Matematika 8 - 5.3 Graf kvadratne funkcije

Na početku...

Slika prikazuje tablicu množenja sa zaokruženim brojevima u trećem redu.

Promotrite niz zaokruženih brojeva.

Što zamjećujete? Koje je pravilo toga niza?
Napišite na papiru pravilo pridruživanja funkcije $f (x),$ koja određuje vrijednost broja u nizu, u ovisnosti o rednom broju člana u tome nizu.
U pravokutnome koordinatnom sustavu nacrtajte na papiru graf funkcije $f (x) .$ Što zamjećujete?
Za koje vrijednosti argumenta $x$ ta funkcija u ovom kontekstu ima smisla?

Slika prikazuje polupravac - grafički prikaz linearne ovisnosti.

Zaokruženi brojevi višekratnici su broja $3 .$ Niz nastaje tako da brojčanu oznaku stupca pomnožimo brojem $3$ (oznakom retka).
$f (x) = 3 x$
Grafički je prikaz ove funkcije u pravokutnom koordinatnom sustavu niz točaka koje pripadaju polupravcu.
Funkcija u ovom kontekstu ima smisla za prirodne brojeve.

Početni zadatak opisuje linearnu ovisnost između rednog broja člana niza i njegove vrijednosti. Takve ovisnosti proučavane su u sedmom razredu.

Pod pojmom funkcija mislimo na način (pravilo) prema kojemu se svakom elementu jednog skupa pridružuje točno jedan, odgovarajući, element drugog skupa.

Ako su $a, b i x$ realni brojevi , pri čemu je $a \neq 0,$ onda funkciju zadanu pravilom pridruživanja (formulom) $f (x) = a x + b$ nazivamo linearnom funkcijom (na skupu $R) .$

Graf je linearne funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f (x) = a x + b, a, b \in R, a \neq 0$ pravac s jednadžbom $y = a x + b .$ Tom pravcu pripadaju sve točke pridružene uređenim parovima oblika $(x, a x + b) .$

Slika prikazuje tablicu množenja do 100 sa zaokruženim brojevima duž dijagonale.

Promotrite niz zaokruženih brojeva.

Što zamjećujete? Koje je pravilo tog niza?
Za prvih $10$ članova tog niza prikažite na papiru tablicu pridruženih vrijednosti pa točke pridružene dobivenim uređenim parovima prikažite u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini. Što zamjećujete?
Mogu li se sve prikazane točke spojiti pravcem? Je li ta ovisnost linearna?
Napišite na papiru pravilo pridruživanja funkcije $g (x)$ koja određuje vrijednost člana niza u ovisnosti o brojčanoj oznaci stupca.
Za koje vrijednosti argumenta $x$ ta funkcija u ovom kontekstu ima smisla?

Vrijednost člana niza dobije se tako da se brojčana oznaka stupca pomnoži sa samom sobom (tj. u kontekstu tablice pomnoži se redni broj retka i redni broj stupca).
Grafički prikaz ove funkcije nije pravac.
Prikazane točke ne mogu se spojiti pravcem. Prikazana ovisnost nije linearna.
Tablici pridruženih vrijednosti dodali smo još jedan stupac. Vrijednost funkcije jednaka je umnošku broja x sa samim sobom. Pravilo pridruživanja funkcije zato glasi $g (x) = x^{2} .$
Funkcija u ovom kontekstu ima smisla za prirodne brojeve.

Slika prikazuje tablicu pridruženih vrijednosti i grafički prikaz opisane ovisnosti. — Tablica pridruženih vrijednosti i grafički prikaz

Prikaz zakonitosti
$x$	$y$
$1$	$1$	$1 \cdot 1$
$2$	$4$	$2 \cdot 2$
$3$	$9$	$3 \cdot 3$
$4$	$16$	$4 \cdot 4$
$5$	$25$	$5 \cdot 5$
$6$	$36$	$6 \cdot 6$
$7$	$49$	$7 \cdot 7$
$8$	$64$	$8 \cdot 8$
$9$	$81$	$9 \cdot 9$
$10$	$100$	$10 \cdot 10$

Kvadratna funkcija i njezin grafički prikaz

Zadatak 1.

