješavanju. Kad mu je to dojadilo, predložio mu je da prvo pomnoži 25i 4, a zatim da taj umnožak pomnoži s 237. Ima li Sandro pravo? Hoće li rezultat biti jednak?
Asocijativnost množenja
Računamo li zadanim redoslijedom, dobit ćemo:
237·25·4=5925·4=23700.
Poslušamo li Sandrov prijedlog promjene redoslijeda množenja, dobit ćemo:
237·25·4=237·100=23700. Dakle, mnogo jednostavniji račun dovodi do točnog rješenja.
Računamo li na prvi način, budući da se radi o množenju, brojeve množimo redom kojim su napisani. U drugom načinu računamo kao da u brojevnom izrazu postoje zagrade, tj. određujemo vrijednost izraza 237·(25·4). U konačnici, neovisno o redoslijedu množenja, dobili smo jednake rezultate!
Istražimo
Koristeći se apletom, istraži ovisnost umnoška o načinu grupiranja faktora.
U jednom razredu su 24učenika. Oni su skupljali novac za jednodnevni izlet: 110kuna za prijevoz, 20kuna za ulaznicu u muzej i 45kuna za ručak. Koliko su novca skupili? Na koliko se načina može riješiti taj zadatak?
I. način
Za prijevoz su skupili
24·110=2640kn.
Za ulaznice su skupili
24·20=480kn.
Za ručak su skupili
24·45=1080kn.
Ukupno su skupili
2640+480+1080=4200kn.
II. način
Ukupna cijena izleta za jednog učenika je
110+20+45=175kn.
Svi učenici skupili su
24·175=4200kn.
Zaključujemo da vrijedi:
24·110+24·20+24·45=24·(110+20+45)=24·175=4200.
Zanimljivost
Pojmovi komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti uvedeni su tek u prvoj polovini 19. stoljeća. Pojmove komutativnosti i distributivnosti uveo je francuski matematičar Francois-Joseph Servois (1815. godine), dok je pojam asocijativnosti uveo irski matematičar William Rowan Hamilton (1843. godine).
Primjer 6.
Izračunajmo na što jednostavniji način 126·597+126·403.
Uočimo da se u oba pribrojnika javlja isti faktor, broj 126.
Taj broj možemo izlučiti ispred (ili iza) zagrade, a u zagradu upisati preostale brojeve i znak računske operacije (zbrajanja).
126·597+126·406=126·(597+403)=126·1000=126000 ili
126·597+126·406=(597+403)·126=1000·126=126000
Zadatak 3.
Uvježbaj izlučivanje zajedničkog faktora.
Kolekcija zadataka #1
1
2
3
4
5
a. Ispravno izlučen zajednički faktor u izrazu 234·166+34·234 je:
null
b. Dopuni brojevni izraz.
345·72+345·128=
·(72+
)
c. Dopuni.
159·658+159·342=
·(
+342)=
·
=
.
Spoji parove.
355·613+287·355
(345+355)·613
355·613-287·355
355·(613+287)
613·355-613·345
613·(355-345)
345·613+355·613
(613-287)·355
null
null
Odredi vrijednost brojevnog izraza.
338·195-195·238.
null
null
Označi ispravno izlučen zajednički faktor izraza.
234·345+345·272-306·345.
null
null
Odredi vrijednost brojevnog izraza.
234·345+345·272-306·345.
null
null
U jednom razrednom odjelu ima
24 učenika. Na početku školske godine razrednica je za sve svoje učenike naručila likovnu mapu po
39kn, geografski atlas po
56kn i radnu bilježnicu za matematiku po
35kn.
Svaki je učenik pribor platio
kn. Razrednica je za mape, atlase i radne bilježnice uplatila iznos od
kn.
null
null
Članice pjevačkog zbora odjeću za nastup kupuju u trgovini Modalina. Cijena suknje je
452kn, košulje
212kn, jakne
535kn i marame
51kn.
a) Uočimo i izlučimo zajednički faktor
a u svim članovima izraza pa zbrojimo brojeve u zagradi.
