U animaciji čovječuljci dolaze do raskrižja i gledaju putokaze. Jedan pokazuje smjer broj
a drugi pokazuje neki drugi smjer. Svaki čovječuljak zastane i razmisli koliki su mu izgledi (šanse) da ode u smjeru
Donosi odluku s pomoću ploče koja pokazuje koliki su mu izgledi da krene u smjeru broj ili u nekom drugom smjeru.
Zavrti kazaljku nekoliko puta kako bi provjerio svoje izglede i zaputi se u smjeru za koji mu je ploča pokazala da ima najviše izgleda.
Ima li čovječuljak sa zelenim šeširom barem male izglede da ode i u drugom smjeru? A čovječuljak s crvenim šeširom da ipak ode u smjeru
Skicirajte ploču koja bi jednake izglede davala smjeru i drugim smjerovima.
Moguće, nemoguće ili sigurno
Zadatak 1.
Jeste li kad čuli izreke: „Kad na vrbi rodi grožđe” ili „Kad svinje polete”? Koje je njihovo pravo značenje?
Zamislite da ste u Varaždinu i da je danas 20. prosinca. Koliki su izgledi da sutra bude
Pretpostavljamo da ste odgovorili da su izgledi za takvu vrućinu u prosincu nikakvi ili iznimno, iznimno mali. Pokušajte i sami smisliti neki sličan događaj za koji su izgledi izrazito mali.
Prisjetili smo se događaja koji su nemogući ili imaju izrazito male izglede da se dogode. A koji su njima suprotni događaji?
Smislite neki takav događaj ili tvrdnju.
Suprotno od nemogućeg je siguran događaj. Primjeri sigurnih događaja su:
Sunce izlazi na istoku
voda je mokra
ljeti u Hrvatskoj temperatura ne pada ispod nule
u 7. razredu postoji nastavni predmet Matematika
rijeka teče nizvodno.
Želimo li istaknuti da ćemo zasigurno doći u posjet, često kažemo „ dolazim”. Dakle, sigurnom događaju pridružujemo vrijednost
Koliki biste postotak pridružili nemogućem događaju?
Događaj koji će se zasigurno dogoditi nazivamo sigurni događaj.
Primjer 1.
Na slikama su prikazane ladice s parovima svijetloplavih i ljubičastih čarapa. Kakvi su izgledi da izvučemo par ljubičastih čarapa iz svake od ladica bez gledanja?
Iz ladice ne možemo izvući ljubičaste čarape jer u njoj nema ni jednog para ljubičastih čarapa. Dakle, nema izgleda, odnosno to je nemogući događaj.
Iz ladice ćemo zasigurno izvući par ljubičastih čarapa jer su u njoj samo takve čarape. Dakle, to je sigurni događaj.
Vrlo je vjerojatno da ćemo iz ladice izvući par ljubičastih čarapa jer je većina čarapa u toj ladici ljubičasta. Dakle, izgledi su veliki, ali to nije sigurno.
Iz ladice ćemo možda izvući par ljubičastih čarapa, ali u njoj je samo jedan takav par, pa su izgledi za to manji. Dakle, izgledi su mali, ali to nije nemoguće.
Zanimljivost
Ne znamo je li neki matematičar imao problema sa sparivanjem čarapa, ali zadatci s pronalaženjem para jednakih čarapa česti su u matematici. Evo i jednog za vas.
U ladici su rasparene crne i bijele čarape, a vi u mraku pokušavate pronaći par iste boje. Koliko čarapa trebate uzeti iz ladice da biste bili sigurni da imate najmanje dvije čarape iste boje?
Razmislite pa objasnite prijateljima zašto bi baš vaš odgovor bio točan. Možete provesti i pokus s pravim čarapama.
Iskušajte svoju vještinu procjene izgleda da će biti odabrana crvena boja u sljedećoj interaktivnoj aktivnosti. Pomaknite klizač na polje koje označava kolika je vjerojatnost odabira crvene boje te klikom na gumb Provjerite saznajte jeste li točno odgovorili. Klikom na gumb Okušajte svoju sreću možete zavrtiti kazaljku i provjeriti hoće li se ona zaustaviti na crvenom polju.
Zadatak 4.
Pogledajte ponovno sliku u prethodnom primjeru pa pokušajte u obliku postotka izraziti izglede za izvlačenje para ljubičastih čarapa. Opazite da je u svakoj ladici pet pari čarapa pa svakom paru odgovara
Sjetite se: cjelina je
Izgledi da izvučemo par ljubičastih čarapa su:
Zadatak 5.
Iz vreće, bez gledanja, izvlačimo jednu kuglicu. Kakvi su izgledi da iz vreće bude izvučena plava kuglica?
Zasigurno ste imali priliku bacati novčić pri odlučivanju o nekom odabiru. Ako bacamo novčić, on će pasti na jednu od dviju strana: na pismo ili na glavu. Matematički kažemo da imamo dva moguća događaja pri bacanju novčića.
