5.4 Graf funkcije drugog korijena

Funkcija $f\left(x\right)=\sqrt{x},x\ge 0$ i njezin graf

Primjer 1.

Promotrite grafičke prikaze funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ i funkcije $g$ zadane pravilom pridruživanja $g\left(x\right)=x^2.$ Što zamjećujete?

Tvrdnje iz rješenja prethodnog primjera možete dodatno istražiti u sljedećoj animaciji.

Primjer 2.

Izračunajmo vrijednost funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ za dane vrijednosti argumenta $x$ ako je:

1. $x=1$
2. $x=144$
3. $x=441$
4. $x=2\frac{1}{4}.$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Izračunajte vrijednost funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanjam $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ za dane vrijednosti argumenta $x$ ako je:

1. $x=0.0196$
2. $x=3600$
3. $x=1.7956$
4. $x=\frac{49}{289}.$
   

Rješenje

1. $f\left(0.0196\right)=0.14$
2. $f\left(3600\right)=60$
3. $f\left(1.7956\right)=1.34$
4. $f\left(\frac{49}{289}\right)=\frac{7}{17}$

---

Zadatak 2.

Funkcija $f$ zadana je pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$ Odredite $f\left(324\right)$

Rješenje

$f\left(324\right)=18$

---

Zadatak 3.

Funkcija $f$ zadana je pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$

1. Nacrtajte na papiru i dopunite tablicu pridruženih vrijednosti.
   

   $x$	$0$	$1$	$4$	$9$
   $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

2. Nacrtajte njezin grafički prikaz te iz njega odredite je li funkcija rastuća ili padajuća?

3. Iz grafičkog prikaza očitajte ordinatu točke koja pripada grafu zadane funkcije, a apscisa joj je $9.$

4. Pripada li točka $T(1.5625,1.35)$ grafu zadane funkcije?

Rješenje

a.

$x$	$0$	$1$	$4$	$9$
$f\left(x\right)=\sqrt{x}$	$0$	$1$	$2$	$3$

b. Iz grafičkog prikaza na 1. slici možemo vidjeti da je zadana funkcija rastuća.

c. Na 2. slici možemo vidjeti da ordinata točke čija je apscisa $9$ iznosi $3.$

d. Točka $T$ ne pripada grafu zadane funkcije jer je $1.5625=1.25.$

---

Zadatak 4.

Pripadaju li točke $A(3,\sqrt{3})$ i $B\left(\frac{9}{5},\frac{4}{5}\right)$ grafu funkcije $f\left(x\right)=\sqrt{x}?$

Rješenje

Točka $A (3,\sqrt{3})$ pripada, a točka $B\left(\frac{9}{5},\frac{4}{5}\right)$ ne pripada grafu funkcije $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$

---

Zatvori

Funkcija $f\left(x\right)=\sqrt{ax},x\ge 0,a>0$

Primjer 3.

U istome pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini nacrtajmo grafove funkcija $f,$ $g$ i $h$ zadanih pravilima pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x},$ $g\left(x\right)=\sqrt{2x}$ i $h\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{2}x}.$ Što zamjećujemo?

Napravimo prvo tablice pridruženih vrijednosti za proizvoljno odabrane nenegativne vrijednosti argumenta. ​(1. slika)

Graf funkcije $h$ zadane pravilom pridruživanja $h\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{2}x}$ nalazi se „ispod” grafa „osnovne ” funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$ (2. slika)

Graf funkcije $g$ zadane pravilom pridruživanja $g\left(x\right)=\sqrt{2x}$ nalazi se „iznad” grafa „osnovne” funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$ (2. slika)

O čemu ovisi hoće li se graf funkcije $f_1,$ zadane pravilom pridruživanja $f_1\left(x\right)=\sqrt{ax},$ $a>0$ $\mathrm{},$ nalaziti „ispod” ili „iznad” grafa funkcije $f_{\mathrm{}}$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}?$

Kako se mijenja graf funkcije $f_1,$ zadane pravilom pridruživanja $f_1\left(x\right)=\sqrt{ax}$ , $a>0,$ promjenom vrijednosti parametra $a?$

Istražimo koristeći se sljedećom interakcijom.

Kada je parametar $a$ funkcije $f_1$ zadane pravilom pridruživanja $f_1\left(x\right)=\sqrt{ax}$ veći od $1,$ tada se njezin graf nalazi „iznad” grafa funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$

Kada je parametar $a$ funkcije $f_1$ zadane pravilom pridruživanja $f_1\left(x\right)=\sqrt{ax}$ veći od $0,$ a manji od $1,$ tada se njezin graf nalazi „ispod” grafa funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$

Što je parametar $a$ funkcije $f_1$ zadane formulom $f_1\left(x\right)=\sqrt{ax},$ $a>0$ veći, to je njezin graf „udaljeniji” od osi $x.$

Što je parametar $a$ u pravilu pridruživanja funkcije $f\left(x\right)=\sqrt{ax},$ $a>0$ veći, to funkcija brže raste.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 5.

Izračunajte vrijednosti funkcije $f$ zadane formulom $f\left(x\right)=\sqrt{2x}$ za zadane vrijednosti argumenta $x.$

1. $0$
2. $1$
3. $2$
4. $8$
5. $\frac{25}{2}$ 
   

Rješenje

1. $f\left(0\right)=\sqrt{2·0}=0$  
2. $f\left(1\right)=\sqrt{2·1}=\sqrt{2}$
3. $f\left(2\right)=\sqrt{2·2}=\sqrt{4}=2$
4. $f\left(2\right)=\sqrt{2·8}=\sqrt{16}=4$
5. $f\left(\frac{25}{2}\right)=\sqrt{2·\frac{25}{2}}=\sqrt{25}=5$
   

---

Zadatak 6.