2·a+3·a+7·a=a·(2+3+7)=a·12=12·a
b) Uočimo i izlučimo zajednički faktor
x u svim članovima izraza pa zbrojimo i oduzmimo brojeve u zagradi.
5·x+4·x-6·x=x·(5+4-6)=3·x
c) Uočimo i izlučimo zajednički faktor
b u svim članovima izraza pa oduzmimo brojeve u zagradi. (U zadnjem članu izraza ne piše, ali podrazumijeva se da se broj
b množi s brojem
1.)
7·b-3·b-b=(7-3-1)·b=3·b
d) Uočimo i izlučimo zajednički faktor
a u prvom i trećem, odnosno
b u drugom i četvrtom članu izraza pa oduzmimo i zbrojimo brojeve u zagradama. (U zadnjem članu izraza ne piše, ali podrazumijeva se da se broj
b množi s brojem
1.)
6·a+5·b-2·a+b=a·(6-2)+b·(5+1)=4·a+6·b
Zadatak 4.
3·a+2·a+a=
null
null
5·a+4·b-2·a=
null
null
4·x+5·y-y-3·x=
null
null
Kutak za znatiželjne
Bakin vrt - 3
Zadatak 5.
Bakin vrt pravokutnog oblika dug je
25 metara, a širok
8 metara. Vrt je podijeljen na četiri gredice, kao što je prikazano na slici.
Kolika je ukupna površina vrta?
Na kolikoj površini vrta je zasađen krumpir, na kolikoj salata, na kolikoj mrkva, a na kolikoj rajčica?
Krumpir je zasađen na
18·5=90m2 vrta, salata na
7·5=35m2, mrkva na
7·3=21m2, a rajčica na
18·3=54m2.
Ukupna površina vrta jednaka je
90+35+21+54=200m2.
Zaključujemo da vrijedi:
18·5+7·5+18·3+7·3=(18+7)·5+(18+7)·3=(18+7)·(5+3).
Procijenite svoje znanje
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Za svaki prirodni broj b vrijedi b·0=b.
null
null
Umnožak dvaju neparnih brojeva uvijek je neparan broj.
null
null
Povećamo li prvi faktor za 2, a drugi faktor povećamo za 3, umnožak će se povećati za 6.
null
null
Ako se jedan faktor poveća dva puta, a drugi tri puta, umnožak će se povećati šest puta.
null
null
Zbroj dvaju prirodnih brojeva je
24. Koliki je njihov najveći mogući umnožak?
.
null
null
Izračunaj.
62·100=
314·21=
302·203=
null
null
Poveži parove.
92
1
62
25
12
36
02
0
52
81
72
49
null
null
Površina nekog kvadrata je 100kvadratnih centimetara. Duljina stranice tog kvadrata je 10cm.
null
null
Odaberi najbolju moguću približnu vrijednost umnoška brojeva 213i 98.
null
null
Razvrstaj brojevne izraze prema tome koje je svojstvo množenja korišteno pri rješavanju zadataka.
24·(712+16)= 24·712+24·16
(782·125)·8= 782·(125·8)
3·975=975·3
12654·605= 605·12654
126·a=a·126
(45+4-17)·12= 45·12+4·12-17·12
625·45=45·625
25·(613·4)= (25·613)·4
307·(297-196)= 307·297-307·196
675·(312·47)= (675·312)·47
Komutativnost množenja
Asocijativnost množenja
Distributivnost množenja prema zbrajanju i oduzimanju
null
null
Preračunaj mjerne jedinice.
25m=
cm.
35km=
m.
14kg=
dag.
null
Prodavač na tržnici tijekom dana prodao je
48kg brokule,
17kg rajčice,
23kg cikle,
38kg cvjetače i
5kg češnjaka.
Ukupni utržak toga dana iznosio je
kn.
null
Postupak:
48·20+17·14+23·6+38·8+5·35=1815
U Karolininom receptu za
3 osobe piše da za punjene paprike treba
350g mljevenog mesa. Karolina priprema punjene paprike za
12 osoba.