Zanimljivost
Mnogi ljudi ne znaju što je „pismo", a što „glava” na novčiću ili kovanici. Izraz dolazi od novčića koji su na strani na kojoj ne piše vrijednost imali glavu cara ili nekog vladara. Ta je strana
„
glava”.
Danas nemaju sve kovanice na strani na kojoj nije njihova vrijednost vladare, nego na toj strani mogu biti bilo koji nacionalni ili drugi simboli.
Na drugoj strani piše broj, odnosno vrijednost novčića ili kovanice (još se kaže i apoen) i to je strana koju nazivamo „pismo”.
Eurokovanice imaju jednu zajedničku stranu, pismo, na kojoj se nalazi vrijednost kovanice (apoen). Na toj zajedničkoj strani nalazi se Europska unija ili Europa i ona simbolizira jedinstvo EU-a. Nacionalna strana, glava, upućuje na državu izdavateljicu. Primjerice, u Austriji na kovanici od 1 eura na nacionalnoj je strani prikazan Wolfgang Amadeus Mozart. Na našim je kovanicama na strani
„pisma” prikazana vrijednost kovanice, a na strani
„
glave” neka biljka ili životinja. Primjerice, na kovanici vrijednosti 5 kuna na strani
„
glave” nalazi se mrki medvjed pa zato tu kovanicu od milja zovemo
„
medo”.
Zadatak 10.
Ako bacamo igraću kockicu, gledamo broj koji se pojavljuje na gornjoj strani. Za događaj kao na slici kažemo da je
„
pao broj
”. Koliko se različitih brojeva može pojaviti pri bacanju igraće kockice?
Kockica ima strana, na svakoj od njih je jedan od brojeva: ili pa imamo mogućnosti.
Bacanje novčića ili bacanje igraće kockice su matematički pokusi.
Kada bacamo novčić, ne znamo unaprijed hoće li pasti pismo ili glava. Znamo samo da imamo dvije mogućnosti. Kažemo da su pri bacanju novčića moguća dva ishoda, palo je pismo ili pala je glava. Smatramo da ti ishodi imaju jednaku mogućnost pojavljivanja.
Kada bacamo kockicu, imamo šest mogućih ishoda u vezi s tim koji će broj pasti, tj. biti na gornjoj strani kockice. Smatramo da ti ishodi imaju jednaku mogućnost pojavljivanja.
Elementarni događaji su brojevi koji se mogu pojaviti na stranama kockice. Brojeva ima i svi su različiti pa kažemo da je skup elementarnih događaja skup brojeva koji se mogu pojaviti na stranama kockice. Te elementarne događaje zapisujemo:
{pao je broj
pao je broj
pao je broj
pao je broj
pao je broj
pao je broj }.
Skupove nekih elemenata u matematici pišemo u vitičastim zagradama.
Zadatak 11.
Zapišite skup elementarnih događaja za pokus bacanja novčića.
Skup elementarnih događaja za bacanje novčića je:
{palo je pismo, pala je glava}.
Primjer 3.
U posudi se nalazi kuglica u bojama. Među kuglicama nekoliko je plavih, nekoliko crvenih i nekoliko žutih. Izvlačimo iz posude jednu kuglicu i opet ju vraćamo u posudu. Znači da će u posudi uvijek biti jednak broj kuglica. Koji su elementarni događaji i koliko ih ima?
Budući da od kuglica izvlačimo jednu, ukupan broj elementarnih događaja je Elementarni događaj je jedna izvučena kuglica.
Zadatak 12.
Djeca imaju sličica životinja, među kojima ima i „duplića
”. Igraju se tako da izvlače po jednu kartu i vraćaju je natrag na hrpu. Koji su elementarni događaji i koliko ih ima?
Elementarni događaj je jedna izvučena karta, a karata ima
znači ima elementarnih događaja.
Slučajni događaj
Pri bacanju kockice zanima nas hoće li slučajno pasti broj
Taj događaj nazivamoslučajni događaj.
Primjer 4.
Koji je slučajni događaj u pokusu bacanja novčića ako novčić padne tako da je prema gore okrenuta strana sa slikom?
Slučajni je događaj tog pokusa „pala je glava”.
Slučajni događaj je događaj koji istražujemo, očekujemo, priželjkujemo, a može se dogoditi pri izvođenju matematičkog pokusa. Elementarni događaji su svi mogući različiti ishodi matematičkog pokusa. Slučajni događaji su podskup elementarnih događaja koji se mogu dogoditi pri izvođenju pokusa.
Primjerice, matematički pokus u kojemu bacamo novčić. Elementarni događaji koji opisuju ishode bacanja novčića su „pala je glava” i „palo je pismo”. Slučajan događaj koji mi istražujemo može biti „pala je glava”. Ako istražujemo slučajan događaj „pala je glava ili pismo”, onda je to slučajni događaj koji se podudara s elementarnim događajima.