Zadana pravila pridruživanja funkcija pridružite odgovarajućim grafičkim prikazima.

Funkcije $f,g,h$ zadane su formulama $f\left(x\right)=\sqrt{x},$ $g\left(x\right)=\sqrt{3x}$ i $h\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{3}x}$  te su dani njihovi grafički prikazi.

$g\left(x\right)=\sqrt{3x}$  ​

$h\left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{3}x}$  ​

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$  ​

 

 

Zatvori

Kutak za znatiželjne

Što mislite, za kakve je vrijednosti argumenta $x$ definirana funkcija $f$ zadana pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{-x}?$ Kakve vrijednosti poprima ta funkcija? Nacrtajte graf te funkcije. Pri pronalaženju odgovora na to pitanje može vam pomoći priložena interakcija.

Ta je funkcija definirana na skupu negativnih racionalnih brojeva, tj. argumenti te funkcije moraju biti elementi skupa negativnih racionalnih brojeva uključujući nulu $\left(x\in \mathbb{R},x\le 0\right).$ Vrijednosti su te funkcije pozitivne.

Sastavljamo tablicu pridruženih vrijednosti za prema želji odabrane negativne vrijednosti argumenta. (1. slika)

Uočite da povećanje vrijednosti (negativnog) argumenta $x$  uzrokuje smanjenje vrijednosti funkcije $f\left(x\right)=-x$ pa zaključujemo da je ta funkcija padajuća. (2. slika)

Zanimljivost

Zamijetite, graf funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{-x}$ $\left(x\in \mathbb{R},x\le 0\right)$ osnosimetričan je grafu funkcije $g$ zadane pravilom pridruživanja $g\left(x\right)=\sqrt{x}$ s obzirom na os ordinata.

Također, možemo zaključiti da što je veća apsolutna vrijednost parametra $a$ u formuli funkcije $f\left(x\right)=\sqrt{ax},$ $a\ne 0,$ to se vrijednosti funkcije na području definicije brže mijenjaju (ako je $x\ge 0$ i ​ $a>0,$ brže rastu, a ako je $x\le 0$ i $a<0,$ brže padaju).

Funkcija oblika $f\left(x\right)=b\sqrt{x},x\ge 0$

Primjer 4.

Nacrtan je graf funkcije drugog korijena zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=b\sqrt{x},x\ge 0.$ Očitajmo vrijednost te funkcije za vrijednost argumenta $x=25.$

Kolika je vrijednost parametra $b$?

Iz grafičkog prikaza možemo vidjeti da je argumentu $25$ pridružena vrijednost funkcije $10.$ 

$f\left(25\right)=10$ 

Tražimo vrijednost parametra $b$ tako da vrijedi $b\sqrt{25}=10.$ Rješavanjem te jednadžbe dobivamo da je $b=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2.$

Zadatak 7.

Nacrtan je graf funkcije drugog korijena zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=b\sqrt{x},x\ge 0.$ Iz grafičkog prikaza očitajte $x$  koordinatu točke $T(x,-2)$ koja pripada grafu te funkcije.

Kolika je vrijednost parametra $b?$

Iz grafičkog prikaza možemo očitati $x$ koordinatu točke koja pripada nacrtanom grafu drugog korijena i čija je ordinata $-2.$

$T(2,-2)$ 

Tražimo vrijednost parametra $b$ tako da vrijedi $b\sqrt{2}=-2.$ Rješavanjem te jednadžbe dobivamo da je $b=\frac{-2}{\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.$

Primjer 5.

U istome pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini nacrtajmo grafove funkcija $f,$ $g$ i $h$ zadanih pravilima pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x},$ $g\left(x\right)=2\sqrt{x}$ i $h\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{x}.$ Što zamjećujemo?

Napravimo prvo tablice pridruženih vrijednosti za proizvoljno odabrane nenegativne vrijednosti argumenta. ​

Graf funkcije $h$ zadane pravilom pridruživanja $h\left(x\right)=\frac{1}{2}\sqrt{x}$ nalazi se „ispod” grafa funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$

Graf funkcije $g$ zadane pravilom pridruživanja $g\left(x\right)=2\sqrt{x}$ nalazi se „iznad” grafa funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$

Općenito, iz navedenih grafičkih prikaza možemo naslutiti da što je veći parametar $b$ funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=b\sqrt{x},$ $b>0,$ to funkcija brže raste.

Zadatak 8.

U prethodnom primjeru naslutili smo da što je parametar $b$ funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=b\sqrt{x},$ $b >0$ veći, to funkcija brže raste.

U interakciji mijenjajte vrijednost parametra $b$ i istražite valjanost te tvrdnje na većem broju primjera. Promotrite što se događa s grafom funkcije $f$ za negativne vrijednosti parametra $b.$

Što je apsolutna vrijednost parametra $b$ funkcije $f$ zadane pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=b\sqrt{x}$ veća, to funkcija brže raste/pada.

Povezani sadržaji

Zadatak 9.

Pri slobodnom padu, uz zanemarivanje otpora zraka, tijelo prijeđe put $s$ (u metrima) u vremenu $t$ (u sekundama) pri čemu je $s=5t^2.$ Za koje će vrijeme na tlo pasti tijelo ispušteno s visine od $20$ metara?