Kako bi izgledao graf funkcije koja svakom realnom broju pridružuje njegov kvadrat?

Na papir (u bilježnici) nacrtajte i popunite tablicu pridruženih vrijednosti te nacrtajte graf funkcije $g (x) = x^{2} .$

$x$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 2$	$- 1.3$	$- \frac{3}{5}$	$- 0.4$	$0$	$0.5$	$1.2$
$g (x)$

Tablica:

$x$	$- 2 \frac{1}{2}$	$- 2$	$- 1.3$	$- \frac{3}{5}$	$- 0.4$	$0$	$0.5$	$1.2$
$g (x)$	$\frac{25}{4}$	$4$	$1.69$	$\frac{9}{25}$	$0.16$	$0$	$0.25$	$1.44$

Zanimljivost

Graf funkcije možete crtati i s pomoću online aplikacije na sljedećoj poveznici. Ako rabite online aplikaciju za crtanje, trebate u polje za upis unijeti uređene parove brojeva, jedan po jedan.

Graf:

Zadatak 2.

Kakve vrijednosti poprima funkcija $g (x)$ iz prethodnog zadatka?
Postoji li neka pravilnost u izgledu grafičkog prikaza te funkcije?
Za koje vrijednosti argumenta $x$ ta funkcija ima smisla?
Kojem skupu brojeva pripadaju vrijednosti ove funkcije?
Za koji je argument vrijednost funkcije $g (x)$ najmanja?

Funkcija $g (x)$ poprima samo nenegativne vrijednosti.
Graf je prikazane funkcije krivulja koja je osnosimetrična s obzirom na os $y$ . Sve su vrijednosti funkcije nenegativne pa se graf nalazi iznad osi $x$ .
Argumenti funkcije pripadaju skupu realnih brojeva.
Vrijednosti funkcije $g (x)$ pripadaju skupu nenegativnih realnih brojeva.
Vrijednost funkcije najmanja je za $x = 0 .$

Ako su $a, b, c i x$ realni brojevi, pri čemu je $a \neq 0,$ onda funkciju zadanu pravilom pridruživanja (formulom) $f (x) = a x^{2} + b x + c$ nazivamo (općom) kvadratnom funkcijom (na skupu $R$ ). Broj $x$ naziva se argument funkcije, dok je $f (x)$ vrijednost funkcije za argument $x .$ Brojeve $a, b i c$ nazivamo koeficijentima kvadratne funkcije.

Graf je kvadratne funkcije parabola s jednadžbom $y = a x^{2} + b x + c,$ $a \neq 0,$ $a, b, c, x \in R .$

Primjer 1.

Pomicanjem klizača poigrajte se grafičkim prikazom opće kvadratne funkcije.

Parabole u svijetu oko nas

Fotografija prikazuje St. Louis Arch, SAD. — Luk Gateway u St. Louisu, Missouri, SAD

Slika prikazuje most Golden Gate, San Francisco, Kalifornija, SAD — Most Golden Gate, San Francisco, Kalifornija, SAD

Zanimljivost

U sljedećim videosadržajima pogledajte primjere parabola u svijetu koji nas okružuje te u videoigrici Super Mario. A svakako pogledajte i vodenu parabolu u Splitu.

Kvadratna funkcija oblika $f (x) = a x^{2}, a \neq 0$

U nastavku ćemo proučavati samo posebne slučajeve kvadratne funkcije, one zadane pravilom pridruživanja oblika $f (x) = a x^{2},$ pri čemu su $a i x$ realni brojevi, $a \neq 0 .$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 3.