Slučajni događaj može obuhvaćati više elementarnih događaja. Odredimo koje elementarne događaje obuhvaća slučajan događaj „pao je neparni broj” u pokusu bacanja kockice.
Taj slučajni događaj obuhvaća tri elementarna događaja pri bacanju kockice. To su: „pao je broj
", „pao je broj
” i „pao je broj
” jer su to neparni brojevi na stranama kockice.
Kažemo da su elementarni događaji „pao je broj
”, „pao je broj
” i „pao je broj
” povoljni događaji za slučajan događaj „pao je neparni broj”.
Zadatak 16.
Odredite koje elementarne događaje obuhvaća događaj „pao je složeni broj” u pokusu bacanja kockice.
Elementarni događaji su „pao je broj
” i „pao je broj
” jer su to jedina dva složena broja na stranama kockice.
Prisjetimo se, prosti brojevi su brojevi koji se mogu podijeliti samo s brojem jedan i sa samim sobom. Prosti brojevi na kockici su:
i
Broj jedan nije ni prosti ni složeni broj.
Kažemo da su događaji „pao je broj
” i „pao je broj
” povoljni događaji za slučajan događaj „pao je složeni broj”.
Koliko je elementarnih, a koliko povoljnih događaja za slučajan događaj „izvukli smo plavu kuglicu” pri pokusu odabira jedne kuglice iz posude kao na slici?
Pomoć:
Prisjetite se da je broj elementarnih događaja ukupan broj mogućih događaja u nekom pokusu.
null
Vjerojatnost
Na početku jedinice govorili smo o izgledima da se nešto dogodi. U matematici mogućnost da se neki događaj dogodi nazivamo vjerojatnost. Kad provodimo slučajne pokuse u matematici, pretpostavljamo da su svi elementarni događaji jednako mogući. Dakle, da je jednaka vjerojatnost da se na novčiću pojavi pismo ili glava; da je jednaka vjerojatnost da kockica padne na ili
Prisjetite se događaja s početka jedinice pa odgovorite na pitanja.
Zadatak 18.
Kolika je vjerojatnost da:
Sunce iziđe na istoku
u Varaždinu 20. prosinca bude temperatura iznad
Izlazak Sunca na istoku siguran je događaj, a već smo se prije prisjetili da za takav događaj obično kažemo da će se dogoditi. Kažemo da je vjerojatnost tog događaja
Taj događaj je nemogući događaj i njegova je vjerojatnost
Vjerojatnost sigurnog događaja je ili
a vjerojatnost nemogućeg događaja je ili
Primjer 6.
Kolika je vjerojatnost izvlačenja para svijetloplavih čarapa iz ladice kao na slici? Kolika je vjerojatnost izvlačenja para ljubičastih čarapa iz te ladice?
U ladici ima pet pari čarapa, dakle imamo pet elementarnih događaja. Od tih pet pari čarapa samo je jedan svijetloplavi, dakle imamo jedan povoljni događaj.
Izgledi ili vjerojatnost da izvučemo par svijetloplavih čarapa iz ladice su ili jer je omjer broja svijetloplavih čarapa prema broju svih čarapa
U ladici su četiri ljubičasta para čarapa pa je vjerojatnost
Zamijetite da je zbroj jer iz te ladice možemo izvući samo jednu od tih dviju boja čarapa.
Vrijednost vjerojatnosti je broj između i
odnosno između i
Oznaka za vjerojatnost je
(probablilitas).
Zadatak 19.
Vreća sa slike poderala se i iz nje je ispalo točno jedno geometrijsko tijelo. Pronađite koji su događaji, a koje vjerojatnosti događaja da je iz vreće sa slike ispalo određeno geometrijsko tijelo.
Vjerojatnost da je ispala kocka označena je s (kocka), vjerojatnost da je ispala kugla označena je s (kugla), vjerojatnost da je ispao valjak označena je s (valjak), vjerojatnost da je ispao stožac označena je s (stožac).
Dovucite geometrijska tijela na odgovarajuće vrijednosti.
(kugla)
(kocka)
(valjak)
(stožac)
Pomoć:
Pažljivo pogledajte sliku i pronađite parove.
Postupak:
U vreći je bilo ukupnogeometrijskih tijela. Izračunajte vrijednost omjera broja komada određenog tijela i broja
...i na kraju
Kako biste još bolje razumjeli vjerojatnost, predlažemo da isprobate interaktivnu simulaciju u GeoGebri Kontinuitet vjerojatnosti koja pokazuje kako se vrijednost vjerojatnosti mijenja od nemogućeg do sigurnog događaja.
Iskušajte se i u procjeni vjerojatnosti različitih događaja igrajući ove igre (na engleskom jeziku):
Početna veličina slova