Kvadratna funkcija $f$ zadana je pravilom pridruživanja $f (x) = 3 x^{2} .$

Izračunajte vrijednost funkcije $f$ za vrijednost argumenta.

$1$
$- 4$
$0$

$f (1) = 3 \cdot 1^{2} = 3 \cdot 1 = 3$
$f (- 4) = 3 \cdot (- 4)^{2} = 3 \cdot 16 = 48$
$f (0) = 3 \cdot 0^{2} = 3 \cdot 0 = 0$

Zadatak 4.

Za kvadratnu funkciju $i,$ zadanu pravilom pridruživanja $i (x) = 0.5 x^{2},$ nacrtajte na papiru i popunite tablicu pridruženih vrijednosti.

$i$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$i (x)$

$i$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$i (x)$	$2$	$0.5$	$0$	$0.5$	$2$

Zatvori

Kvadratna funkcija oblika $f (x) = a x^{2} + c, a \neq 0$

Zadatak 9.

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja $f (x) = x^{2} + 3 .$ Odredite vrijednost funkcije $f$ za vrijednost argumenta:

$x = - 2$
$x = - 1.5$
$x = 0.5 .$

Uvrštavanjem dobivamo:

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 3 = 4 + 3 = 7$
$f (- 1.5) = (- 1.5)^{2} + 3 = 2.25 + 3 = 5.25$
$f (0.5) = {0.5}^{2} + 3 = 0.25 + 3 = 3.25 .$

Primjer 5.

U istom koordinatnom sustavu nacrtajmo grafove kvadratnih funkcija $f,$ $g$ , $h$ i $k$ zadanih pravilima pridruživanja $f (x) = x^{2} + 1, g (x) = x^{2} + 4,$ $h (x) = x^{2} - 2, k (x) = x^{2} - 5 .$

Za svaku funkciju prvo treba popuniti tablicu pridruženih vrijednosti, na temelju tablice formirati uređene parove, i na kraju uređene parove ucrtati u pravokutni koordinatni sustav.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$
$x^{2} + 1$	$10$	$5$	$2$	$1$	$2$	$5$	$10$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$
$x^{2} + 4$	$13$	$8$	$5$	$4$	$5$	$8$	$13$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$
$x^{2} - 2$	$7$	$2$	$- 1$	$- 2$	$- 1$	$2$	$7$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$
$x^{2} - 5$	$4$	$- 1$	$- 4$	$- 5$	$- 4$	$- 1$	$4$

Graf:

Uočite:

svi su grafovi parabole
sve su parabole jednake širine
sve su parabole simetrične s obzirom na os $y$
sve su parabole okrenute prema gore
najniža točka na osi $y$ određena je brojem $c,$ tj. najniža točka grafa kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f (x) = x^{2} + c$ ima koordinate $(0, c) .$

Graf kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f (x) = x^{2} + c$ dobivamo pomakom grafa osnovne kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $s (x) = x^{2}$ duž osi $y$ za vrijednost parametra $c$ .

Pomicanjem klizača istražite što se događa s grafom kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f (x) = a x^{2} + c, a \neq 0$ u odnosu prema grafu kvadratne funkcije zadane sa $s (x) = a x^{2}, a \neq 0 .$

Kvadratna funkcija oblika $f (x) = (a x + c)^{2}, a \neq 0$

Zadatak 10.

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja $f (x) = (x + 2)^{2} .$ Odredite vrijednost funkcije $f$ za vrijednost argumenta:

$x = - 3$
$x = - 1.5$
$x = 0.5 .$

Uvrštavanjem dobivamo:

$f (- 3) = (- 3 + 2)^{2} = (- 1)^{2} = 1$
$f (- 1.5) = (- 1.5 + 2)^{2} = {0.5}^{2} = 0.25$
$f (0.5) = (0.5 + 2)^{2} = {2.5}^{2} = 6.25 .$

Primjer 6.

U istome koordinatnom sustavu nacrtajmo grafove kvadratnih funkcija $f,$ $g,$ $h$ i $k$ zadanih pravilima pridruživanja $f (x) = {(x + 1)}^{2},$ $g (x) = {(x + 4)}^{2},$ $h (x) = {(x - 2)}^{2}$ i $k (x) = {(x - 5)}^{2} .$

Za svaku funkciju prvo treba popuniti tablicu pridruženih vrijednosti, na temelju tablice formirati uređene parove i na kraju uređene parove ucrtati u pravokutni koordinatni sustav.

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x + 1$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
${(x + 1)}^{2}$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x + 4$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
${(x + 4)}^{2}$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$(x - 2)$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
${(x - 2)}^{2}$	$25$	$16$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x - 5$	$- 8$	$- 7$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$
${(x - 5)}^{2}$	$64$	$49$	$36$	$25$	$16$	$9$	$4$

Graf:

Uočite da vrijede svojstva:

svi su grafovi parabole
sve su parabole jednake širine
sve su parabole simetrične, ali ne s obzirom na os $y$ nego na pravac koji prolazi najnižom točkom parabole
sve su parabole okrenute prema gore
najniža se točka nalazi na osi $x$ i određena je brojem $c$ , tj. najniža točka grafa kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f (x) = (x + c)^{2}$ ima koordinate ( $- c, 0$ ).

Graf kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f (x) = (x + c)^{2}$ dobivamo pomakom grafa osnovne kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $s (x) = x^{2}$ duž osi $x$ za suprotnu vrijednost parametra $c .$

Pomicanjem klizača istražite što se događa s grafom kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f (x) = (a x + c)^{2},$ $a \neq 0$ u odnosu prema grafu kvadratne funkcije zadane sa $s (x) = a x^{2}, a \neq 0 .$

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 11.

Odredite ordinatu točke s apscisom $9$ koja pripada grafu funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f (x) = x^{2} .$

Tražena točka je pridružena uređenom paru oblika ( $9, y$ ), pri čemu je $y = f (9) = 9^{2} = 81 .$

Zadatak 12.

Odredite apscisu točke s ordinatom $121$ koja pripada grafu funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f (x) = x^{2} .$

Tražena je točka pridružena uređenom paru oblika ( $x, 121$ ), pri čemu je $f (x) = x^{2} = 121 .$ Iz $x^{2} = 121$ slijedi da je $x = 11$ ili $x = - 11 .$

Zadatak 13.

Kolika je vrijednost koeficijenta $a$ funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f (x) = a x^{2}$ ako točka $P (6, 18)$ pripada grafu te funkcije?

Uvjete zadatka možemo zapisati u obliku $f (6) = a \cdot 6^{2} = 18,$ tj. $36 a = 18,$ odakle je $a = 0.5 .$

Zatvori

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 14.

Kolika je vrijednost koeficijenta $a$ kvadratne funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f (x) = a x^{2} - 1$ ako točka $P (- 2, 11)$ pripada grafu te funkcije?

Uvjete zadatka možemo zapisati u obliku $a \cdot {(- 2)}^{2} - 1 = 11,$ odakle je redom

$4 a - 1 = 11,$ $4 a = 12$ i konačno $a = 3 .$

Zadatak 15.

Koja je najmanja moguća vrijednost funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f (x) = 5 x^{2} - 2 ?$ Nacrtajtena papiru graf te funkcije te objasnite svoj odgovor.

Slika prikazuje graf zadane kvadratne funkcije.

Najniža je točka grafa ove funkcije $(0, - 2) .$ Zaključujemo da je najmanja moguća vrijednost zadane funkcije jednaka $- 2,$ a tu vrijednost funkcija poprima za $x = 0 .$

Zatvori

...i na kraju

Naučili ste iskazati ovisnost dviju veličina riječima i tablicom pridruženih vrijednosti, nacrtati graf funkcije $f (x) = x^{2},$ ispitati pripadnost točke grafu funkcije $f (x) = x^{2}$ te očitati koordinatu točke koja pripada grafu kvadratne funkcije. Koristeći se stečenim znanjem, riješite zadatak.

Na slici je graf kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f (x) = a x^{2} + c .$ Koristeći se nacrtanim grafom, odredite ordinate točaka $A (- 3, a)$ i $B (1, b),$ apscise točaka $C (c, 1)$ i $D (d, 9) .$

Odredite pravilo pridruživanja funkcije $f$ pa računski provjerite pripada li točka $E (7, 100)$ grafu nacrtane funkcije.

$f (x) = 2 x^{2} + 1$

$f (7) = 2 \cdot 7^{2} + 1 = 2 \cdot 49 + 1 = 99$ što znači da točka s koordinatama $(7, 100)$ ne pripada grafu te funkcije.

Za kraj, možete procijeniti svoje znanje.

Ako želite, možete istražiti što se događa s grafom kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $g (x) = x^{2} + c,$ $c, x \in R$ te istražiti kosi hitac.

Kutak za znatiželjne

S pomoću sljedeće animacije istražite kosi hitac te odgovorite na pitanje. Pod kojim kutom projektil treba biti izbačen kako bi postigao najveću udaljenost?

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja:

Zadani broj kvadriraj pa od rezultata oduzmi $3 .$ Prema tom pravilu, broju $- 4$ pridružen je broj $- 19 .$

Pomoć:

Pravilo pridruživanja možemo napisati u obliku $f (x) = x^{2} - 3 .$

Postupak:

$f (- 4) = (- 4)^{2} - 3 = 16 - 3 = 13$

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} .$ Koje od točaka pripadaju grafu ove funkcije?

A (- 8, 32)

B (- 4, - 8)

C (2, 1)

D (5, 12.5)

E (0.6, 0.09)

Kvadratna funkcija zadana je pravilom pridruživanja $f (x) = - 2 x^{2} .$ Zadanim vrijednostima argumenta pridružite odgovarajuće vrijednosti funkcije $f$ .

$0$
$- 1$
$2$
$\frac{1}{2}$
$- 8$

Kvadratne funkcije $f$ i $g$ zadane su pravilima pridruživanja $f (x) = 3 x^{2}$ i $g (x) = - 3 x^{2}$

(2, - 12)

(0.3, 0.27)

(- 2, 12)

(- 1, - 3)

(1, 3)

(0.5, - 0.75)

Točke na grafu funkcije $f$

Točke na grafu funkcije $g$

Na slici je graf kvadratne funkcije zadane pravilom pridruživanja $f (x) = a x^{2} + c$ na kojem su istaknute točke $A$ , $B$ , $C$ i $D$ . Svakoj od točaka pridruži odgovarajući uređeni par.

Slika prikazuje parabolu na kojoj su istaknute točke A, B, C i D.

$A$	$(- 6, 8)$
$B$	$(4, 3)$
$D$	$(1, - 0.75)$
$C$	$(- 2, 0)$

Kvadratne funkcije $f,$ $g$ , $h$ i $k$ zadane su pravilima pridruživanja $f (x) = x^{2} + 1,$ $g (x) = 2 (x + 5)^{2} - 15,$ $h (x) = 2 - x^{2}$ i $k (x) = - 0.5 x^{2} - 1 .$ Poredajte po veličini, počevši od najmanje, vrijednosti ovih funkcija za vrijednost argumenta $x = - 4 .$

$h (- 4)$
$k (- 4)$
$g (- 4)$
$f (- 4)$

null

ZAVRŠITE PROCJENU

5.3 Graf kvadratne funkcije

Na početku...

Kvadratna funkcija i njezin grafički prikaz

Zadatak 1.

Zanimljivost

Zadatak 2.

Parabole u svijetu oko nas

Zanimljivost